1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
学习目标：1.会证明二项式定理．(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式．(重点)
教材整理 二项式定理
阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题．
二项式定理及相关的概念
二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理
二项式系数
各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数
二项式通项
Can－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)
二项展开式
Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)
备注
在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋Cxn(n∈N＋)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )
【解析】 (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)× 因为二项式的第r＋1项Can－rbr和(b＋a)n的展开式的第r＋1项Cbn－rar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)× 因为Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r＋1项．
(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
二项式定理的正用、逆用
【例1】 (1)用二项式定理展开5；
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC.
【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
【解】 (1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5
＝32x5－120x2＋－＋－.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
1．(1)求4的展开式；
(2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC.
【解】 (1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3
·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4
＝81x2＋108x＋54＋＋.
法二：4＝
＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.
二项式系数与项的系数问题
【例2】 (1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)求9的展开式中x3的系数．
【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
【解】 (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1
＝C(2)6－r·r
＝(－1)rC·26－r·x3，
∴T6＝－12·x.
∴第6项的二项式系数为C＝6，
第6项的系数为C·(－1)·2＝－12.
(2)Tr＋1＝Cx9－r·r＝(－1)r·C·x9－2r，
∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C＝－84.
1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
2．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
【解】 T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，∴n＝8.
∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1 120x4.
设第r＋1项系数最大，则有
∴5≤r≤6.
∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8)．
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
求展开式中的特定项
[探究问题]
1．如何求4展开式中的常数项？
【提示】 利用二项展开式的通项Cx4－r·＝Cx4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以4展开式中的常数项为C＝＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
【提示】 (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？
【提示】 (2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
【例3】 已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
【精彩点拨】 →
→→→
→→
→
【解】 通项公式为：
Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tr＝Can－r＋1br－1；
(2)求含xr的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
【解析】 (1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
(2)6的展开式的通项是
Tr＋1＝Cx6－r·(－)rx－2r＝Cx6－3r(－)r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知得Ca＝60，解得a＝4.
【答案】 (1)207 (2)4
1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是( )
A．－27C B．27C
C．－9C D．9C
【解析】 含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.
【答案】 D
2．在8的展开式中常数项是( )
A．－28 B．－7
C．7 D．28
【解析】 Tr＋1＝C·8－r·r＝(－1)r·C·8－r·x，当8－r＝0，即r＝6时，T7＝(－1)6·C·2＝7.
【答案】 C
3．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A．12 B．16
C．20 D．24
【解析】 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
【答案】 A
4．在6的展开式中，中间项是________．
【解析】 由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
【答案】 －160x3
5．求5的展开式的第三项的系数和常数项．
【解】 T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.
通项Tr＋1＝C(x3)5－rr＝r·Cx15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝C(x3)23＝.
课件38张PPT。第一章 计数原理1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理2345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七) 二项式定理
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( )
A．(x－1)3 B．(x－2)3
C．x3 D．(x＋1)3
【解析】 S＝[(x－1)＋1]3＝x3.
【答案】 C
2．已知7 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
A. B．－
C．7 D．－7
【解析】 T4＝Cx43＝5，则x＝－.
【答案】 B
3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
【解析】 x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.
【答案】 B
4．使n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rx，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．
【答案】 B
5．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
【解析】 二项式5展开式的通项为：Tr＋1＝
C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.
当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选 D．
【答案】 D
二、填空题
6．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．
【解析】 由题意知，C＝C，∴n＝8.
∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝56.
【答案】 56
7．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为 B．若B＝4A，则a的值是________．
【解析】 Tr＋1＝Cx6－r(－ax)r＝C(－a)r·x，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，
∴a＝2.
【答案】 2
8．9192被100除所得的余数为________．
【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.
法二：9192＝(90＋1)92＝C·9092＋C·9091＋…＋C·902＋C·90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝
8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81
三、解答题
9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N＋)．
【解】 将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.
∴S＝(－1)n＝
10．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
【解】 (1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，令3－r＝2，得r＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
[能力提升练]
1．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
【解析】 Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，分别将选项A、B、C、D代入检验知，仅C适合．
【答案】 C
2．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19 B．19 C．20 D．－20
【解析】 n的通项公式为Tr＋1＝C()n－r·r＝Cx，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.
【答案】 C
3．对于二项式n(n∈N＋)，有以下四种判断：
①存在n∈N＋，展开式中有常数项；②对任意n∈N＋，展开式中没有常数项；③对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N＋，展开式中有x的一次项．其中正确的是________．
【解析】 二项式n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
【答案】 ①④
4．求5的展开式的常数项．
【解】 法一：由二项式定理得5＝5＝C·5＋C·4·＋C·3·()2＋C·2·()3＋C··()4＋C·()5.
其中为常数项的有：
C4·中的第3项：CC·2·；
C·2·()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项：C·()5.
综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.
法二：原式＝5
＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.
