1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率
1.1.2 瞬时速度与导数
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率．(重点)
2．理解瞬时变化率、导数的概念．(难点、易混点)
3．会用导数的定义求函数的导数.
1．通过函数平均变化率、瞬时变化率、导数概念的学习，培养学生的数学抽象素养．
2．借助导数的定义求函数的导数，提升学生的数学运算素养.
一、函数的平均变化率
函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
＝f(x0＋Δx)－f(x0)，
则当Δx≠0时，商＝
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．
二、瞬时速度与导数
1．物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速度．
2．函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率＝趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
记作：当Δx→0时，→l.
还可以说：当Δx→0时，函数平均变化率的极限等于函数在x0的瞬时变化率l，记作 ＝l.
3．函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即f′(x0)＝ .
4．函数的导数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx表示x2－x1，是相对于x1的一个增量，Δx的值可正可负，但不可为零． ( )
(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负，也可以为零． ( )
(3)表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率． ( )
(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关． ( )
(5)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上的变化快慢的物理量． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.如图，函数y＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] ＝＝－1．
[答案] B
3．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________________．
[解析] ∵f(x)＝x2，
∴函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率是
＝
＝
＝ (2＋Δx)＝2.
[答案] 2
求函数的平均变化率
【例1】 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
[思路探究] (1)由Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝f(2＋0.1)－f(2)可得．
(2)→→
[解析] (1)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41．
[答案] B
(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为<，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
[解析] ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，
∴＝＝2＋Δx，故选C.
[答案] C
求瞬时速度
【例2】 (1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．
(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是__________．
[思路探究] 先求出，再求 .
[解析] (1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝v0Δt－gt0Δt－gΔt2，
∴＝v0－gt0－gΔt，
∴ ＝v0－gt0，
即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.
(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13
＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2
＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2
＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，
∴＝＝2(Δt)2＋6Δt＋6，
∴ ＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.
[答案] (1)v0－gt0 (2)6
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求平均速度＝；
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．
2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
[解] (1)初速度v0＝
＝ ＝ (3－Δt)＝3，
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v瞬＝l
＝l
＝
＝ (－Δt－1)＝－1，
即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．
(3)＝＝＝1，
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
求函数在某点处的导数
[探究问题]
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．
1．试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
提示：＝＝－6－3Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？
提示：当Δt趋近于0时，趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
【例3】 (1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[思路探究] 求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．
[解] (1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，
∴＝＝3－Δx，
∴f′(－1)＝ ＝ (3－Δx)＝3.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，
∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝
＝ (6＋3Δx)＝6.
1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．
2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限，得导数为f′(x0)＝ .
简记为：一差、二比、三趋近．
3．求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝ ＝ ＝2.
1．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则的值为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
[解析] ＝＝4＋2Δx.
[答案] D
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
[解析] ∵＝＝5＋Δt，
∴ ＝ (5＋Δt)＝5(m/s)．
[答案] C
3．质点运动规律s＝gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于________．(g＝10 m/s2)
[解析] Δs＝g×(3＋Δt)2－g×32＝×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，＝＝30＋5Δt.
[答案] 30＋5Δt
4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.
[解析] 因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
所以＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为 ＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.
[答案] 2
5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：
(1)；
(2)f′(1)．
[解] (1)＝＝
＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
课件45张PPT。第一章 导数及其应用1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率
1.1.2 瞬时速度与导数2345Δt趋近于0 678瞬时变化率 9都是可导101112131415求函数的平均变化率 161718192021求瞬时速度 222324252627282930求函数在某点处的导数 3132333435363738394041424344点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．4
[解析] 由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
[答案] B
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
[解析] 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝ (－3Δt－6)＝－6.
[答案] D
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
[解析] 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.
[答案] C
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
[解析] ∵f′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
[答案] C
5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于( )
A．1 B．－1
C．－ D.
[解析] ∵
＝[·(－3)]
＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－.
[答案] C
二、填空题
6．若f′(x0)＝1，则 ＝__________.
[解析]
＝－ ＝－f′(x0)＝－.
[答案] －
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
[解析] ∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA2>1．
[答案] 3>2>1
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
[解析] 物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝
＝2－6t.
即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.
[答案] 2
三、解答题
9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度．
[解] ＝＝
＝
＝(25＋3Δt)m/s，
即该物体在4 s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.
10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
[解] 因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故＝＝(2x＋a)＋Δx，
＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.
[能力提升练]
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．3
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，
∴x0＝±1．
[答案] C
2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么 ＝( )
A. B．1
C．2 D.
[解析] 因为f′(1)＝1，所以 ＝1，
所以 ＝ ＝.
[答案] A
3．已知f′(x0)>0，若a＝ ，b＝ ，c＝ ，
d＝ ，e＝ ，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
[解析] a＝ ＝f′(x0)，
b＝
＝－ ＝－f′(x0)，
c＝
＝2 ＝2f′(x0)，
d＝ ＝f′(x0)，
e＝ ＝f′(x0)．
即c>a＝d＝e>b.
[答案] c>a＝d＝e>b
4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1 s内的平均速度；
(2)求在1 s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?
[解] (1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为＝ m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→6，
所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.
(3)＝＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，
解得x＝2，
即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.
