2.4 一些常见曲线的参数方程
2.4.1 摆线的参数方程
2.4.2 圆的渐开线的参数方程
学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点)
1．摆线
(1)定义
一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M的轨迹称为摆线．
(2)参数方程
(t是参数)．
2．圆的渐开线
(1)定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．
(2)参数方程
(t是参数)．
思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t的几何意义是什么？
[提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a是指基圆的半径，而参数t是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角t.显然点M由参数t惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a是指定圆的半径，参数t是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
[解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
[答案] C
2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π C．12π D．14π
[解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为(t为参数)，把y＝0代入可得cos t＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．而x＝3t－3sin t＝6kπ(k∈Z)．根据选项可知应选C.
[答案] C
3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________．
[解析] 将a＝4代入圆的渐开线方程即可．
[答案]
4．给出某渐开线的参数方程(t为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数t取时，对应的曲线上的点的坐标是________．
[解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a＝3，即基圆半径是3，然后把t＝代入，可得
[答案] (，3)
求圆的摆线的参数方程
【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程
(t为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出a的表达式，根据表达式求出a的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．
[解] 令y＝0，可得a(1－cos t)＝0，由于a>0，
即得cos t＝1，所以t＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(t－sin t)，得x＝a(2kπ－sin 2kπ)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin 2kπ)＝2，
即得a＝(k∈Z)．
又由实际可知a>0，所以a＝(k∈N＋)．易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(t为参数)；
圆的渐开线的参数方程为(t为参数)．
求圆的渐开线的参数方程
【例2】 有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．
[思路探究] 直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．
[解] 因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为.
圆的渐开线的参数方程的应用
【例3】 当t＝，时，求出渐开线
上的对应点A，B，并求出A，B的距离．
[思路探究] 把t＝，分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而进一步求出两点间的距离．
[解] 把t＝，分别代入参数方程得和
即A、B两点坐标分别为((1＋)，(1－))，(，1)，
∴|AB|＝
＝ .
课件22张PPT。第二章 参数方程2.4 一些常见曲线的参数方程
2.4.1 摆线的参数方程
2.4.2 圆的渐开线的参数方程摆线基圆求圆的摆线的参数方程 求圆的渐开线的参数方程 圆的渐开线的参数方程的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
[解析] 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
[答案] C
二、填空题
2．已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数t＝时对应的曲线上的点的坐标为______．
[解析] 圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直径为16.求当t＝时对应的坐标只需把t＝代入曲线的参数方程，得x＝4＋π，y＝4－π，由此可得对应的坐标为(4＋π，4－π)．
[答案] 16 (4＋π，4－π)
3．参数方程为(0≤t≤2π)的摆线的对称轴方程是________．
[解析] ∵t＝π时，y有最大值16，此时x＝8π，∴由摆线的特点知对称轴方程为x＝8π.
[答案] x＝8π
三、解答题
4．求圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标．
[解] ∵当t＝时有
即
∴对应的直角坐标为((4＋π)，(4－π))．
5．求摆线(0≤t≤2π)与直线y＝1的交点的直角坐标．
[解] 由题意知：1＝1－cos t，解得t1＝，t2＝，
对应交点的坐标为，
，交点为(－1,1)，(π＋1,1)．
6．当t＝，π时，求出渐开线上对应的点A、B，并求出A、B的距离．
[解] 将t＝代入，
得x＝cos＋·sin＝0＋＝，
y＝sin－·cos＝1，
∴A(，1)，
将t＝π，代入
得x＝cos π＋π·sin π＝－1，
y＝sin π－πcos π＝π，
∴B(－1，π)，
∴|AB|＝ ＝ .
7．已知一个圆的摆线方程是(t为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
[解] 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，
该圆对应的渐开线的参数方程是：
(t为参数)．
8．如图2-4-1所示，设基圆半径为r，渐开线的起点为A，取圆心O为极点，射线OA为极轴．M(ρ，θ)为渐开线上任一点，过M作基圆的切线MB，B是切点．设∠BOM＝α，试用α做参数，写出渐开线在极坐标中的参数方程．
[解] ∵MB是切线，∴OB⊥BM，∴ρ＝.
又＝BM，且BM＝rtan α，
∴θ＝rtan α－α.∴极坐标方程为
9．设有两个半径相同的圆，其中一个圆固定不动，另一个圆绕定圆无滑动地滚动，在动圆的圆周上有一定点M，求滚动过程中点M的轨迹方程．
[解] 设圆半径为a，取定圆的圆心为坐标原点，开始时两圆相切于A点，射线OA为x轴的正半轴，建立坐标系(如右图所示)．当滚动角度θ(以弧度为单位)后，两圆切于B点，动圆圆心为C，定点M的位置如图所示．记射线CM与x轴正向形成的任意角为α(图中为负值)．由于无滑动，得＝，因为两圆半径相等，所以∠AOB＝θ，从而得α＝－(π－2θ)．
向量的坐标表达式为＝(acos α，asin α)＝(－acos 2θ，－asin 2θ)，
又＝(2acos θ，2asin θ)，
得＝＋＝(2acos θ－acos 2θ，2asin θ－asin 2θ)．
即
用倍角公式，变形为x＝2acos θ－a(2cos 2θ－1)，
x－a＝2acos θ－2acos 2θ＝2acos θ(1－cos θ)，
y＝2asin θ(1－cos θ)，(x－a)2＋y2＝4a2(1－cos θ)2，
所以M的轨迹方程为(x－a)2＋y2＝4a2(1－cos θ)2.
