1.2 极坐标系
1.2.1 平面上点的极坐标
1.2.2 极坐标与直角坐标的关系
学习目标：1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置．(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化．(重点)
1．平面上点的极坐标
(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴．
(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称为极角．
2．点与极坐标的关系
(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系．
3．极坐标与直角坐标的关系
(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图1-2-1所示)．
(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
ρ2＝x2＋y2
tan θ＝(x≠0)
思考1：极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？
[提示] 极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来刻画平面内点的位置．
思考2：极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？
[提示] 建立极坐标系后，给定数对(ρ，θ)，就可以在平面内惟一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是惟一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系．
思考3：联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？
[提示] 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．
事实上，若ρ>0，则sin θ＝，cos θ＝，
所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝.
1．极坐标系中，点M(1,0)关于极点的对称点为( )
A．(1,0) B．(－1，π)
C．(1，π) D．(1,2π)
[解析] ∵(ρ，θ)关于极点的对称点为(ρ，π＋θ)，∴M(1,0)关于极点的对称点为(1，π)．
[答案] C
2．极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可以是( )
A．(1,0) B．(2，) C．(3，) D．(4，π)
[答案] C
3．点A的极坐标是(2，)，则点A的直角坐标为( )
A．(－1，－) B．(－，1)
C．(－，－1) D．(，－1)
[解析] x＝ρcos θ＝2cosπ＝－，
y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1.
[答案] C
4．点M的直角坐标为(0，)，则点M的极坐标可以为( )
A．(，0) B．(0，) C．(，) D．(，－)
[解析] ∵ρ＝＝，且θ＝，
∴M的极坐标为(，)．
[答案] C
确定极坐标系中点的坐标
【例1】 设点A(2，)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．
[思路探究] 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．
[解] 如图所示，关于极轴的对称点为B(2，－)．
关于直线l的对称点为C(2，π)．
关于极点O的对称点为D(2，－π)．
四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．
1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．
2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后．
1．在极坐标系中，B(3，)，D(3，π)，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．
[解] 由B(3，)，D(3，)，
知|OB|＝|OD|＝3，极角与的终边关于极轴对称．
所以点B，D关于极轴对称．
设点B(3，)，D(3，)关于极点的对称点分别为E(ρ1，θ1)，F(ρ2，θ2)，
且ρ1＝ρ2＝3.
当θ∈[0,2π)时，θ1＝，θ2＝，
∴E(3，)，F(3，)为所求．
将点的极坐标化为直角坐标
【例2】 写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)(2，)；(2)(2，－π)；(3)(2，－)．
[思路探究] 点的极坐标(ρ，θ)―→―→点的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．
[解] (1)由题意知x＝2cos＝2×(－)＝－1，y＝2sin＝2×(－)＝－.
∴点(2，)的直角坐标为(－1，－)，是第三象限内的点．
(2)x＝2cos(－π)＝－1，
y＝2sin(－π)＝－，
∴点(2，－π)的直角坐标为(－1，－)，是第三象限内的点．
(3)x＝2cos(－)＝1，
y＝2sin(－)＝－，
∴点(2，－)的直角坐标为(1，－)，是第四象限内的点．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
2．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2，)；(2)(3，)；(3)(π，π)．
[解] (1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝，
y＝ρsin θ＝2sin＝1.
∴点的极坐标(2，)化为直角坐标为(，1)．
(2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0，
y＝ρsin θ＝3sin＝3.
∴点的极坐标(3，)化为直角坐标为(0,3)．
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π，
y＝ρsin θ＝πsin π＝0，
∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．
将点的直角坐标化为极坐标
【例3】 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2)；(2)(，－)．
[思路探究] 利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限．
[解]
(1)∵ρ＝＝＝4，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)，
由于点(－2,2)在第二象限．
∴θ＝.
∴点的直角坐标(－2,2)化为极坐标(4，π)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)，
由于点(，－)在第四象限，所以θ＝.
∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为(2，)．
1．将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)求解．
2．在[0,2π)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．
3．(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；
(2)如果点的直角坐标(x，y)满足xy<0，那么在限定ρ>0，θ∈R的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围．
[解] (1)根据与角α终边相同的角为α＋2kπ(k∈Z)知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈R)分别如下：
(－2,2)的极坐标为(4，＋2kπ)(k∈Z)．
(，－)的极坐标为(2，π＋2kπ)(k∈Z)．
(2)由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.
所以(x，y)可能在第二象限或第四象限．
把直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R时，θ的取值范围为(＋2kπ，π＋2kπ)∪(＋2kπ，2π＋2kπ)(k∈Z)．
极坐标与直角坐标的综合应用
【例4】 在极坐标系中，如果A(2，)，B(2，)为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C的直角坐标，进而求出点C的极坐标．
[解] 对于点A(2，)有ρ＝2，θ＝，
∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，则A(，)．
对于B(2，π)有ρ＝2，θ＝π，
∴x＝2cosπ＝－，y＝2sinπ＝－.
∴B(－，－)．
设C点的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，
故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.
∴有
解之得或
∴C点的坐标为(，－)或(－，)．
∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1，
∴θ＝π或θ＝π.
故点C的极坐标为(2，π)或(2，π)．
1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．
2．若设出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成．
4．本例中，如果点的极坐标仍为A(2，)，B(2，)，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．
[解] 对于点A(2，)，直角坐标为(，)，点B(2，)的直角坐标为(－，－)，
设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，∴·＝0，
即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0，
∴x2＋y2＝4. ①
又|A|2＝|B|2，于是(x－)2＋(y－)2
＝(x＋)2＋(y＋)2，
∴y＝－x代入①，得x2＝2，解得x＝±.
∴或
∴点C的直角坐标为(，－)或(－，)，
∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或，
∴点C的极坐标为(2，)或(2，)．
(教材P10习题1－2T3)
把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)：
A(－1,1)，B(0，－2)，C(3,4)，D(－3，－4)．
已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．
[命题意图] 主要考查直角坐标与极坐标的互化．
[解析] ∵点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2.
∴x＝－2，且y＝－2.
∴ρ＝＝2.
又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)．
∴θ＝π.
因此点P的极坐标为(2，π)．
[答案] (2，π)
课件48张PPT。第一章 坐标系1.2 极坐标系
1.2.1 平面上点的极坐标
1.2.2 极坐标与直角坐标的关系长度单位正方向极点极轴极坐标极径极角极点一一对应确定极坐标系中点的坐标 将点的极坐标化为直角坐标 将点的直角坐标化为极坐标 极坐标与直角坐标的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．下列各点中与(2，)不表示极坐标系中同一个点的是( )
A．(2，－π) B．(2，π)
C．(2，π) D．(2，π)
[解析] 与极坐标(2，)相同的点可以表示为(2，＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，π)不适合．
[答案] C
2．在极坐标系中与点A(3，－)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )
A．(3，π) B．(3，)
C．(3，π) D．(3，π)
[解析] 与点A(3，－)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(3,2kπ＋)(k∈Z)．
[答案] B
3．将点P的直角坐标(－1，)化为极坐标是( )
A．(2，－) B．(2，)
C．(－2，－) D．(－2，)
[解析] 在直角坐标系中(－1，)对应的极径ρ＝＝2，极角θ满足tan θ＝＝－，
∴由于点(－1，)在第二象限，所以θ＝.
[答案] B
4．在极坐标系中，点A(2，)与B(2，－)之间的距离为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 点A(2，)与B(2，－)的直角坐标分别为(，1)与(，－1)．
于是|AB|＝＝2.
[答案] B
二、填空题
5．关于极坐标系的下列叙述正确的是________．
①极轴是一条射线；
②极点的极坐标是(0,0)；
③点(0,0)表示极点；
④点M(4，)与点N(4，)表示同一个点．
[解析] ①③正确；②④错误．
[答案] ①③
6．将点的直角坐标(－，)化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为________．
[解析] ρ＝＝＝π.
又tan θ＝＝－1，θ∈[0,2π)，
且点(－，)在第二象限．
∴θ＝π.因此所求的极坐标为(π，π)．
[答案] (π，π)
三、解答题
7．已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P的极坐标．
[解] 设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得，解得，∴点P的直角坐标为(3，－)．
ρ＝＝2，tan θ＝.
∵0≤θ<2π.点P在第四象限．
∴θ＝.
∴点P的极坐标为(2，)．
8．将下列各点由极坐标化为直角坐标，由直角坐标化为极坐标．
(1)P(2，π)；(2)Q(2，－)；
(3)C(0，－2)；(4)D(3,0)．
[解] (1)x＝2cosπ＝2×(－)＝－，
y＝2sinπ＝2×(－)＝－.
所以P点的直角坐标为(－，－)．
(2)x＝2cos(－)＝2×＝，
y＝2sin(－)＝2×(－)＝－1.
所以Q点的直角坐标为(，－1)．
(3)ρ＝＝2，θ为π，θ在y轴负半轴上，所以C点的极坐标为(2，π)．
(4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0.
所以D点的极坐标为(3,0)．
9．在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为(2，)和(3,0)，O为极点，求(1)A，B两点间的距离；(2)△AOB的面积．
[解] 将A，B两点代入到两点间的距离公式有|AB|＝
＝＝＝.
(2)S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB
＝×2×3×sin(－0)＝.
