2.1 曲线的参数方程
2.1.1 抛射体的运动
2.1.2 曲线的参数方程
学习目标：1.了解曲线参数方程的有关概念.2.能进行参数方程和普通方程的互化．(重点)
1．参数方程的概念
定义：设在平面上取定了一个直角坐标系xOy，把坐标x，y表示为第三个变量t的函数，a≤t≤b.(*)
如果对于t的每一个值(a≤t≤b)，(*)式所确定的点M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点M(x，y)，都可由t的某个值通过(*)式得到，则称(*)式为该曲线的参数方程，其中变量t称为参数．
简单地说，若t在a≤t≤b内变动时，由(*)式确定的点M(x，y)描出一条曲线，则称(*)式为该曲线的参数方程．
2．参数方程与普通方程互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
思考1：曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
[提示] 联系x、y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数．圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
思考2：普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否惟一？
[提示] 不一定惟一．普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同．
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
[解析] 消去sin2θ，得x＝2＋y，
又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.
[答案] C
2．把方程xy＝1化为以t为参数的参数方程是( )
A． B． C． D．
[答案] D
3．曲线与x轴交点的直角坐标是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,0) D．(±2,0)
[解析] 设与x轴交点的直角坐标为(x，y)，令y＝0得t＝1，代入x＝1＋t2，得x＝2，
∴曲线与x轴的交点的直角坐标为(2,0)．
[答案] C
4．曲线(t为参数)与直线x＋y＝0的交点坐标是( )
A．(5，－5) B．(7，－7) C．(－5,5) D．(－7,7)
[解析] 将x＝1－2t，y＝2＋3t代入x＋y＝0得t＝－3，代入参数方程得x＝7，y＝－7.
[答案] B
参数方程的概念
【例1】 已知曲线C的参数方程为
(θ为参数，0≤θ<2π)．
判断点A(2,0)，B(－，)是否在曲线C上？
若在曲线上，求出点对应的参数的值．
[思路探究] 将点的坐标代入参数方程，判断参数是否有解．
[解] 把点A(2,0)的坐标代入
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0，
同理，把B(－，)代入参数方程，得
∴
又0≤θ<2π，∴θ＝π，
所以点B(－，)在曲线C上，对应θ＝π.
对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则无解，即参数t不存在．
1．已知曲线C的参数方程为(t为参数)判断点A(3,0)，B(－2,2)是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．
[解] 将点A(3,0)的坐标代入，
得，解之得t＝2.
所以点A(3,0)在曲线C上，对应参数t＝2.
将点B(－2,2)的坐标代入，
得，
即，此方程组无解．
所以点B(－2,2)不在曲线C上．
求参数方程
【例2】 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军阵地进行投弹，投弹时，飞机离地面的距离h＝490 m，水平飞行的速度v＝100 m/s.求炸弹投出后，弹道的参数方程．(不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2)
[思路探究] 这是物理学中的平抛运动，选择时间t作参数，可将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，从而建立弹道的参数方程．
[解] 如图，从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O，以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系．
设P(x，y)为炸弹在t s后的坐标，
则由题意可知
因为h＝490 m，v＝100 m/s，g＝10 m/s2，所以，炸弹投出后，弹道的参数方程是(0≤t≤7)．
1．本例选择时间t为参数，很容易将炸弹的水平方向和竖直方向的运动表示出来，给建立弹道的参数方程带来了方便，可见合理地选择参数是建立参数方程的关键．
2．求轨迹的参数方程的一般步骤是
(1)建立适当的坐标系，设动点P(x，y)为轨迹上任意一点．(2)根据题意选择与动点P有直接联系的参数t.(3)根据轨迹条件求出x和y与参数t之间的函数关系，从而得到轨迹的参数方程，求轨迹的参数方程时，参数选的不同，得到的参数方程也不同，但化成普通方程后却是一样的．
2．设炮弹的发射角为α，发射的初速度为v0，求弹道曲线的参数方程(不计空气阻力、风向等因素)．
[解] 取炮口为原点，水平方向为x轴，建立坐标系如图所示，设炮弹发射后的位置在点M(x，y)，又设炮弹发射后的时间t为参数．
由匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x＝OQ＝|OP|cos α＝v0tcos α.
y＝QM＝QP－MP＝v0tsin α－gt2.
即得弹道曲线的参数方程：
参数方程与普通方程的互化
【例3】 在方程(a，b为正常数)中，
(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？
[思路探究] (1)运用加减消元法，消t；(2)利用平方关系sin2 θ＋cos2 θ＝1消参数，化成普通方程，进而判定曲线形状．
[解] 方程(a，b是正常数)，
(1)①×sin θ－②×cos θ得
xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.
∵cos θ、sin θ不同时为零，
∴方程表示一条直线．
(2)(ⅰ)当t为非零常数时，
原方程组为
③2＋④2得＋＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆．
(ⅱ)当t＝0时，表示点(a，b)．
1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法，第(2)问中利用了三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线．
3．若将题目中的条件，改为“以过点A(0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x2＋y2＝16的参数方程”．
[解] 设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A(0,4)的任意一点．
则＝k(x≠0)，
∴y＝kx＋4(k≠0)．
将y＝kx＋4代入4x2＋y2＝16，得
x[(4＋k2)x＋8k]＝0，
∴或(k≠0，k为参数)．
因此所求的参数方程为(k≠0)
和
(教材P34习题2－1T4)
设曲线的参数方程为，把它化为普通方程，说明它表示什么曲线．
化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线.(t是参数)．
[命题意图] 本题以化参数方程为普通方程为载体，考查运算求解能力．
[解] ∵x＝1－2，∴＝，①
∴x≤1，将①代入y＝3－4得2x－y＋1＝0(x≤1)，表示一条射线．
课件36张PPT。第二章 参数方程2.1 曲线的参数方程
2.1.1 抛射体的运动
2.1.2 曲线的参数方程参数方程消去参数参数方程的概念 求参数方程 参数方程与普通方程的互化 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．参数方程(t为参数)的曲线必过点( )
A．(1,2) B．(－2,1)
C．(2,3) D．(0,1)
[解析] 代入检验知曲线经过点(2,3)．
[答案] C
2．参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆弧 D．射线
[解析] 消去t，得x－3y－5＝0.
∵0≤t≤5，∴－1≤y≤24.
[答案] A
3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A． B．
C． D．
[解析] 由x2＋y－1＝0，知x∈R，y≤1.
排除A、C、D，只有B符合．
[答案] B
4．直线上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A． B．
C． D．
[解析] t＝0时，对应点A(2，－1)，t＝1时，对应点B(3,1)，|AB|＝＝.
[答案] D
二、填空题
5．曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为________．
[解析] 设M(x，y)是曲线上任意一点，
∴|OM|＝
＝
＝.
当cos(θ＋φ)＝1时，|OM|取最大值6.
[答案] 6
6．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
[解析] 由得x2＋(y－1)2＝1，①
方程ρsin θ＝1化为y＝1，②
由①、②联立，得或，
∴直线l与圆C的交点坐标为(1,1)或(－1,1)．
[答案] (1,1)或(－1,1)
三、解答题
7．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(1,2)，求|PA|＋|PB|的最小值．
[解] (1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6y，即x2＋(y－3)2＝9.
所以圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0.
由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0，所以可设t1，t2是上述方程的两根，
则由题意得直线l过点(1,2)，结合t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|
＝＝
＝≥＝2.
所以|PA|＋|PB|的最小值为2.
8．将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)．
[解] (1)由已知t＝，代入y＝4t中，得4x＋3y－4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线．
(2)由y＝－1＋cos 2θ可得y＝－2sin2θ，把sin2θ＝x－2代入y＝－2sin2θ可得y＝－2(x－2)，即2x＋y－4＝0，
又∵2≤x＝2＋sin2θ≤3，
∴所求的方程是2x＋y－4＝0(2≤x≤3)，它表示的是一条线段．
9．已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
[解] (1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t＝0，因此M1在曲线C上．
把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到
这个方程组无解，
因此点M2不在曲线C上．
(2)因为点M3(6，a)在曲线C上，
所以
解得t＝2，a＝9，
因此，a＝9.
