2.1.2 离散型随机变量的分布列
学习目标：1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解二点分布的定义，并能简单的运用．(难点)
教材整理1 离散型随机变量的分布列
阅读教材P41～P42例1以上部分，完成下列问题．
1．定义
要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
2．性质
(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
(2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．( )
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )
【解析】 (1)× 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．
(2)× 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件，并非都是等可能发生的事件．
(3)√ 由分布列的性质可知，该说法正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 二点分布
阅读教材P42例1以下部分，完成下列问题．
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
q
p
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．
设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝( )
A．0 B． C. D．
【解析】 由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝.
【答案】 C
分布列及其性质的应用
【例1】 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
【精彩点拨】 先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，【解】 (1)∵i＝＋＋＋＝1，
∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＋＝.
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
?1?X的各个取值表示的事件是互斥的.
?2?不仅要注意，而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
1．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
【解】 由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
求离散型随机变量的分布列
【例2】 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
【精彩点拨】 X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
【解】 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.
从而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．
2．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
【解】 从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；
当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.
则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
从而得到X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
二点分布
[探究问题]
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
【提示】 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从二点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从二点分布？
【提示】 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从二点分布，因为X的取值不是0或1.
【例3】 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
【精彩点拨】 X只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
【解】 由题设可知X服从二点分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列为
X
0
1
P
两步法判断一个分布是否为二点分布
1．看取值：随机变量只取两个值0和1.
2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是二点分布，否则不是二点分布．
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A. B． C. D．
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝.
【答案】 C
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
则常数a的值为( )
A. B．
C.或 D．－或－
A [由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a＝.]
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于( )
A. B． C. D．
【解析】 2＜X≤4时，X＝3,4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
【答案】 A
3．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________.
【解析】 由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
【答案】 0 0.55
4．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围为________．
【解析】 设X的分布列为
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤.
【答案】
5．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．
(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；
(2)若胜场次数为X，求X的分布列．
【解】 (1)若胜一场，则其余为平，共有C＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有CC＋C＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．
(2)X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
P
课件41张PPT。第二章 概率2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.2 离散型随机变量的分布列2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 离散型随机变量的分布列
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
A.－0.2 B．0.2
C．0.1 D．－0.1
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.
【答案】 B
2．下列问题中的随机变量不服从二点分布的是( )
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
【解析】 A中随机变量X的取值有6个，不服从二点分布，故选A.
【答案】 A
3．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
【解析】 P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X≤m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．
【答案】 C
4．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于( )
A. B．
C. D．
【解析】 根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
【答案】 A
5．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则P的值为( )
A. B．
C. D．
【解析】 ＋＋＋＝a1－＋－＋－＋－
＝a＝1，
∴a＝.
∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝×＝.
【答案】 D
二、填空题
6．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布列如下：
X
0
1
2
P
x1
x2
x3
则x1，x2，x3的值分别为________．
【解析】 X的可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝0.1，
P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.
【答案】 0.1,0.6,0.3
7．设离散型随机变量X的概率分布列为：
X
－1
0
1
2
3
P
m
则P(X≤2)＝________.
【解析】 P(X≤2)＝1－＝.
【答案】
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员得3分的概率是________．
【解析】 由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.
【答案】
三、解答题
9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．
【解】 (1)X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)X的分布列如下表：
X
0
1
P
10.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的分布列及P(X>1)．
【解】 依题意，有
P(X＝1)＝2P(X＝2)，
P(X＝3)＝P(X＝2)．
由分布列的性质得
1＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝P(X＝2)，
所以P(X＝2)＝，
所以X的分布列如下：
X
1
2
3
P
故P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
[能力提升练]
1．随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝( )
A. B．
C. D．
【解析】 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
【答案】 B
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
则q为( )
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
【解析】 由分布列性质(2)知＋1－2q＋q2＝1，
解得q＝1±，又由性质(1)知1－2q≥0，
∴q≤，∴q＝1－，故选 D．
【答案】 D
3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
X
0
1
P
a
b
则a＝________，b＝________.
【解析】 X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.
【答案】
4．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
甲组
乙组
9
9
0
X
8
9
1
1
1
0
如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列．
【解】 当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数分别是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数分别是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵树Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y
17
18
19
20
21
P
