[自我校对] ①回归分析 ②相互独立事件的概率 ③χ2公式 ④判断两变量的线性相关
回归分析问题
建立回归模型的步骤
(1)确定研究对象，明确变量x，y.
(2)画出变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等)．
(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系，则选用回归直线方程＝x＋)．
(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)．
(5)得出回归方程．
另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性．样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值．
【例1】 假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析．下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.7
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.6
173.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)求出这些数据的线性回归方程；
(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？
(4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．
【精彩点拨】 (1)作出散点图，确定两个变量是否线性相关；
(2)求出a，b，写出线性回归方程；
(3)回归系数即b的值，是一个单位变化量；
(4)根据线性回归方程可找出其规律．
【解】 (1)数据的散点图如下：
(2)用y表示身高，x表示年龄，
因为＝×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5，
＝×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，
＝≈≈6.316，
＝－b＝71.998，
所以数据的线性回归方程为y＝6.316x＋71.998.
(3)在该例中，回归系数6.316表示该人在一年中增加的高度．
(4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等．
1．假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗Y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
Y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
(1)以x为解释变量，Y为预报变量，作出散点图；
(2)求Y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗．
【解】 (1)散点图如下．
(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为＝x＋，＝30.36，＝43.5，
＝5 101.56，＝9 511.43.
＝1 320.66，2＝1 892.25，2＝921.729 6，
iyi＝6 746.76.
由＝≈0.29，
＝－＝43.5－0.29×30.36≈34.70.
故所求的线性回归方程为＝34.70＋0.29x.
当x＝56.7时，＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.
估计成熟期有效穗约为51.143.
独立性检验
独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下，我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量χ2的含义，可以通过P(χ2>6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出χ2>6.635说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.
独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表．
(2)根据公式χ2＝计算χ2的值．
(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断．
【例2】 在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？
物理优秀
化学优秀
总分优秀
数学优秀
228
225
267
数学非优秀
143
156
99
注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．
【精彩点拨】 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k的值．由观测值分析，得出结论．
【解】 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：
物理优秀
物理非优秀
合计
数学优秀
228
132
360
数学非优秀
143
737
880
合计
371
869
1 240
n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737，
n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1 240.
代入公式χ2＝，
得χ21＝≈270.114 3.
(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：
化学优秀
化学非优秀
合计
数学优秀
225
135
360
数学非优秀
156
724
880
合计
381
859
1 240
n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724，
n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1 240.
代入公式，得χ22＝
≈240.611 2.
(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：
总分优秀
总分非优秀
合计
数学优秀
267
93
360
数学非优秀
99
781
880
合计
366
874
1 240
n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781，
n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1 240.
代入公式，得χ23＝≈486．122 5.
由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到χ2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之．
2．某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”．经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A疾病．请用所学知识分析该药品对预防A疾病是否有效．
【解】 将问题中的数据写成如下2×2列联表：
患A疾病
不患A疾病
合计
服用该药品
5
100
105
不服用该药品
18
400
418
合计
23
500
523
将上述数据代入公式χ2＝中，计算可得χ2≈0.041 4，因为0.041 4<3.841，故没有充分理由认为该保健药品对预防A疾病有效.
转化与化归思想在回归分析中的应用
回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．
【例3】 某商店各个时期的商品流通率Y(%)与对应商品零售额x(万元)资料如下：
x
9.5
11.5
13.5
15.5
17.5
y
6
4.6
4
3.2
2.8
x
19.5
21.5
23.5
25.5
27.5
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
散点图显示出x与Y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率Y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．
【解】 设u＝，则y＝a＋bu，得下表数据：
u
0.105 3
0.087 0
0.074 1
0.064 5
0.057 1
y
6
4.6
4
3.2
2.8
u
0.051 3
0.046 5
0.042 6
0.039 2
0.036 4
y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
由表中数据可得Y与u之间的回归直线方程为
＝－0.187 5＋56.25 u.
所以所求的回归方程为＝－0.187 5＋.当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.
3．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，Y(单位：mg)表示未转化物质的质量．
x/min
1
2
3
4
5
6
Y/mg
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
(1)设Y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)；
(2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)．
【解】 (1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a，ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得
xi
1
2
3
4
5
6
yi
39.8
32.2
25.4
20.3
16.2
13.3
zi
3.684
3.472
3.235
3.011
2.785
2.588
由公式得≈3.905 5，≈－0.221 9，则线性回归方程为＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，ln d＝
－0.221 9，
故c≈49.675，d≈0.801，
所以c，d的估计值分别为49.675,0.801.
(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)．
1．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A．11.4万元 B．11.8万元
C．12.0万元 D．12.2万元
【解析】 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
【答案】 B
2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
【解析】 A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
χ2＝＝.
B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
χ2＝＝.
C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
χ2＝＝.
D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
χ2＝＝.
∵<<<，
∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．
【答案】 D
3．如图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4， (ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103.
＝－≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2019年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
4．某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年 份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝，＝－.
【解】 (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2019年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得
＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
课件50张PPT。第三章 统计案例章末复习课Thank you for watching !章末综合测评(三) 统计案例
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中错误的是( )
A．如果变量x与Y之间存在着线性相关关系，则我们根据试验数据得到的点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)将散布在某一条直线的附近
B．如果两个变量x与Y之间不存在着线性关系，那么根据它们的一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能写出一个线性方程
C．设x，Y是具有相关关系的两个变量，且Y关于x的线性回归方程为＝bx＋a，b叫做回归系数
D．为使求出的线性回归方程有意义，可用统计检验的方法来判断变量Y与x之间是否存在线性相关关系
【解析】 任何一组(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都能写出一个线性方程，只是有的无意义．
【答案】 B
2．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则等于( )
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
【解析】 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得＝5.25.
【答案】 D
3．对变量x，Y由观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)得散点图①.对变量u，V由观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
① ②
A．变量x与Y正相关，u与V正相关
B．变量x与Y正相关，u与V负相关
C．变量x与Y负相关，u与V正相关
D．变量x与Y负相关，u与V负相关
【解析】 由这两个散点图可以判断，变量x与Y负相关，u与V正相关，选C.
【答案】 C
4．在下列各量与量之间的关系中是相关关系的是( )
①正方体的表面积与棱长之间的关系；②一块农田的小麦的产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的收入与支出之间的关系；⑤某家庭用水量与水费之间的关系．
A．②③ B．③④
C．④⑤ D．②③④
【解析】 ①⑤属于函数关系．
【答案】 D
5．设有一个线性回归方程为＝－2＋10x，则变量x增加一个单位时( )
A．y平均减少2个单位 B．y平均增加10个单位
C．y平均增加8个单位 D．y平均减少10个单位
【解析】 10是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均增加10个单位．
【答案】 B
6．在吸烟与患肺病这两个事件是否相关的判断中，下列说法中正确的是( )
①若χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．① B．①③
C．③ D．②
【解析】 χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故①不正确；②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；③正确．
【答案】 C
7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.＝0.4x＋2.3
B．＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D．＝－0.3x＋4.4
【解析】 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D．因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A和B中的直线方程进行检验，可以排除B，故选A.
【答案】 A
8．在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是( )
说谎
不说谎
合计
男
6
7
13
女
8
9
17
合计
14
16
30
A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关
B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关
C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关
D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关
【解析】 由表中数据得χ2＝≈0.002 42<3.841.
因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选 D．
【答案】 D
9．甲、乙两个班级进行一门课程考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：
优秀
不优秀
合计
甲班
10
35
45
乙班
7
38
45
合计
17
73
90
利用独立性检验估计，你认为推断“成绩与班级有关系”错误的概率介于( )
A．0.3～0.4 B．0.4～0.5
C．0.5～0.6 D．0.6～0.7
【解析】 ∵χ2＝＝≈0.652 7>0.455，
P(χ2≥0.455)＝0.5，故选 B．
【答案】 B
10．以下是两个变量x和Y的一组数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
Y
1
4
9
16
25
36
49
64
则这两个变量间的线性回归方程为( )
A.＝x2 B．＝
C.＝9x－15 D．＝15x－9
【解析】 根据数据可知每一个Y值对应一个x2值，故选A.
【答案】 A
11.
以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A，B，C点；
③已知回归直线方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线＝bx＋a才是回归直线，
∴①不对；②正确；将x＝25代入＝0.50x－0.81，解得＝11.69，∴③正确；④正确．
【答案】 D
12．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1
【解析】 变量Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，所以r1＞0；变量V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2＜0，所以r2＜0＜r1.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知一回归直线方程为＝1.5x＋45，x∈{1,5,7,13,19}，则＝________.
【解析】 因为＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，且＝1.5＋45，所以＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】 58.5
14．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持企业改革
不赞成企业改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
对于人力资源部的研究项目，根据上述数据试求χ2的观测值为________．
【解析】 根据列联表中的数据，得到χ2＝
≈10.76.
【答案】 10.76
15．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，求得回归方程＝0.67x＋54.9.
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间Y(min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
【解析】 由表知＝30，设模糊不清的数据为m，则＝(62＋m＋75＋81＋89)＝，因为＝0.67＋54.9，
即＝0.67×30＋54.9，
解得m＝68.
【答案】 68
16．某地区恩格尔系数Y(%)与年份x的统计数据如下表：
年份x
2006
2007
2008
2009
恩格尔系数Y(%)
47
45.5
43.5
41
从散点图可以看出Y与x线性相关，且可得回归方程为＝bx＋4 055.25，据此模型可预测2020年该地区的恩格尔系数Y(%)为________．
【解析】 由表可知＝2 007.5，＝44.25.
因为＝b ＋4 055.25，
即44.25＝2 007.5b＋4 055.25，
所以b≈－2，所以回归方程为＝－2x＋4 055.25，令x＝2 020，得＝15.25.
【答案】 15.25
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展，有人记录了某村2006到2016年10年间每年考入大学人数所占该年参加高考总人数的百分比，为了便于计算，把2006年编号为0,2007年编号为1，…，2016年编号为10.如果把每年考入大学人数占该年参加高考总人数的百分比作为因变量，把年份从0到10作为自变量进行回归分析，可得到下面三条回归直线：
农村＝0.42x＋1.80；
县镇＝2.32x＋6.76；
城市＝2.84x＋9.50.
(1)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着什么？
(2)在这10年间，农村、县镇和城市哪一个的大学入学率增长最快？
(3)预测2020年县镇的入学率是多少？
【解】 (1)0.42是回归直线的斜率，意味着对于农村考生，每年的入学率平均增长0.42%.
(2)城市对应回归直线的斜率最大，所以城市的年入学率增长最快．
(3)y＝2.32×14＋6.76＝39.24，故2020年县镇的入学率为39.24%.
18．(本小题满分12分)为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
合计
兴趣浓厚
64
30
94
兴趣不浓厚
22
73
95
合计
86
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
【解】 由公式得：χ2＝≈38.459.
∵38.459>6.635，∴有99%的把握说，学生的学习数学兴趣与数学成绩是有关的．
19．(本小题满分12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
【解】 (1)＝＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
∵＝－20，＝－，
∴＝80＋20×8.5＝250，∴回归直线方程＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，则L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－202＋361.25，
∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．
20．(本小题满分12分)对于表中的数据：
x
1
2
3
4
y
1.9
4.1
6.1
7.9
(1)作散点图，你从直观上得到什么结论？
(2)求线性回归方程．
【解】 (1)如图，x，y具有很好的线性相关性．
(2)因为＝2.5，＝5，xiyi＝60，
x＝30，y＝120.04.
故b＝＝2，
a＝－b ＝5－2×2.5＝0，
故所求的回归直线方程为
＝2x.
21．(本小题满分12分)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
已知：χ2＝，
当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关．
非高收入族
高收入族
合计
赞成
不赞成
合计
【解】
非高收入族
高收入族
合计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
合计
40
10
50
χ2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．
22．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
【解】 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，其中女生为2人．
记“从‘超级体育迷’中取2人，至少有1名女性”为事件A.
则P(A)＝＝，
即从“超级体育迷”中任意选取2人，至少有1名女性观众的概率为.
