圆锥曲线的参数方程及应用
对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角t的意义，要分清椭圆上一点的离心角t和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
[思路探究] 选择恰当参数，设出点P坐标，代入S式，化简求最值．
[解] ∵椭圆＋y2＝1的参数方程为
(t为参数)．
故设动点P(cos t，sin t)，
其中t∈[0,2π)．
因此S＝x＋y＝cos t＋sin t
＝2(sincos t＋cossin t)
＝2sin(t＋)．
∴当t＝时，S取得最大值2.
直线的参数方程及应用
直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．
【例2】 直线l过点P0(－4,0)，它的参数方程为与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点，
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
[思路探究] ―→
[解] 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得＋＝7，
整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1·t2＝9.
故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则
|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
参数法及应用
参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．
【例3】 如图，已知直线l过点P(2，0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P、M两点间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
[解] (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，
设直线的倾斜角为α，tan α＝，sin α＝，cos α＝，
∴直线l的参数方程为(t为参数)．
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，
整理得8t2－15t－50＝0，
则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.
设这个二次方程的两个根分别为t1、t2，
由根与系数的关系，得t1＋t2＝，
t1t2＝－，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得
|PM|＝||＝.
(2)|AB|＝|t2－t1|
＝＝.
因此线段AB的长为.
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
[思路探究] (1)将点的坐标设成参数形式，利用参数作为中间变量利于简化运算，再运用平方关系，消参后转化为直角坐标方程．
(2)化极坐标方程为直角坐标方程，数形结合，求出最值．
[解] (1)曲线C1上的动点M的坐标为
(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0,0)，
设P的坐标为(x，y)，
则由中点坐标公式得
x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，
y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ<2π)，
消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系得
直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又由(1)，知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为
＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
函数与方程的思想
参数方程从形式上看是一个方程组，而对于方程组中的每一个方程而言，其中x，y都可以看作是参数的函数．参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和充分利用．
【例5】 已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为
2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
课件24张PPT。第二章 参数方程章末复习课圆锥曲线的参数方程及应用 直线的参数方程及应用 参数法及应用 函数与方程的思想 Thank you for watching !章末综合测评(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A． B.π C.π D.π
[解析] ∵点Q(－2,2)在圆上，
∴且0≤θ<2π，∴θ＝π.
[答案] B
2．直线(t为参数)的斜率为( )
A．2 B．－2 C． D．－
[解析] 直线的普通方程为2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
[答案] B
3．方程(θ为参数)的曲线关于( )
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．以上都不对
[解析] 消去参数θ，得xy＝1，
∴曲线关于原点(0,0)对称．
[答案] A
4．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
[解析] 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝π.
[答案] C
5．已知A(4sin θ，6cos θ)，B(－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
[解析] 设线段AB的中点为M(x，y)，
则(θ为参数)，
∴，
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示椭圆．
[答案] C
6．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
[解析] 将sin2 θ＝y代入x＝2＋sin2 θ，
得x－y－2＝0，即y＝x－2，
又0≤sin2 θ≤1，
∴2≤x≤3，
因此普通方程为y＝x－2(2≤x≤3)．
[答案] C
7．点P(4,0)到曲线(t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．4
C．4 D．8
[解析] 将参数方程化为普通方程y2＝16x，则点P(4,0)是其焦点．根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点(0,0)，故最小距离为4.
[答案] B
8．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵曲线C的方程为(θ为参数)化为普通方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，而l为x－3y＋2＝0，
∴圆心(2，－1)到l的距离d＝＝＝.
又∵＜3，＞3，
∴有两个点．
[答案] B
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
[解析] 由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意， Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0.
解之得2－[答案] D
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是( )
A．2 B．4
C． D．5
[解析] 由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos θ，y＝sin θ，
代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos θ)2＋sin2θ
＝－(cos θ－2)2＋，
∴当cos θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
[答案] B
11．直线(t为参数)与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则线段AB中点的坐标为( )
A．(3，－) B．(－3，)
C．(－3，－) D．(3，)
[解析] 将直线的参数方程代入圆的方程，得t1＝6，t2＝2，
∴线段AB的中点M对应的参数tM＝4，
∴x＝1＋×4＝3，
y＝－3＋×4＝－，
因此AB中点坐标为(3，－)．
[答案] A
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋ B．2(2＋)
C．4(2＋) D．8＋
[解析] 将直线l参数方程化为(t′为参数)，
代入y2＝2x，
得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，
设其两根为t1′、t2′，
则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)
13．参数方程(α为参数)表示的普通方程是________．
[解析] 由x＝sin＋cos，
得x2＝1＋sin α，
代入y＝，
则有y＝，
∴y2－x2＝1(y≥1，且－≤x≤)．
[答案] y2－x2＝1(－≤x≤，y≥1)
14．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
[解析] 消参数θ得曲线C1的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，
将ρ＝1代为直角坐标方程为x2＋y2＝1，
两圆的圆心距为5，
故|AB|的最小值为5－1－1＝3.
[答案] 3
15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
[解析] 依题意，曲线C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝1；
曲线C2的直角坐标系下的方程为
x－y＋1＝0.
易判断圆心(0,1)在直线x－y＋1＝0上．
故C1与C2的交点个数为2.
[答案] 2
16．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
[解析] 将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴曲线的直角坐标方程为
x2＋y2＝2y＋4x，
即x2＋y2－4x－2y＝0.
[答案] x2＋y2－4x－2y＝0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
[解] (1)由曲线C：得x2＋y2＝16.
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将
代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|
＝＝3.
19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[解] (1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
20．(本小题满分12分)某地区发生9.0级地震，并引发海啸，灾区人民的安危牵动着全世界人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区．现在一架救援飞机在离灾区地面593 m高处以150 m/s的速度作水平飞行．为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？
[解] 如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t的水平位移为x，垂直距离为y，
则(g＝9.8 m/s2)．
令y＝0，得t≈11 s，
代入x＝150t，得x≈1 650 m.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定地点．
21．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点F1，F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．
(1)求直线l和曲线C的普通方程；
(2)求点F1，F2到直线l的距离之和．
[解] (1)直线l的普通方程为
y＝x－2；
由ρ2＝，
得12＝3ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ，
设点(x，y)是曲线C上任意一点的直角坐标，
则x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
因此12＝3x2＋4y2，
即＋＝1.
曲线C的普通方程为＋＝1.
(2)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，
∴点F1到直线l的距离d1＝＝.
点F2到直线l的距离d2＝＝，
∴d1＋d2＝2.
即F1，F2到直线l的距离之和为2.
22．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角，且α≠)与曲线＋＝1交于A，B两点．
(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
(2)求|PA|×|PB|的最大值．
[解] (1)∵(t为参数，α为倾斜角，且α≠)，
∴＝＝tan α，
∴直线l的普通方程为xtan α－y－2tan α＝0.
直线l通过的定点P的坐标为(2,0)．
(2)∵l的参数方程为椭圆的方程为＋＝1，右焦点坐标为P(2,0)，
∴3(2＋tcos α)2＋4(tsin α)2－48＝0，
即(3＋sin2α)t2＋12cos α·t－36＝0.
∵直线l过椭圆的右焦点，
∴直线l恒与椭圆有两个交点，
∴t1·t2＝，
由直线参数方程t的几何意义，
∴|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝，
∵0≤α<π，且α≠，则0≤sin2α<1，
因此|PA|·|PB|的最大值为12.
