2.2 直线和圆的参数方程
2.2.1 直线的参数方程
2.2.2 圆的参数方程
学习目标：1.理解直线的参数方程．(难点)2.掌握圆的参数方程．(重点)
1．直线的参数方程
(1)经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(α≠)的直线l的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到点M0(x0，y0)的距离，即|t|＝|M0M|.
(2)设直线过点M0(x0，y0)，且与平面向量a＝(l，m)平行(或称直线与a共线，其中l，m都不为0)，直线的参数方程的一般形式为 t∈R.
2．圆的参数方程
若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为 0≤θ≤2π.
特别地，若圆心在原点，半径为R，则圆的参数方程为.
思考1：若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？
[提示] 参数方程为
思考2：如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
[提示] 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的向量的长度，即|t|＝||.
①当t＞0时，的方向向上；
②当t＜0时，的方向向下；
③当t＝0时，点M与点M0重合．
1．直线(α为参数，0≤α＜π)必过点( )
A．(1，－2) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(2，－1)
[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线．
[答案] A
2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1 C. ． D．－
[解析] 消去参数t，得方程x＋y－1＝0，
∴直线l的斜率k＝－1.
[答案] B
3．参数方程(α为参数)化成普通方程为______．
[解析] ∵(α为参数)，
∴(α为参数)．
①2＋②2得x2＋(y－1)2＝1，此即为所求普通方程．
[答案] x2＋(y－1)2＝1
4．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
[解析] 将化为y＝－x＋，
∴斜率k1＝－，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直．
∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－.
依题意k1k2＝－1，即－×(－)＝－1，∴k＝－6.
[答案] －6
直线的参数方程
【例1】 已知直线l：(t为参数)．
(1)求直线l的倾斜角；
(2)若点M(－3，0)在直线l上，求t，并说明t的几何意义．
[思路探究] 将直线l的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t.
[解] (1)由于直线l：
(t为参数)表示过点M0(－，2)且倾斜角为的直线，故直线l的倾斜角α＝.
(2)由(1)知，直线l的单位方向向量
e＝(cos，sin)＝(，)．
∵M0(－，2)，M(－3，0)，
∴＝(－2，－2)＝－4(，)＝－4e，
∴点M对应的参数t＝－4，
几何意义为||＝4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方)．
1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式．
2．直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数)．
1．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设此直线与曲线C：(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
[解] (1)直线l的参数方程为
(t为参数)．
(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0.
把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得
42＋(3＋t)2－16＝0.
即13t2＋4(3＋12)t＋116＝0.
由t的几何意义，知|PA|·|PB|＝|t1·t2|，
故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝.
圆的参数方程及应用
【例2】 设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[思路探究] 求曲线C的几何特征，化参数方程为普通方程(x－2)2＋(y＋1)2＝9，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定．
[解] 由
得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，
则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝<3，
所以直线与圆相交．所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，
又3－d<，故满足题意的点有2个．
[答案] B
1．本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系．
2．参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断．特别要注意变量的取值范围．
2．已知直线x＝y，与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
[解] 由
得
∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r＝2，
则圆心(1,2)到直线y＝x的距离d＝＝.
∴|AB|＝2＝2 ＝.
直线参数方程的简单应用
【例3】 已知直线的参数方程为(t为参数)，则该直线被圆x2＋y2＝9截得的弦长是多少？
[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式
再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．
[解] 将参数方程(t为参数)转化为直线参数方程的标准形式为
(t′为参数)．
代入圆方程x2＋y2＝9，
得(1＋ t′)2＋(2＋ t′)2＝9，
整理，得t′2＋8t′－4＝0
由韦达定理，t′1＋t′2＝－，
t′1·t′2＝－4.
根据参数t′的几何意义．
|t′1－t′2|＝＝，
故直线被圆截得的弦长为.
在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义．
3．若将条件改为“直线l经过点A(1,2)，倾斜角为，圆x2＋y2＝9不变”，试求：
(1)直线l的参数方程；
(2)直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积．
[解] (1)直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)将代入x2＋y2＝9，得
t2＋(1＋2)t－4＝0，∴t1t2＝－4.
由参数t的几何意义，得直线l和圆x2＋y2＝9的两个交点到点A的距离之积为|t1t2|＝4.
(教材P41习题2－2T6)写出过点A(－1,2)，倾斜角为π的直线的参数方程，并求该直线与圆x2＋y2＝8的交点．
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[命题意图] 知识：曲线的参数方程与极坐标方程．能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法．试题难度：中．
[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
课件41张PPT。第二章 参数方程2.2 直线和圆的参数方程
2.2.1 直线的参数方程
2.2.2 圆的参数方程234567891011121314直线的参数方程 151617181920212223圆的参数方程及应用 2425262728直线参数方程的简单应用 293031323334353637383940点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．原点到直线(t为参数)的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 消去t，得3x－4y－15＝0，
∴原点到直线3x－4y－15＝0的距离
d＝＝3.
[答案] C
2．若曲线(θ为参数)，则点(x，y)的轨迹是( )
A．直线x＋2y－2＝0
B．以(2,0)为端点的射线
C．圆(x－1)2＋y2＝1
D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段
[解析] ∵x＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin2θ＝2－2sin2θ＝2－2y，即x＋2y－2＝0，又y＝sin2θ，
∴0≤y≤1，∴选D.
[答案] D
3．已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2
C．(x＋1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝4
[解析] 由得x－y＋1＝0.
∴圆心C(－1,0)，
又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
∴r＝＝，
∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
[答案] C
4．直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(θ为参数)的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，∴a<0，b>0，∴点(a，b)在第二象限．
[答案] B
二、填空题
5．圆的参数方程为(0≤θ<2π)，若圆上一点P对应参数θ＝π，则P点的坐标是________．
[解析] 当θ＝π时，x＝2＋4cosπ＝0，
y＝－＋4sin π＝－3，
∴点P的坐标是(0，－3)．
[答案] (0，－3)
6．已知直线l：(t为参数)，圆C：ρ＝2cos θ，则圆心C到直线l的距离是__________．
[解析] 直线l的普通方程为
y＝x＋1，即x－y＋1＝0，
∵圆C：ρ＝2cos θ，
∴ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2－2x＝0，
∴圆心为C(1,0)，
∴圆心到直线的距离为d＝
＝.
[答案]
三、解答题
7．已知曲线C的参数方程为(t为参数)．求曲线C的普通方程．
[解] ∵x2＝t＋－2.∴x2＋2＝t＋＝y，∴y＝3x2＋6.即所求曲线C的普通方程为y＝3x2＋6.
8．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
[解] (1)由ρ2－4ρcos(θ－)＋6＝0得
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，
x＋y＝4＋(cos α＋sin α)
＝4＋2sin(α＋)，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
9．已知圆系方程为x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a>0且为已知常数，φ为参数)，
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．
[解] (1)由已知圆的标准方程为：
(x－acos φ)2＋(y－asin φ)2＝a2(a>0)．
设圆心坐标为(x，y)，
则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)由方程
得公共弦的方程：
2axcos φ＋2aysin φ＝a2，
圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值．
∴弦长l＝2＝a(定值)．
