1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列及排列数公式
学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.会用排列数公式进行求值和证明．(难点)
教材整理1 排列的概念
阅读教材P9，完成下列问题．
1．一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．两个排列相同的含义为：组成排列的元素相同，并且元素的排列顺序也相同．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．( )
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．( )
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．( )
【解析】 (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．
(4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同，结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．
(5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
教材整理2 排列数与排列数公式
阅读教材P10～P11，完成下列问题．
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念
n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N＋，m≤n)
特殊情况
A＝n！，A＝1,0！＝1
1．A＝________，A＝________.
【解析】 A＝4×3＝12；
A＝3×2×1＝6.
【答案】 12 6
2.＝________.
【解析】 ＝＝.
【答案】
3．由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________．
【解析】 用树形图表示为
由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．
【答案】 123,132,213,231,312,321
排列的概念
【例1】 判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
【精彩点拨】 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
【解】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中，(2)(5)(6)属于排列问题．
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
1．判断下列问题是否是排列问题．
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？
(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？
(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种
【解】 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．
(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．
(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．
综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题.
排列的列举问题
【例2】 写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【精彩点拨】 (1)直接列举数字．
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
【解】 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
2．(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
(2)A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________种不同的排列方法．
【解析】 (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．
(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B，C，D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．
所以符合题意的所有排列是：
BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14种．
【答案】 (1)12 (2)14
排列数公式的推导及应用
[探究问题]
1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
【提示】 从这4个数字中选出2个能构成A＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．
2．由探究1知A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，你能否得出A的意义和A的值？
【提示】 A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1)．
3．你能写出A的值吗？有什么特征？若m＝n呢？
【提示】 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N＋，m≤n)．
(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；
(2)全排列：当n＝m时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n(n－1)(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)．
另外，我们规定0！＝1.
所以A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝.
【例3】 (1)计算：；
(2)证明：A－A＝mA.
【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A＝进行变形推导．
【解】 (1)法一：＝＝＝.
法二：＝＝＝＝.
(2)∵A－A＝－
＝·
＝·
＝m·
＝mA，
∴A－A ＝mA.
排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
3．求3A＝4A中的x.
【解】 原方程3A＝4A可化为＝，
即＝，化简，
得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题．而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．
【答案】 B
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
【解析】 4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.
【答案】 D
3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．
【解析】 利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120种．
【答案】 120
4．A－6A＋5A＝________.
【解析】 原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120.
【答案】 120
5．将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人，每人一束，共有多少种不同的分法？请将它们列出来．
【解】 按分步乘法计数原理的步骤：
第一步，分给甲，有3种分法；
第二步，分给乙，有2种分法；
第三步，分给丙，有1种分法．
故共有3×2×1＝6种不同的分法．
列出这6种分法，如下：
甲
乙
丙
玫瑰花
月季花
莲花
玫瑰花
莲花
月季花
月季花
玫瑰花
莲花
月季花
莲花
玫瑰花
莲花
玫瑰花
月季花
莲花
月季花
玫瑰花
课件43张PPT。第一章 计数原理1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第1课时 排列及排列数公式23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 排列的综合应用
学习目标：1.掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
教材整理 排列的综合应用
阅读教材P11例3～P13，完成下列问题．
1．解简单的排列应用题的基本思想
2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．
1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
【解析】 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．
【答案】 48
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
【解析】 把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．
【答案】 24
3．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．
【解析】 翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有A种选法，由分步乘法计数原理知共有4×A＝240种选派方案．
【答案】 240
无限制条件的排列问题
【例1】 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【精彩点拨】 (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
【解】 (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，不同的选法共有________种．
【解析】 (1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.
(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，应有A＝5×4×3＝60种选法．
【答案】 (1)720 (2)60
排队问题
【例2】 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)老师甲必须站在中间或两端；
(2)2名女生必须相邻而站；
(3)4名男生互不相邻；
(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．
【精彩点拨】 解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．
【解】 (1)先考虑甲有A种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：AA＝2 160(种)．
(2)2名女生站在一起有站法A种，视为一种元素与其余5人全排，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1 440(种)．
(3)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)．
(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
解决排队问题时应注意的问题
1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．
2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式排入．
3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．
4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端．
【解】 (1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2 880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法.
数字排列问题
[探究问题]
1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
【提示】 偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排法，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(个)不同的偶数．
2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?
【提示】 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
3．如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？
【提示】 先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．
【例3】 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
【精彩点拨】 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．
【解】 (1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
法二：从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
法三：排除法
6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．
(2)法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：
第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．
第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．
故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．
解排数字问题常见的解题方法
1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．
3．用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．
(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？
(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？
【解】 (1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有A·A个．故满足条件的五位数的个数共有A＋A·A＝216(个)．
(2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类：
第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共A·A个；
第二类，形如14□□，15□□，共有A·A个；
第三类，形如134□，135□，共有A·A个．
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 325大的四位数共有：A·A＋A·A＋A·A＝270(个)．
(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，∴240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120 C．720 D．240
【解析】 由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.
【答案】 C
2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 B．960种 C．720种 D．480种
【解析】 从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有AAA＝960种不同的排法．
【答案】 B
3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
【解析】 先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．
【答案】 144
4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
【解析】 分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，
③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．
【答案】 24
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
【解】 法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案．
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240种．
法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种．
课件41张PPT。第一章 计数原理1.2 排列与组合
1.2.1 排列
第2课时 排列的综合应用2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 排列及排列数公式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作logab中的底数与真数．
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
【解析】 根据排列的概念知①④是排列问题．
【答案】 A
2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有( )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
【解析】 符合题意的商有A＝4×3＝12个．
【答案】 C
3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( )
A．8 B．12 C．16 D．24
【解析】 设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，
∴n＝12.
【答案】 B
4．下列各式中与排列数A相等的是( )
A.
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.
D．AA
【解析】 A＝，
而AA＝n×＝，
∴AA＝A.
【答案】 D
5．不等式A－n<7的解集为( )
A．{n|－1C．{3,4} D．{4}
【解析】 由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1【答案】 C
二、填空题
6．集合P＝{x|x＝A，m∈N＋}，则集合P中共有______个元素．
【解析】 因为m∈N＋，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．
【答案】 3
7．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)
①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；
②甲乙丙，乙丙甲；
③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
④甲乙，甲丙，乙丙．
【解析】 这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．
【答案】 ③
8．如果A＝15×14×13×12×11×10，那么n＝______，m＝________.
【解析】 15×14×13×12×11×10＝A，故n＝15，m＝6.
【答案】 15 6
三、解答题
9．下列问题中哪些是排列问题？
(1)5名学生中抽2名学生开会；
(2)5名学生中选2名做正、副组长；
(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除；
(5)6位同学互通一次电话；
(6)6位同学互通一封信；
(7)以圆上的10个点为端点作弦；
(8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一点的射线．
【解】 (2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是排列．
10．证明：A＋kA＝A.
【证明】 左边＝＋k
＝
＝＝，
右边＝A＝，
所以A＋kA＝A.
[能力提升练]
1．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是( )
A．8 B．5
C．3 D．0
【解析】 因为当n≥5时，A的个位数是0，故S的个位数取决于前四个排列数，又A＋A＋A＋A＝33，所以S的个位数字是3.
【答案】 C
2．若a∈N＋，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A B．A
C．A D．A
【解析】 A＝(27－a)(28－a)…(34－a)．
【答案】 D
3．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．
【解析】 司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知共有AA种不同的安排方法．
【答案】 576
4．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票？
【解】 对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从6个不同元素(大站)中取出2个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为从6个不同元素中取出2个不同元素的排列数A＝6×5＝30.
故一共需要为这六个大站准备30种不同的火车票．
课时分层作业(四) 排列的综合应用
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某电影要在5所大学里轮流放映，则不同的轮映方法有( )
A．25种 B．55种
C．A种 D．53种
【解析】 其不同的轮映方法相当于将5所大学的全排列，即A.
【答案】 C
2．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )
A．6种 B．9种
C．18种 D．24种
【解析】 先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有A·A＝18(种)．
【答案】 C
3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．144种
【解析】 先排除A，B，C外的三个程序，有A种不同排法，再排程序A，有A种排法，最后插空排入B，C，有A·A种排法，所以共有A·A·A·A＝96种不同的编排方法．
【答案】 C
4．生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
【解析】 分类完成：第1类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有A种排法；
第2类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第四道工序有2种排法，其余两道工序有A种排法，有2A种排法．
由分类加法计数原理，共有A＋2A＝36种不同的安排方案．
【答案】 B
5．用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )
A．288个 B．240个
C．144个 D．126个
【解析】 第1类，个位数字是2，首位可排3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数；
第2类，个位数字是4，有AA个数；
第3类，个位数字是0，首位可排2,3,4,5之一，有A种排法，排其余数字有A种排法，所以有AA个数．
由分类加法计数原理，可得共有2AA＋AA＝240个数．
【答案】 B
二、填空题
6．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．
【解析】 若得到二次函数，则a≠0，a有A种选择，故二次函数有AA＝3×3×2＝18(个)．
【答案】 18
7．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．
【解析】 先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝4×24＝96(种)．
【答案】 96
8．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是________．
【解析】 可分为三步来完成这件事：
第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法；
第二步：再将4,6插空排列，共有2A种排法；
第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法．
由分步乘法计数原理得，共有A2AA＝40种不同的排法．
【答案】 40
三、解答题
9．对于任意正整数n，定义“n的双阶乘n！！”如下：
当n为偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…6×4×2；
当n为奇数时，n！！＝n(n－2)·(n－4)…5×3×1.
求证：(1)(2 010！！)·(2 009！！)＝2 010！；
(2)4 030！！＝22 015·2 015！.
[证明] (1)由定义，得(2 010！！)·(2 009！！)
＝(2 010×2 008×2 006×…×6×4×2)×(2 009×2 007×2 005×…×5×3×1)
＝2 010！.
(2)4 030！！＝4 030×4 028×4 026×…×6×4×2＝22 015·(2 015×2 014×…×3×2×1)＝22 015·2 015！.
10．有红、蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中任取3个标号不同的球，求颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数．
【解】 所标数字互不相邻的方法有135,136,146,246，共4种方法.3个球颜色互不相同有A＝4×3×2×1＝24种，所以这3个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数有4×24＝96种．
[能力提升练]
1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．10种 B．12种
C．9种 D．8种
【解析】 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A·A·1＝12(种)不同的排列方法．
【答案】 B
2．安排6名歌手演出的顺序时，要求歌手乙、丙均排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数是( )
A．180 B．240
C．360 D．480
【解析】 不同的排法种数先全排列有A，甲、乙、丙的顺序有A，乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面的顺序有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，丙乙甲，4种顺序，所以不同排法的种数共有4×＝480种．
【答案】 D
3．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和2日，不同的安排方法共有________种(用数字作答)．
【解析】 法一：(直接法)先安排甲、乙两人在后5天值班，有A＝20种排法，其余5天再进行排列，有A＝120种排法，所以共有20×120＝2 400种安排方法．
法二：(间接法)不考虑甲、乙两人的特殊情况，其安排方法有A＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040种方法，其中不符合要求的有AA＋AAAA＝2 640种方法，所以共有5 040－2 640＝2 400种方法．
【答案】 2 400
4．有8人排成一排照相，要求A，B两人不相邻，C，D，E三人互不相邻，问共有多少种不同的排法？
【解】 先排没有限制条件的三人，有A种不同的排法，在排A，B两人时，可以进行分类讨论：
当A，B两人不相邻时，有A种不同的排法，再用插空的方法排C，D，E三人，有A种不同的排法，故此时共有AAA种不同的排法；
当A，B两人相邻时，有AA种不同的排法，再从C，D，E三人选择一人插到A，B中间，然后从剩余的5个空位中选择2个把剩下的两人排进去，有AA种不同的排法，故此时共有AAAAA种不同的排法．
因此，不同的排法共有AAA＋AAAAA＝8 640＋2 880＝11 520(种).
