2.1.3 超几何分布
学习目标：1.理解超几何分布及其推导过程．(重点、难点)2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)
教材整理 超几何分布
阅读教材P44～P45例1以上部分，完成下列问题．
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)超几何分布的模型是不放回抽样．( )
(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点．( )
(3)超几何分布中的参数是N，M，n.( )
(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示( )
A．5件产品中有3件次品的概率
B．5件产品中有2件次品的概率
C．5件产品中有2件正品的概率
D．5件产品中至少有2件次品的概率
【解析】 根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选 B．
【答案】 B
超几何分布概率公式的应用
【例1】 从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．
【精彩点拨】 摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可．
【解】 设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝≈0.385，
即恰好得7分的概率约为0.385.
1．解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解．
2．注意公式中M，N，n的含义．
1．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
【解】 X的可能取值是1,2,3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
超几何分布的分布列
【例2】 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
【精彩点拨】 →→
【解】 (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.
2．在本例中，设X1为取得红球的分数之和，X2为取得黑球的分数之和，X＝|X1－X2|，求X的分布列．
【解】 从袋中任取4个球的情况为：
1红3黑，X1＝2，X2＝3，X＝1；
2红2黑，X1＝4，X2＝2，X＝2；
3红1黑，X1＝6，X2＝1，X＝5；
4红，X1＝8，X2＝0，X＝8.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝8)＝＝.
故所求的分布列为：
X
1
2
5
8
P
超几何分布的综合应用
[探究问题]
从含有5件次品的100件产品中任取3件．这100件产品可分几类？取到的次品数X的取值有哪些？求次品数X＝2的概率．
【提示】 产品分两类：次品和非次品；X取值为：0,1,2,3；P(X＝2)＝≈0.006.
【例3】 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
【解】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
解决超几何分布问题的两个关键点
1．超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
2．超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．
【解】 设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.
P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，
P(X＝11)＝＝.
故X的分布列为
X
3
7
11
P
1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )
A. B．
C．1－ D．
【解析】 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为，故答案为1－.
【答案】 C
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
【答案】 B
3．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是( )
A．没有白球
B．至少有一个白球
C．至少有一个红球
D．至多有一个白球
【解析】 ＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．
【答案】 B
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.
【解析】 P(X＝3)＝＝.
【答案】
5．在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率．
【解】 X可以取1,2,3.P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
该考生合格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋
P(X＝3)＝＋＝.
课件37张PPT。第二章 概率2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.3 超几何分布点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 超几何分布
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选 B．
【答案】 B
2．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.
【答案】 C
3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
【解析】 结合题意，当X＝1时，P(X＝1)＝，
当X＝0时，P(X＝0)＝，
故P(X≤1)＝.
【答案】 B
4．设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 由题意知所求概率为P＝＝.
【答案】 A
5．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是( )
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
【解析】 15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝.
【答案】 C
二、填空题
6．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________.
【解析】 X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝.
【答案】
7．某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．
【解析】 有2人会说日语的概率为＝.
【答案】
8．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，则P(A)＝＋＝.
【答案】
三、解答题
9．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
(1)求X的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【解】 (1)X的可能取值为0,1,2,3.根据公式P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相应的概率．
即X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
10．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字．求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的概率分布；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
【解】 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的概率分布为
X
2
3
4
5
P
(3)一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C，P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
[能力提升练]
1．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为( )
A. B．
C. D．
【解析】 设随机变量X表示取出次品的件数，
则P(X＝0)＝＝.
【答案】 A
2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于( )
A．恰有1只是坏的概率
B．恰有2只是好的概率
C．4只全是好的概率
D．至多有2只是坏的概率
【解析】 恰有2只是好的概率为P＝＝.
【答案】 B
3．设某10件产品中含有a件次品，从中任取7件产品，其中含有的次品数为X，若X的可能取值中的最小值为2，则a＝__________.
【解析】 取出的7件产品中，要使所含的次品数最少，只需将10－a件正品都取出，然后再取2件次品即可，故(10－a)＋2＝7，解得a＝5.
【答案】 5
4．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现一次从中摸出5个球．
(1)若摸到4个红球，1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率；
(2)若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
【解】 (1)若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布(N＝30，M＝10，n＝5)，由公式得，
P(X＝4)＝＝≈0.029 5，
所以获一等奖的概率约为0.029 5.
(2)根据题意，设随机变量X表示“摸出红球的个数”，
则X服从超几何分布(N＝30，M＝10，n＝5)．
X的可能取值为0,1,2,3,4,5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋≈0.191 2，
故中奖的概率约为0.191 2.
