1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换
1.1.1 直角坐标系
1.1.2 平面上的伸缩变换
学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．(重点)
1．直角坐标系
(1)直线上点的坐标
①点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．
②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．
(2)平面直角坐标系
①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组(x，y)为点M的坐标．
②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．
(3)空间直角坐标系
①过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系．
②在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系．
2．平面上的伸缩变换
把点P(x，y)变为平面上新的点Q(X，Y)，伸缩变换的坐标表达式为：，其中a>0，b>0.
特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．
(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q(X，Y)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．
思考1：如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？
[提示] ①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．
建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
思考2：如何理解点的坐标的伸缩变换？
[提示] 在平面直角坐标系中，点P(x，y)变换到点Q(X，Y)．当a>1时，是横向拉伸变换，当0
1时，是纵向拉伸变换，当01．点P(－1,2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为( )
A．(3,6) B．(3，－6) C．(2，－4) D．(－2,4)
[解析] 设对称点的坐标为(x，y)，
则x－1＝2，且y＋2＝－4，
∴x＝3，且y＝－6.
[答案] B
2．为了得到曲线y＝3sin x，只需把曲线y＝2sin x怎样变换( )
A．纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
B．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
C．纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
D．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
[答案] B
3．将点P(－2,2)变换为点Q(－6,1)的伸缩变换公式为( )
A． B． C． D．
[解析] 将与代入到公式
φ：中，有∴
[答案] C
4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程为________．
[解析] 由得
代入到x2＋y2＝1，得＋＝1.
∴变换后的曲线方程为＋＝1.
[答案] ＋＝1
运用坐标法解决平面几何问题
【例1】 已知?ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思路探究] 从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．
[解] 法一 (坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，
设B(a,0)，C(b，c)，
则AC的中点E(，)，
由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
法二 (向量法)
在?ABCD中，＝＋，
两边平方得2＝||2＝2＋2＋2·，
同理得2＝||2＝2＋2＋2·，
以上两式相加，得||2＋||2
＝2(||2＋||2)＋2·(＋)
＝2(||2＋||2)，
即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．
2．证法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．证法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
1．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．
[解] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(0，a)，B(－，0)，C(，0)．设P(x，y)．
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋(y－a)2＋(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2
＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3(y－a)2＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，
∴所求最小值为a2，此时P点坐标为P(0，a)是正△ABC的中心．
用坐标法解决实际问题
【例2】 我国海军第五批护航编队由“广州”号导弹驱逐舰，“微山湖”号综合补给舰，以及先期到达亚丁湾、索马里海域执行护航任务的“巢湖”号导弹护卫舰会合，对商船进行护航．某日，“广州”舰在“巢湖”舰正东6千米处，“微山湖”舰在“巢湖”舰北偏西30°，相距4千米．某时刻“广州”舰发现商船的某种求救信号．由于“巢湖”、“微山湖”两舰比“广州”舰距商船远，因此4 s后“巢湖”、“微山湖”两舰才同时发现这一信号，若此信号的传播速度为1 km/s.若“广州”舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？
[思路探究] 本题求解的关键在于确定商船相对于“广州”舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示“广州”舰、“巢湖”舰、“微山湖”舰，建立适当坐标系，求出商船与“广州”舰的坐标，问题可解．
[解] 设A，B，C，P分别表示“广州”舰、“巢湖”舰、“微山湖”舰和商船．如图所示，
以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上．
kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)． ①
又|PB|－|PA|＝4，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)． ②
联立①②，解得P点坐标为(8,5)．
∴kPA＝＝.
因此“广州”舰行进的方位角为北偏东30°.
1．由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．
2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
2．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？
[解] 如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴．垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，
则A(0,0)，B(－1 000,0)．
由W位于A的西北方向，
且|AW|＝400，
∴点W(－200，200)，
由直线m过点B，且倾斜角α＝90°－60°＝30°，
∴直线m的方程是x－y＋1 000＝0.
于是，点W到直线m的距离为
＝100×(5－－)≈113.6>100.
所以，埋设地下管线m的计划不需修改．
已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程
【例3】 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换
φ：.
(1)求点A(，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标；
(2)求双曲线C：x2－＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标．
[思路探究] (1)由伸缩变换求得X，Y.即用x，y表示X，Y.
(2)将求得的x，y代入原方程得X，Y间的关系．
[解] (1)设点A′(X，Y)．
由伸缩变换φ：
得到
又已知点A(，－2)．
于是X＝3×＝1，Y＝×(－2)＝－1.
∴变换后点A′的坐标为(1，－1)．
(2)设曲线C′上任意一点Q(X，Y)，
将代入x2－＝1，
得－＝1，
化简得－＝1，
∴曲线C′的方程为－＝1.
∴a2＝9，b2＝16，c2＝25，
因此曲线C′的焦点F1(5,0)，F2(－5,0)．
解答本题的关键：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．
3．若将例题中第(2)题改为：如果曲线C经过变换后得到的曲线的方程为x2＝18y，那么能否求出曲线C的焦点坐标和准线方程？请说明理由．
[解] 设曲线C上任意一点M(x，y)，经过变换后对应点M′(X，Y)．
由得 (*)
又M′(X，Y)在曲线x2＝18y上，
∴X2＝18Y ①
将(*)代入①式得
(3x)2＝18×(y)．
即x2＝y为曲线C的方程．
可见仍是抛物线，其中p＝，抛物线x2＝y的焦点为F(0，)．准线方程为y＝－.
由条件求伸缩变换
【例4】 在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1.
[思路探究] 区分原方程和变换后的方程设伸缩变换公式―→代入变换后的曲线方程―→与原曲线方程比较系数．
[解] 将变换后的椭圆的方程＋＝1改写为＋＝1，
设伸缩变换为，代入上式．
得＋＝1，即()2x2＋()2y2＝1.
与x2＋y2＝1比较系数，得
∴所以伸缩变换为
因此，先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆＋y2＝1，再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆＋＝1.
1．求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得．
2．解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上(或下)标的未知数的方程形式．
4．在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y＝2sin变换为正弦曲线y＝sin x.
[解] 将变换后的曲线的方程y＝sin x改写为Y＝sin X，
设伸缩变换为
代入Y＝sin X，
∴by＝sin ax，即y＝sin ax.
比较与原曲线方程的系数，知
∴
所以伸缩变换为
即先使曲线y＝2sin的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的倍，得到曲线y＝2sin x；再将其纵坐标缩短到原来的倍，得正弦曲线y＝sin x.
(教材P5习题1－1T3)
伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆X2＋＝1.求曲线C的方程．
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线＋4Y2＝1，求曲线C的方程并画出图形．
[命题意图] 本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换．
[解] 设M(x，y)是曲线C上任意一点，变换后的点为M′(X，Y)．
由，且M′(X，Y)在曲线＋4Y2＝1上，
得＋＝1，∴x2＋y2＝4.
因此曲线C的方程为x2＋y2＝4，表示以O(0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示)．
课件52张PPT。第一章 坐标系1.1 直角坐标系，平面上的伸缩变换
1.1.1 直角坐标系
1.1.2 平面上的伸缩变换一一对应 (x，y) (x，y，z)Q(X，Y)运用坐标法解决平面几何问题 用坐标法解决实际问题 已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程 由条件求伸缩变换 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一)
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一、选择题
1．已知平面上两定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线斜率之积为－1，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．圆的一部分
C．椭圆的一部分 D．双曲线的一部分
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由kPA·kPB＝－1，
得·＝－1.
整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．
[答案] B
2．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y＝cos x B．y＝3cosx
C．y＝2cosx D．y＝cos 3x
[解析] 由得
代入y＝cos 2x，
得＝cos X.
∴Y＝cos X，即曲线y＝cos x.
[答案] A
3．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[解析] ∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，
∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
[答案] A
4．将直线x＋y＝1变换为直线2x＋3y＝6的一个伸缩变换为( )
A． B．
C． D．
[解析] 设伸缩变换为
由(X，Y)在直线2x＋3y＝6上，
∴2X＋3Y＝6，则2ax＋3by＝6.
因此x＋y＝1，与x＋y＝1比较，
∴＝1且＝1，故a＝3且b＝2.
所求的变换为.
[答案] A
二、填空题
5．在伸缩变换：作用下，点P(1，－2)变换为P′的坐标为________．
[解析] ∵x＝1，y＝－2.
∴X＝2x＝2，Y＝y＝－1，故P′(2，－1)．
[答案] (2，－1)
6．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹是________．
[解析] 取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－2,0)、C(2,0)、D(0,0)．
设A(x，y)，则|AD|＝.注意到A、B、C三点不能共线，化简即得轨迹方程：x2＋y2＝9(y≠0)．
[答案] 以BC的中点为圆心，半径为3的圆(去掉两点)
三、解答题
7．在平面直角坐标系中，求方程2x＋3y＝0经过伸缩变换后的图形．
[解] 由得 ①
将①代入2x＋3y＝0，得X＋Y＝0，
因此直线2x＋3y＝0变换成直线X＋Y＝0.
8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处．求城市B处于危险区内的时间．
[解] 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，
以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，
台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，
点B到直线y＝x的距离d＝＝20.
求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1h.
9.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1-1-1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
[解] (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8,0)在抛物线上，∴a＝－.
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)．
根据题意可知
得4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意)．
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．
∴C点的坐标为(6,4)．|AC|＝2，|BC|＝4.
所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
