平面直角坐标系下图形的变换
平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式时，一定要分清变换前后的新旧坐标．
【例1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：求直线l：y＝6x经过变换后所得直线l′的方程．
[思路探究] 由伸缩变换公式，用X，Y表示x，y，并代入变换前方程，求得X，Y间的关系．
[解] 设P′(X，Y)是直线l′上任意一点．
由伸缩变换φ：，得
代入y＝6x，得2Y＝6·＝2X，
∴Y＝X为所求直线l′的方程．
因此变换后直线l′的方程为x－y＝0.
求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．
【例2】 圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程是什么？
[思路探究] 在圆C上任取一点M(ρ，θ)，建立ρ与θ的等量关系．
[解] 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝|θ－|，|OA|＝2×3＝6.
在Rt△POA中，|OP|＝|OA|cos∠POA，
则ρ＝6cos(θ－)，
即圆的极坐标方程为 ρ＝6cos(θ－)．
【例3】 已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．
[思路探究] 求极坐标方程，往往是构造三角形，利用三角形的边角关系，或余弦定理列出关系式．
[解] 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.
在△POA中，ρ1＝·sin(－θ)，
|PA|＝.又|OQ|＝|OP|＋|PA|，
∴ρ＝2acos(－θ)．
极坐标与直角坐标的互化
极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ；ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．
【例4】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
[解] 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，
得ρ2＝4ρcos θ，
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程，
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由
解得或
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)，
故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
转化与化归思想
转化与化归思想，是运用数学知识的迁移解决问题．具体表现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥0,0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．
【例5】 已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6，
(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1、C2交点间的距离．
[解] (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，
∴x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．
由C2：ρsin＝6，得ρ＝6.
∴y－x＝12，即x－y＋12＝0.
所以C2表示直线．
(2)由于圆心(0,0)到直线x－y＋12＝0的距离为
d＝＝6所以直线C2被圆截得的弦长为
2＝2＝16.
课件19张PPT。第一章 坐标系章末复习课平面直角坐标系下图形的变换 求曲线的极坐标方程 极坐标与直角坐标的互化 转化与化归思想 Thank you for watching !章末综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A．y＝3sin x B．y＝3sin 2x
C．y＝3sinx D．y＝sin 2x
[解析] 由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin 2x，有＝sin X，即Y＝3sin X.
∴变换后的曲线方程为y＝3sin x.
[答案] A
2．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为( )
A．(2，) B．(2，)
C．(2，－) D．(2，－)
[解析] 因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－.
[答案] C
3．在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π－θ)的位置关系为( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．重合
D．关于直线θ＝(ρ∈R)对称
[解析] 取ρ＝1，θ＝，可知关于极轴所在直线对称．
[答案] A
4．极坐标方程ρ＝1且θ＝表示( )
A．点 B．射线
C．直线 D．圆
[答案] A
5．有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s．已知当时声音速度为340 m/s，则爆炸点所在的曲线为( )
A．双曲线 B．直线
C．椭圆 D．抛物线
[解析] 设爆炸点为P，则|PB|－|PA|＝4×340<1 400 m，∴P点在以A、B为焦点的双曲线上．
[答案] A
6．极坐标方程ρ2cos 2θ＝1表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] 由ρ2cos 2θ＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，
∴x2－y2＝1表示双曲线．
[答案] C
7．点A的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(－1,1，－) B．(－1,1，)
C．(－1，－1，) D．(1,1，－)
[解析] x＝rsin φcos θ＝2sinπcosπ＝－1，
y＝rsin φsin θ＝2sinπsinπ＝1，
z＝rcos φ＝2cosπ＝－.
所以直角坐标为(－1,1，－)，故选A.
[答案] A
8．若点M的极坐标为(2,2kπ＋)(k∈Z)，则点M的直角坐标为( )
A．(1，) B．(－1，)
C．(－1，－) D．(1，－)
[解析] ∵ρ＝2，θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴x＝ρcos θ＝－1，y＝ρsin θ＝.
因此点M的直角坐标为(－1，)．
[答案] B
9．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1，
∴直线x＋2y＝1，不过第三象限．
[答案] C
10．椭圆＋＝1的一个焦点的极坐标为( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(1，) D．(1，π)
[解析] 由a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，c＝1，
∴椭圆＋＝1的焦点直角坐标为(0,1)或(0，－1)．∴ρ＝＝1，且θ＝.
[答案] C
11．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )
A．(x＋)2＋y2＝
B．x2＋(y＋)2＝
C．x2＋(y－)2＝
D．(x－)2＋y2＝
[解析] 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，
∴x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝.
[答案] D
12．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )
A． B．
C．2 D．2
[解析] 圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，
如右图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，
∠ODC＝，∠COD＝，
∴|CD|＝.
即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为.
[答案] B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．
[解析] 由题意知ρ＝2，θ＝－π.
[答案] (2，－π)
14．极坐标系中，ρ≥0，过点(1,0)倾斜角为的射线的极坐标方程为________．
[解析] 设(ρ，θ)是射线上任意一点，
则ρcos θ＝1，且0≤θ<.
[答案] ρcos θ＝1,0≤θ<
15．在极坐标系中，直线l的方程ρsin θ＝3，则点(2，)到直线l的距离为________．
[解析] 由ρsin θ＝3，得y＝3.
又点(2，)在直角坐标系中为(，1)，
故点(2，)到l距离为2.
[答案] 2
16．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋sin θ)＝5，则此圆在直线θ＝0上截得的弦长为________．
[解析] 将极坐标方程化为直角坐标方程，得
x2＋y2＋2x＋2y－5＝0，
令y＝0，得x2＋2x－5＝0.
∴|x1－x2|＝2.
[答案] 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(X－5)2＋(Y＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
[解] 将代入(X－5)2＋(Y＋6)2＝1，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，
即(x－)2＋(y＋3)2＝，故曲线C是以(，－3)为圆心，半径为的圆．
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(θ＋)＝2，求极点在直线l上的射影的极坐标．
[解] 把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得x＋y－4＝0，
过极点且与l垂直的直线方程为y＝x.
由得射影的直角坐标为(1，)，化为极坐标为(2，)．
∴极点在直线l上的射影的极坐标为(2，)．
19．(本小题满分12分)在极坐标系中，求由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积．
[解] 极坐标方程为θ＝0，θ＝，
ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程分别为y＝0，y＝x，x＋y＝1.
由得交点(，)．
故所围成三角形的面积为S＝×1×＝.
20．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
[解] (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，
作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos(θ－1－)，
即ρ＝－2sin(1－θ)．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解] (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.
22．(本小题满分12分)如图1，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．
[解] 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝4的极坐标方程为
ρcos θ＝4，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
∵点A在直线ρcos θ＝4上，
∴ρ0cos θ0＝4， ①
∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝，
而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，∠POA＝，
∴ρ0＝ρ，且θ0＝θ－， ②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos(θ－)＝4.
由ρcos(θ－)＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4，
∴点P的轨迹的直角坐标方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．
