2.4 正态分布
学习目标：1.了解正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．(重点)3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率．(难点)
教材整理1 正态曲线及正态分布
阅读教材P65～P66，完成下列问题．
1．正态变量的概率密度函数
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
f(x)＝e，x∈R.
其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．
2．正态分布的记法
期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)．
3．正态曲线
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
4．标准正态分布
数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布，记做N(0,1)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线．( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．( )
【解析】 (1)× 因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)√
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正态曲线的性质及3σ原则
阅读教材P66～P67习题以上部分，完成下列问题．
1．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．
2．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ
P(μ－2σP(μ－3σ上述结果可用图表示如下：
3．3σ原则
由P(μ－3σ1．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是______．(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
【解析】 正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．
【答案】 ③
2．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；
④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
【解析】 ∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6，
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
【答案】 ④
3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
【解析】 ∵X服从正态分布(1，σ2)，
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.
∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
【答案】 0.8
正态分布的概念及正态曲线的性质
【例1】 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
【精彩点拨】 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．
【解】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
?1?正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
?2?正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
1．(1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】 根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
【答案】 A
(2)如图所示是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
【解析】 由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
【答案】 A
服从正态分布变量的概率问题
【例2】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
【精彩点拨】 (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
【解】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
【答案】 C
(2)由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.6826.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341 3.
利用正态分布求概率的两个方法
1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解．
2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4【解】 (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X所以c＝2.
(2)P(－4正态分布的实际应用
[探究问题]
1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
【提示】 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？
【提示】 P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
【例3】 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
【精彩点拨】 将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
【解】 μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.
∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．
【解】 ∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝P(μ－2σ＝×0.954 4＋×0.682 6＝0.818 5.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.
1．正态分布密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是( )
A．0和8 B．0和4
C．0和2 D．0和
【解析】 由条件可知μ＝0，σ＝2.
【答案】 C
2．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
【解析】 当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e－.在x＝0时，取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.
【答案】 D
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
【解析】 由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P(X≤μ)＝.
【答案】
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________.
【解析】 由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
【答案】 0.16
5．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0)．
【解】 如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.841 3，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
课件43张PPT。第二章 概率2.4 正态分布点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 正态分布
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量ξ～N(2,2)，则D＝( )
A．1 B．2 C. D．4
【解析】 ∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.
∴D＝D(ξ)＝×2＝.
【答案】 C
2．下列函数是正态密度函数的是( )
A．f(x)＝e，μ，σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝e－
C．f(x)＝e－
D．f(x)＝e
【解析】 对于A，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A错误；对于B，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B正确；对于C，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝，故C不正确；对于D，指数部分缺少一个负号，故D不正确．
【答案】 B
3．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
D．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
【解析】 由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝，
P(Y≥μ1)＞，故P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)，故A错；
因为σ1＜σ2，所以P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；
对任意正数t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故C错；
对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选 D．
【答案】 D
4．某厂生产的零件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位：mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )
A．上、下午生产情况均为正常
B．上、下午生产情况均为异常
C．上午生产情况正常，下午生产情况异常
D．上午生产情况异常，下午生产情况正常
【解析】 根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．
【答案】 C
5．已知某批零件的长度误差(单位：mm)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
【解析】 由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B．
【答案】 B
二、填空题
6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
【解析】 由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
【答案】 0.2
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
【解析】 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.
【答案】 1
8．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；
②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
【解析】 根据正态分布N(μ，σ2)的密度曲线图象(图略)
可得：
①图象关于x＝μ对称，故①正确；
②随着x的增加，F(x)＝P(ξ③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.
【答案】 ①②④
三、解答题
9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2]内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4]内取值的概率；
(2)P(X>4)．
【解】 (1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图．
因为P(0(2)P(X>4)＝[1－P(010．一建筑工地所需要的钢筋的长度X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？
【解】 由于X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．
[能力提升练]
1．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
附：若X～N(μ，σ2)，
则P(μ－σP(μ－2σA．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
【解析】 由P(－1【答案】 C
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )
A．(90,110] B．(95,125]
C．(100,120] D．(105,115]
【解析】 由＝0.95，符合P(μ－2σ所以在(100,120]内．故选C.
【答案】 C
3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)
①P(|ξ|－a)(a>0)；
②P(|ξ|0)；
③P(|ξ|0)；
④P(|ξ|a)(a>0)．
【解析】 因为P(|ξ|因为P(|ξ|a)＝P(ξ因为P(|ξ|a)＝1，
所以P(|ξ|a)(a>0)，所以④正确．
【答案】 ②④
4．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
