2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.会用离散型随机变量描述随机现象．(难点)
教材整理 离散型随机变量
阅读教材P40练习以上部分，完成下列问题．
1．随机变量
(1)定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．
(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．( )
(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．( )
(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．( )
【解析】 (1)√ 因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．
(2)√ 因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.
(3)√ 因为由随机变量的定义可知，该说法正确．
(4)√ 因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．
(5)√ 因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
随机变量的概念
【例1】 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；
(2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【精彩点拨】 利用随机变量的定义判断．
【解】 (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
1．(1)下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【解析】 (1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．
(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
【答案】 (1)B (2)C
离散型随机变量的判定
【例2】 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
【精彩点拨】 →→
【解】 (1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
“三步法”判定离散型随机变量
1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2．由条件求解随机变量的值域．
3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．
【解】 (1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3
个黑球
取得1个白
球，2个黑球
取得2个白
球，1个黑球
取得3
个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．
随机变量的可能取值及试验结果
[探究问题]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
【提示】 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
【提示】 X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
【提示】 “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
【精彩点拨】 →→
【解】 (1)设所需的取球次数为X，则
X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；
X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；
X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；
X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；
X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．
用随机变量表示随机试验的结果
问题的关键点和注意点
1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
【解】 (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D．
【答案】 D
2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是( )
A第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
【解析】 {ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.
【答案】 C
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
【解析】 由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
【答案】 9
4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
【解析】 甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
【答案】 0,1,2,3
5．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X；
(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.
【解】 (1)X的可能取值为1,2,3，…，10.
X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.
(3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12.
X＝2表示(1,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；
X＝12表示(6,6)．X的可能取值为2,4,6,8,10,12.
课件36张PPT。第二章 概率2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 离散型随机变量
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差
【解析】 两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．
【答案】 A
2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
【解析】 由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选 B．
【答案】 B
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
【解析】 ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
【答案】 D
4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N
B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N
D．－5≤X≤5，X∈Z
【解析】 两次掷出的点数均可能为1～6的整数，所以X∈[－5,5](X∈Z)．
【答案】 D
5．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为( )
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤4
【解析】 第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.
【答案】 C
二、填空题
6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客数量是X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数是X.
【解析】 ①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．
【答案】 ②
7．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是____________．
【解析】 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
【答案】 300,100，－100，－300
8．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．
【解析】 后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的，共有A＝24(个)．
【答案】 24
三、解答题
9．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ.
(1)写出ξ的所有可能取值；
(2)写出{ξ＝1}所表示的事件．
【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2,3.
(2){ξ＝1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得正品．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
【解】 (1)ξ可取0,1,2,3,4,5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0,2,4,6,8,10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
[能力提升练]
1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．20 B．24 C．4 D．18
【解析】 由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种．
【答案】 B
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
【解析】 由于取到白球游戏结束，那么取球次数可以是1,2,3，…，7，故选B．
【答案】 B
3．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．
【解析】 {ξ＝6}表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C·C＝20种．
【答案】 20
4．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值，并说明这些值所表示的试验结果．
【解】 ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.
“ξ＝0”表示第1盏信号灯就停下；
“ξ＝1”表示通过了1盏信号灯，在第2盏信号灯前停下；
“ξ＝2”表示通过了2盏信号灯，在第3盏信号灯前停下；
“ξ＝3”表示通过了3盏信号灯，在第4盏信号灯前停下；
“ξ＝4”表示通过了4盏信号灯，在第5盏信号灯前停下；
“ξ＝5”表示在途中没有停下，直达目的地.
