2.3 圆锥曲线的参数方程
2.3.1 椭圆的参数方程
2.3.2 抛物线的参数方程
2.3.3 双曲线的参数方程
学习目标：1.了解双曲线、抛物线的参数方程.2.理解椭圆的参数方程及其应用．(重点)3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．(难点)
1．椭圆的参数方程
(1)椭圆＋＝1的参数方程为， 0≤t≤2π.
(2)若椭圆的中心不在原点而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆的参数方程为， 0≤t≤2π.
2．双曲线的参数方程
双曲线－＝1的参数方程为.
3．抛物线的参数方程
抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数)．
思考1：椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？
[提示] 椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
思考2：双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？
[提示] sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π.
思考3：类比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的参数方程吗？
[提示] (p>0，t为参数，t∈R)．
1．参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．x2＋＝1 B．x2＋＝1 C．y2＋＝1 D．y2＋＝1
[解析] 易知sin θ＝x，cos θ＝，
∴x2＋＝1.
[答案] A
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
[解析] 由cos θ·x＝a，∴cos θ＝，
代入y＝bcos θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，
∴曲线应为双曲线的一部分．
[答案] D
3．已知点M(3，m)在以F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|MF|等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 由得
∴＝，即y2＝4x，∴p＝2.
∴|MF|＝3＋＝3＋1＝4.
[答案] D
4．点P(x，y)在椭圆＋y2＝1上，则x＋y的最大值为________．
[解析] 由已知可得椭圆的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝2cos θ＋sin θ＝sin(θ＋φ)(tan φ＝2)，∴(x＋y)max＝.
[答案]
椭圆的参数方程及应用
【例1】 将参数方程(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．
[思路探究] 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．
[解] 由得
两式平方相加，得＋＝1.
∴a＝5，b＝3，c＝4.
因此方程表示焦点在x轴上的椭圆，焦点坐标为F1(4,0)和F2(－4,0)．
椭圆的参数方程(θ为参数，a，b为常数，且a>b>0)中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．
1．若本例的参数方程为(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？
[解] 将化为，
两式平方相加，得＋＝1.
其中a＝5，b＝3，c＝4.
所以方程的曲线表示焦点为F1(0，－4)与F2(0,4)的椭圆．
【例2】 已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：＋＝1.
(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值．
[思路探究] (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．
[解] (1)由，得，
∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
其参数方程为(θ为参数)．
(2)依题设，当t＝时，P(－4,4)；
且Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．
又C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|
＝|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．本题易错点主要有：一是在第(1)问中，不能将圆的参数方程化为普通方程；二是在第(2)问中对绝对值的函数形式变形不对或认为cos(θ＋φ)＝－1时取最小值，从而得出错误结论．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．
2．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
[解] (1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.
双曲线参数方程的应用
【例3】 求证：双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．
[思路探究] 设出双曲线上任一点的坐标，若注意到三角函数有利于三角变换，可利用双曲线的参数方程简化运算．
[解] 由双曲线－＝1，得
两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，
设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，
它到两渐近线的距离分别是d1和d2，
则d1·d2＝·
＝＝(定值)．
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的应用．
3．已知圆C：x2＋(y－2)2＝1上一点P，与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
[解] 双曲线x2－y2＝1的参数方程为
则Q(sec θ，tan θ)，又圆心C(0,2)，则
|CQ|2＝sec2 θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2 θ＋1)＋(tan θ－2)2＝2(tan θ－1)2＋3，
当tan θ＝1，即θ＝时，|CQ|2取最小值3，此时有|CQ|min＝.
又因为|PC|＝1，所以|PQ|min＝－1.
抛物线的参数方程
【例4】 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．
[思路探究] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
[解] 设P点的坐标为(2pt2,2pt)(t为参数)，
当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，
QF的方程为y＝－2t(x－)，
它们的交点M(x，y)由方程组确定，
两式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－)，
∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0)．
当t＝0时，M(0,0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.
故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.
1．抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
4．已知抛物线y2＝2px过顶点两弦OA⊥OB，求以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．
[解] 设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，
则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，
以OB为直径的圆方程为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，
∴t1，t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．∴t1t2＝.
又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0.
∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．
(教材P46习题2－3T1)设直线的参数方程为它与椭圆＋＝1的交点为A和B，求线段AB的长．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的
参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．
[命题意图] 知识：考查直线与椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等．能力：通过参数方程与普通方程的互化及求线段AB长的过程，考查了运算求解能力．试题难度：中．
[解] 椭圆C的普通方程为x2＋＝1.
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－.
所以AB＝|t1－t2|＝.
课件41张PPT。第二章 参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程
2.3.1 椭圆的参数方程
2.3.2 抛物线的参数方程
2.3.3 双曲线的参数方程椭圆的参数方程及应用 双曲线参数方程的应用 抛物线的参数方程 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(七)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．曲线C：(φ为参数)的离心率为( )
A． B． C． D．
[解析] 由题设，得＋＝1，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，
因此e＝＝.
[答案] A
2．参数方程(α为参数)的普通方程是( )
A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(|x|≤) D．x2－y2＝1(|x|≤)
[解析] 因为x2＝1＋sin α，
所以sin α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)，
所以y2－x2＝1.
∵x＝sin＋cos＝sin，
故x∈[－，]．
∴普通方程为y2－x2＝1，x∈[－，]．
[答案] C
3．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1 C. D．2
[解析] d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，
∴t2≥0，d2≥1，dmin＝1.
[答案] B
4．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是( )
A．(3,4) B．(，2)
C．(－3，－4) D．(，)
[解析] 由题意知，3cos θ＝4sin θ，
∴tan θ＝，则sin θ＝，cos θ＝，
∴x＝3×cos θ＝3×＝，y＝4sin θ＝4×＝，
因此点P的坐标为(，)．
[答案] D
二、填空题
5．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
[解析] 点M的坐标为
直线OM的斜率k＝＝2.
[答案] 2
6．抛物线方程为(t为参数)，则它在y轴正半轴上的截距是________．
[解析] 当x＝0时，－4t2＋1＝0，t＝±，
∴在y轴的正半轴上的截距是4×＝2.
[答案] 2
三、解答题
7.如图所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
[解] 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．
设P(x，y)，则M是OP中点．
∴∴(t为参数)，
消去t得y＝x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
8．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[解] (1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
9.如图所示，求椭圆＋＝1的内接矩形的最大面积是多少？
[解] 椭圆的参数方程为
设内接矩形在第一象限内的一个顶点为M(x，y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为
S＝4xy＝4·5cos t·4sin t＝40sin 2t.
当t＝时，面积S取得最大值40，此时
x＝5cos＝，y＝4sin＝2.
因此，矩形在第一象限的顶点为(，2)时，内接矩形的面积最大，为40.
