2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变量的数学期望
学习目标：1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望．(重点)2.掌握二点分布、二项分布的数学期望．(重点)3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题．(难点)
教材整理1 离散型随机变量的数学期望
阅读教材P59～P60，完成下列问题．
1．定义
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
2．意义
刻画了离散型随机变量的平均取值水平．
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；
②随机变量的均值反映样本的平均水平；
③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4；
④随机变量X的均值E(X)＝.
【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
【答案】 ③
2．已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝________.
【解析】 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
【答案】
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
【解析】 E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.
【答案】 35
教材整理2 常见的几种分布的数学期望
阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题．
名称
二点分布
二项分布
超几何分布
公式
E(X)＝p
E(X)＝np
E(X)＝
1．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
【解析】 E(X)＝np＝4×＝.
【答案】
2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
【解析】 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以
E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
【答案】 0.8
二点分布与二项分布的数学期望
【例1】 某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
【解】 (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)二点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．二点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.
②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
1．(1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200
C．300 D．400
(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于( )
X
0
1
P
m
2m
A. B．
C. D．
【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.
【答案】 (1)B (2)D
求离散型随机变量的数学期望
【例2】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值．
【精彩点拨】 (1)可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率；(2)先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值．
【解】 只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－
＝1－＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.
从而知ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
求离散型随机变量ξ的数学期望的步骤
(1)根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值．
(2)求出ξ的每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)利用定义求出数学期望．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识．
2．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望．
【解】 X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
离散型随机变量的均值实际应用
[探究问题]
1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？
【提示】 随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.
2．在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？
【提示】 每次平均得分为＝0.8.
3．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？
【提示】 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．
【例3】 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的数学期望)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【精彩点拨】 →→→
【解】 (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，
P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
1．实际问题中的期望问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望．
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．
3．甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示．
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)．
【解】 (1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3，
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×
0．35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
1．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的数学期望是( )
A．0.83 B．0.8 C．2.4 D．3
【解析】 E(X)＝3×0.8＝2.4.
【答案】 C
2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为( )
A. B． C．2 D．
【解析】 X的取值为2,3.
因为P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
【答案】 D
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
【解析】 依题意得
即解得y＝0.4.
【答案】 0.4
4．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
【解析】 ∵P(X＝1)＝a＋b，
P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3.①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1.②
∴由①②可知a＝，b＝－，∴a＋b＝－.
【答案】 －
5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
【解】 (1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
课件47张PPT。第二章 概率2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变量的数学期望点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 离散型随机变量的数学期望
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解析】 ∵E(X)＝16，∴40p＝16，∴p＝0.4.故选 D．
【答案】 D
2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为( )
A．0.6 B．1 C．3.5 D．2
【解析】 抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.
【答案】 C
3．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A. B． C. D．
【解析】 E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
【答案】 D
4．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的期望为( )
A. B．1 C. D．
【解析】 遇到红灯的次数X～B，∴E(X)＝.
∴E(Y)＝E(2X)＝2×＝.
【答案】 D
5．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( )
A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2
【解析】 E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.
【答案】 A
二、填空题
6．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
【解析】 X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75.
【答案】 1.75
7．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．
【解析】 随机变量X的取值为0,1,2,4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝，因此E(X)＝.
【答案】
8．如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________.
【解析】 依题意得X的取值可能为0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【答案】
三、解答题
9．某俱乐部共有客户3 000人，若俱乐部准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4%.问俱乐部能否向每一位客户都发出领奖邀请？
【解】 设来领奖的人数ξ＝k(k＝0,1，…，3 000)，
∴P(ξ＝k)＝C(0.04)k(1－0.04)3 000－k，
则ξ～B(3 000,0.04)，那么E(ξ)＝3 000×0.04＝120(人)>100(人)．
∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请．
10．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【解】 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．
[能力提升练]
1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，X，Y的分布列分别是：
X
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1
Y
0
1
2
3
P
0.5
0.3
0.2
0
据此判定( )
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
【解析】 E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于E(Y)>E(X)，
故甲比乙质量好．
【答案】 A
2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
【解析】 出海的期望效益E(ξ)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
【答案】 B
3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.
【解析】 ∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×2＋2××2＝，P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，P(X＝3)＝×2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
【答案】
4．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
【解】 (1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，随机变量X的取值为：0，－1,1，因此，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列为
X
0
－1
1
P
则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
