1.3.2 杨辉三角
学习目标：1.了解杨辉三角，并探索其中的规律．(难点)2.掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)3.掌握“赋值法”并会灵活运用．
教材整理1 杨辉三角
阅读教材P29，完成下列问题．
杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
1．如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3 3
5 6 5
7 11 11 7
9 18 22 18 9
……
【解析】 由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.
【答案】 2n－1
2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
【解析】 设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，
则3C＝2C，
即＝，
解得n＝34.
【答案】 34
教材整理2 二项式系数的性质
阅读教材P29后半部分，完成下列问题．
1．每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．
2．每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等．
3．如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项T的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大．
4．二项展开式的二项式系数的和等于2n.
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．
【解析】 因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.
【答案】 8
2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于________．
【解析】 二项式系数之和为C＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.
【答案】 5
3．(2x－1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
【解析】 因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，
再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
【答案】
与“杨辉三角”有关的问题
【例1】 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
【精彩点拨】 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
【解】 S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
“杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
1．如图所示，满足如下条件：
①第n行首尾两数均为n；
②表中的递推关系类似“杨辉三角”．
则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．
【解析】 由图表可知第10行的第2个数为：
(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，
第n行的第2个数为：
[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.
【答案】 46
求展开式的系数和
【例2】 设(1－2x)2 019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 019·x2 019(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 019的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 019|的值．
【精彩点拨】 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．
【解】 (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 019＝(－1)2 019＝－1.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 019＝32 019.②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 019)＝－1－32 019，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 019＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 019|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 019＝32 019.
1．解决二项式系数和问题思维流程
2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6.
【解】 (1)令x＝0，则a0＝－1；
令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①
所以a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②
由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，
∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.
二项式系数性质的应用
[探究问题]
1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
【提示】 对称性，因为C＝C.
2．计算，并说明你得到的结论．
【提示】 ＝.
当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
【提示】 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C，C相等，且同时取得最大值．
【例3】 已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【精彩点拨】 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
【解】 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x(5＋2r)．
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
【解】 由5，得
Tr＋1＝C5－rr＝5－r·C·x，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C×＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，
由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54，所以a＝±.
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n
C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
【解析】 该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
【答案】 C
2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于( )
A．64 B．32 C．63 D．31
【解析】 C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
【答案】 B
3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
【解析】 (7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
【答案】 5
4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.
【解析】 (a－x)5展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCa5－rxr，
令r＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
【答案】 1
5．在8的展开式中，求：
(1)系数的绝对值最大的项；
(2)二项式系数最大的项；
(3)系数最大的项；
(4)系数最小的项．
【解】 Tr＋1＝C()8－rr＝(－1)rC2rx.
(1)设第r＋1项系数的绝对值最大，
则∴
解得5≤r≤6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．
所以T5＝C·24·x＝1 120x－6.
(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．
则系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1 792x－11.
(4)系数最小的项为
T6＝(－1)5C·25x＝－1 792x.
课件45张PPT。第一章 计数原理1.3 二项式定理
1.3.2 杨辉三角点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 杨辉三角
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
【解析】 第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
【答案】 B
2．已知n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )
A．5 B．20
C．10 D．40
【解析】 根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cx2(5－r)·x－r＝Cx10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C＝10，故选C.
【答案】 C
3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A．2n B．
C．2n＋1 D．
【解析】 令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，
∴a0＋a2＋…＋a2n＝.故选 D．
【答案】 D
4．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为( )
A. B．
C. D．
【解析】 a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.故选A.
【答案】 A
5．在(x－)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于( )
A．23 015 B．－23 014
C．23 014 D．－23 008
【解析】 因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23 014.
【答案】 B
二、填空题
6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
【解析】 令x＝0，得a0＝1.令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.
【答案】 －1
7．若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________．
【解析】 7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.
【答案】 7或0
8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
【解析】 根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项C，C，C，有＝且＝.
化简得＝，＝，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】 62
三、解答题
9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】 (1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.
10．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数最大的项的系数．
【解】 由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8.8的展开式共有9项，其中T5＝C4(2x)4＝x4，该项的二项式系数最大，系数为.
[能力提升练]
1．若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【解析】 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(－1)10，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)
＝(－1)10(＋1)10＝1.
【答案】 A
2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)的数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是( )
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
A．91 B．101
C．106 D．103
【解析】 设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，
∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.
【答案】 B
3．若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
【解析】 令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.
【答案】 5
4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．
【解】 (1)由已知C＋2C＝11，所以m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1)＝＋(11－m)·＝2＋.
因为m∈N＋，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
