2.2 条件概率与事件的独立性
2.2.1 条件概率
学习目标：1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)
教材整理 条件概率
阅读教材P48～P49例1以上部分，完成下列问题．
1．两个事件A与B的交(或积)
把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记做D＝A∩B(或D＝AB)．
2．条件概率
名称
定义
符号表示
计算公式
条件概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率.
P(B|A)
P(B|A)＝，P(A)>0
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( )
(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．( )
(3)P(B|A)≠P(A∩B)．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A. B． C. D．
【解析】 由P(B|A)＝＝＝，故选A.
【答案】 A
3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
【解析】 根据条件概率公式知P＝＝0.5.
【答案】 0.5
利用定义求条件概率
【例1】 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为 B．
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
【精彩点拨】 首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
【解】 由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
1．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
【解析】 由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
【答案】
利用基本事件个数求条件概率
【例2】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【精彩点拨】 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
【解】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩ B．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
2．本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
【解】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.
n(A)＝A×A＝20，n(A∩C)＝A×A＝8，
∴P(C|A)＝＝＝.
条件概率的综合应用
[探究问题]
1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
【提示】 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
【提示】 “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率．
【提示】 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
【例3】 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；
(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．
【精彩点拨】 先求的基本函数的概率，再依据条件概率的计算公式计算．
【解析】 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
(2)法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝.
【答案】 (1) (2)
条件概率的解题策略
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
3．已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
【解】 设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P(C)＝P(A∩C)＋P(B∩C)
＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)P(A|C)＝＝＝.
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于( )
A. B．
C. D．
【解析】 由P(B|A)＝，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
【答案】 C
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A. B．
C. D．1
【解析】 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
【答案】 B
3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
【解析】 ∵P(A∩B)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.
【答案】
4．抛掷骰子2次，每次结果用(x1，x2)表示，其中x1，x2分别表示第一次、第二次骰子的点数．若设A＝{(x1，x2)|x1＋x2＝10}，B＝{(x1，x2)|x1>x2}，则P(B|A)＝________.
【解析】 ∵P(A)＝＝，P(A∩B)＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
【答案】
5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
【解】 (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(A∩B)＝＝，所以P(B|A)＝＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，
P(A1)＝，P(A1∩B1)＝＝，所以P(B1|A1)＝＝＝.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.
课件38张PPT。第二章 概率2.2 条件概率与事件的独立性
2.2.1 条件概率点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 条件概率
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B． C. D．
【解析】 ∵P(A)＝＝，P(A∩B)＝＝，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】 B
2．下列说法正确的是( )
A．P(B|A)＜P(A∩B) B．P(B|A)＝是可能的
C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0
【解析】 由条件概率公式P(B|A)＝及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(A∩B)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选 B．
【答案】 B
3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
【解析】 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
【答案】 A
4．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( )
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0,9
【解析】 [设A＝“在第一个路口遇到红灯”，B＝“在第二个路口遇到红灯”．由题意得，P(A∩B)＝0.4，P(A)＝0.5，所以P(B|A)＝＝＝0.8.]
【答案】 C
5．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是( )
A. B． C. D．
【解析】 设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B，则n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，
所以P(A|B)＝＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子(体积忽略不计)随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝________；
(2)P(B|A)＝________.
【解析】 (1)根据几何概型的概率计算公式得P(A)＝.
(2)根据条件概率计算公式得P(B|A)＝＝＝.
【答案】 (1) (2)
7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．
【解析】 设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72.
【答案】 0.72
8．一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地任取两次，每次取一球，在第一次取到的是白球的条件下，第二次也取到白球的概率是________．
【解析】 记事件A：第一次取得白球．
事件B：第二次取得白球．
事件B|A：第一次取到白球的条件下，第二次也取得白球．
则P(B|A)＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是.
(1)求n的值；
(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．
【解】 (1)由题意得：＝＝，解得n＝2.
(2)记“其中一个标号是1”为事件A，“另一个标号是1”为事件B，所以P(B|A)＝＝＝.
10．任意向x轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问：
(1)该点落在区间内的概率是多少？
(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．
【解】 由题意知，任意向(0,1)这一区间内掷一点，该点落在(0,1)内哪个位置是等可能的，令A＝，由几何概型的概率计算公式可求．
(1)P(A)＝＝.
(2)令B＝，则A∩B＝，P(A∩B)＝＝.
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)＝＝＝.
[能力提升练]
1．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是( )
A. B． C. D．
【解析】 一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．
记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A∩B＝{(女，女)}．
于是可知P(A)＝，P(A∩B)＝.问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝＝.
【答案】 D
2．将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于( )
A. B． C. D．
【解析】 事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(A∩B)＝3×5×4＝60.
所以P(A|B)＝＝.
【答案】 C
3．袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
【解析】 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以
P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
【答案】
4．如图所示，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．
【解】 事件A＝{任取的三个数中有a22}，事件B＝{三个数至少有两个数位于同行或同列}，
则＝{三个数互不同行且不同列}，依题意得n(A)＝C＝28，n(A∩)＝2，
故P(|A)＝＝＝，
则P(B|A)＝1－P(|A)＝1－＝.
即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为.
