复数的概念
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．
【例1】 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，
(1)z∈R；(2)z为虚数．
[思路探究] 根据复数的分类列方程求解．
[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
1．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．
[解析] (1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.
由复数相等的充要条件，得解得
故复数z的实部是1．
法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1．
[答案] (1)D (2)1
复数的四则运算
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数．
【例2】 (1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝( )
A．－2 B．－2i
C．2 D．2i
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
[思路探究] (1)先求出及，结合复数运算法则求解．
(2)利用方程思想求解并化简．
[解析] (1)∵z＝1＋i，∴＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
[答案] (1)C (2)A
2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
[解析] 因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
[答案] A
复数的几何意义
1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．
【例3】 (1)在复平面内，复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(0，－1) B．(0,1)
C. D.
[思路探究] 先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．
[解析] (1)复数＝＝＝＋i.
∴复数对应点的坐标是.
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.
(2)∵＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.
[答案] (1)A (2)A
3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F C．G D．H
[解析] (1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.
(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
[答案] (1)A (2)D
转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
【例4】 设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
[思路探究] 本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，
解得y＝0或x2＋y2＝1，
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
[解] 设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
1．设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B. C．1 D.
[解析] ∵z＝＋2i＝＋2i
＝＋2i＝i，∴|z|＝1．故选C.
[答案] C
2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ＝＋i，其共轭复数为－i，对应点位于第四象限，故选D.
[答案] D
3．设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[解析] (1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，
由题意知a－2＝1＋2a，解得a＝－3.
故选A.
[答案] A
4．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
[解析] 由题意知即－3＜m＜1．故实数m的取值范围为(－3,1)．
[答案] A
5．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1 B.
C. D．2
[解析] ∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1．
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
[答案] B
6．若z＝1＋2i，则＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析] 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
[答案] C
7．设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．
对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.
当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2为假命题．
对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D/?a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．
对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.
[答案] B
课件37张PPT。第三章 数系的扩充与复数章末复习课23复数的概念 45678910复数的四则运算 111213141516复数的几何意义 17181920212223转化与化归思想 24252627282930313233343536Thank you for watching !章末综合测评(三) 数系的扩充与复数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i<5i B．a＝0?|a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b D．a2≥0
[解析] A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
[答案] B
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
A.i B．－i
C. D．－
[解析] ＝＝＝＋i.
[答案] C
3.＝( )
A．2 B．2
C. D．1
[解析] 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
[答案] C
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
[解析] 法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1．又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，
∴b＝－1．故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
[答案] D
5．复数的共轭复数为( )
A．－＋i B.＋i
C.－i D．－－i
[解析] ∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
[答案] D
6．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1．
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
[解析] ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，
∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.
[答案] C
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i B．－3－2i
C．2－3i D．3－2i
[解析] 设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
[答案] B
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
[解析] 要使复数不是纯虚数，则有
∴解得a≠－1．
[答案] C
9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限．故选D.
[答案] D
10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－2,2)
C．(－1,1) D．(－， )
[解析] 因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－
[答案] D
11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
[解析] 因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
[答案] B
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知i是虚数单位，计算＝________.
[解析] ＝＝＝＝＝－－i.
[答案] －－i
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
[解析] ＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
[答案]
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
[解析] a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
[答案] 8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
[答案] 2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)．
(2)＋.
[解] (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋
＝＋
＝i(1＋i)＋
＝－1＋i＋(－i)
＝－1＋i＋1
＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
[解] 由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
[解] (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1．
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1．
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2 ，求点P对应的复数．
[解] (1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2 ，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量O1，O2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求1·2的值．
[解] 由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以1＝，2＝(－1,1)．
所以1·2＝×(－1)＋1×1＝.
