1.2.2 组合
第1课时 组合及组合数公式
学习目标：1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2.会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)
教材整理1 组合与组合数的概念
阅读教材P15～P16部分，完成下列问题．
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
2．组合数的概念
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C表示．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．( )
(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C.( )
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )
【解析】 (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)√ 由组合数的定义可知正确．
(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
教材整理2 组合数公式及性质
阅读教材P16～P19部分，完成下列问题．
组合数公式及其性质
(1)公式：C＝＝.
(2)性质：C＝C，C＋C＝C.
(3)规定：C＝1.
1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.
【答案】 3
2．C＝________，C＝________.
【解析】 C＝＝15，
C＝C＝18.
【答案】 15 18
3．方程C＝C的解为________．
【解析】 由题意知或
解得x＝4或6.
【答案】 4或6
4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．
【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C＝6.
【答案】 6
组合的概念
【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
【解】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．
1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
2．区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
组合数公式的应用
【例2】 (1)式子可表示为( )
A．A B．C
C．101C D．101C
(2)求值：C＋C.
【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．
【解】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，
故
＝101·
＝101C.
【答案】 D
(2)由组合数定义知：
所以4≤n≤5，又因为n∈N＋，
所以n＝4或5.
当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；
当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.
关于组合数计算公式的选取
1．涉及具体数字的可以直接用公式C＝＝计算．
2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算．
3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算．
2．求等式＝中的n值．
【解】 原方程可变形为＋1＝，C＝C，
即
＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求.
组合的性质
[探究问题]
1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？
【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C＝＝10(种)选法．
法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C＝＝10(种)不同选法．
经求解发现C＝C.推广到一般结论有C＝C.
2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？
【提示】 共有C＝＝210(种)选法．
3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？
【提示】 若队长必须参加，共C＝126(种)选法．若队长不能参加，共C＝84(种)选法．
由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C＝C＋C.
一般地：C＝C＋C.
【例3】 (1)计算C＋C＋C＋…＋C的值为( )
A．C B．C
C．C－1 D．C－1
(2)解方程3C＝5A；
(3)解不等式C＞C.
【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．
【解】 (1)C＋C＋C＋…＋C
＝C＋C＋C＋…＋C2 018－C
＝C＋C＋…＋C－1＝…
＝C＋C－1＝C－1.
【答案】 C
(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为
3·＝5·，
则＝，即为(x－3)(x－6)＝40.
∴x2－9x－22＝0，
解得x＝11或x＝－2.
经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．
∴方程的根为x＝11.
(3)由C＞C，得
?
?又n∈N＋，
∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．
1．性质“C＝C”的意义及作用
2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
3．(1)化简：C－C＋C＝________；
(2)已知C－C＝C，求n的值．
【解析】 (1)原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0.
【答案】 0
(2)根据题意，C－C＝C，
变形可得C＝C＋C，
由组合数的性质，可得
C＝C，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
1．下列四个问题属于组合问题的是( )
A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式
D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
【解析】 A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．
【答案】 C
2．若A＝12C，则n等于( )
A．8 B．5或6
C．3或4 D．4
【解析】 A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)，
所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1)．
由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.
【答案】 A
3．C＋C的值为________．
【解析】 C＋C＝C＝＝＝84.
【答案】 84
4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．
【解析】 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．
【答案】 15
5．已知C，C，C成等差数列，求C的值．
【解】 由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
