1.3 曲线的极坐标方程
1.4 圆的极坐标方程
1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆
1.4.2 圆心在点处且过极点的圆
学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点)
1．曲线C的直角坐标方程
在给定的平面直角坐标系下，如果二元方程F(x，y)＝0满足下面两个条件，则称它为曲线C的方程：
(1)曲线C上任一点的坐标(x，y)都满足方程；
(2)所有适合方程的(x，y)所对应的点都在曲线C上．
2．曲线的极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
3．常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos θ
(－≤θ≤)
圆心为(r，)，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ
(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α或θ＝α＋π
过点(a,0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a(－<θ<)
思考：曲线的极坐标方程是否唯一？
[提示] 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．
1．极坐标方程θ＝π(ρ∈R)表示( )
A．点 B．线段 C．圆 D．直线
[解析] 当ρ≥0时，方程θ＝π表示极角为π的射线，当ρ<0时，方程θ＝π表示上述射线的反向延长线．
∵ρ∈R，∴θ＝π表示直线．
[答案] D
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
[解析] 由题设，得ρ＝1，或θ＝π，
ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．
[答案] C
3．直线θ＝和圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
[解析] 由ρ＝2cos θ知表示曲线圆心为(1,0)，半径为1的圆．
又θ＝过极点且与极轴垂直．
∴直线θ＝与圆相切．
[答案] B
4．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
[解析] 由ρ·cos θ＝3，ρ＝4cos θ，得4cos2 θ＝3.
又0≤θ<，则cos θ>0.
∴cos θ＝，θ＝，故ρ＝2.
∴两曲线交点的极坐标为(2，)．
[答案] (2，)
圆的极坐标方程
【例1】 求圆心在C(2，)处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点(－2，sin)是否在这个圆上．
[思路探究] 解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．
[解] 如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.
在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，
即ρ＝2rcos(－θ)，
∴ρ＝－4sin θ，
经验证，点O(0,0)，A(4，)的坐标满足上式．
∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.
∵sin＝，
∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2，
∴点(－2，sin)在此圆上．
1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：①建立适当的极坐标系(本题无需作)；②在曲线上任取一点M(ρ，θ)；③根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；⑤证明所得的方程是曲线的极坐标方程．(一般只要对特殊点加以检验即可)
2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．
1．在极坐标系中，分别求方程．
(1)圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程；
(2)圆心为C(2，π)，半径为2的圆的极坐标方程．
[解] (1)设M(ρ，θ)为所求圆上任意一点．
结合图形，得|OM|＝2.∴ρ＝2.0≤θ<2π.
(2)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，结合图形．
在Rt△OAM中，
∠OMA＝90°.∠AOM＝π－θ，|OA|＝4.
∵cos∠AOM＝，
∴OM＝OA·cos∠AOM.
即ρ＝4cos(π－θ)，故ρ＝－4cos θ为所求．
直线或射线的极坐标方程
【例2】 求过点A(1,0)，且倾斜角为的直线的极坐标方程．
[思路探究] 画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程检验
[解] 法一 设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．
则∠xAM＝，∠OAM＝，
∠OMA＝－θ.
在△OAM中，由正弦定理得
＝，
即＝，故ρsin(－θ)＝，
即ρ(sincos θ－cossin θ)＝，
化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，
所以满足条件的直线的极坐标方程为
ρ(cos θ－sin θ)＝1，
其中，0≤θ<(ρ≥0)和<θ<2π(ρ≥0)．
法二 以极点O为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xOy.
∵直线的斜率k＝tan＝1，
∴过点A(1,0)的直线方程为y＝x－1.
将y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1，
∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，
其中，0≤θ<(ρ≥0)和<θ<2π(ρ≥0)．
法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．
2．若本例中条件不变，如何求以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？
[解] 由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，
根据例题可知，ρsin(－θ)＝，
化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程．
因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1(其中ρ≥0,0≤θ<)．
极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例3】 在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
[思路探究]
着眼点
[解] 曲线ρ＝2sin θ化为：
x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，
又ρcos θ＝－1化为x＝－1.
联立
得交点(－1,1)．
∴交点的极坐标为(，π)．
[答案] (，π)
1．(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)；(2)对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．
2．本题也可消去ρ，由二倍角公式求θ，进而求出极径ρ.
3．如果将例题中的曲线方程改为“曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1”，试求曲线交点的极坐标．
[解] 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程x＋y＝1，
曲线ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程y－x＝1.
两直线x＋y＝1与y－x＝1的交点为(0,1)，
∴交点的极坐标为(1，).
极坐标方程的应用
【例4】 从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值．
[思路探究] 建立点P的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化，根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP|的最小值．
[解] (1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．
(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，
得x2＋y2＝3x，
即(x－)2＋y2＝()2，
知P的轨迹是以(，0)为圆心，半径为的圆．
直线l的直线坐标方程是x＝4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.
1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．
2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．
4.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
[解] (1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
(教材P16练习T2)
把圆的极坐标方程ρ＝sin θ化为直角坐标方程，并说明圆心和半径．
在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[解] (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
课件43张PPT。第一章 坐标系1.3 曲线的极坐标方程
1.4 圆的极坐标方程
1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆
1.4.2 圆心在点 处且过极点的圆234任一点的坐标(x，y)对应的点567891011121314圆的极坐标方程 15161718192021直线或射线的极坐标方程 222324252627极坐标方程与直角坐标方程的互化 28293031极坐标方程的应用 3233343536373839404142点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )
A．(，) B．(－，)
C．(，－) D．(，－)
[解析] 点(，－π)的极坐标满足ρ＝，θ＝－π，且ρ≠cos θ＝cos(－π)＝－.
[答案] D
2．过极点倾斜角为的直线的极坐标方程可以为( )
A．θ＝ B．θ＝，ρ≥0
C．θ＝，ρ≥0 D．θ＝和θ＝，ρ≥0
[解析] 以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．
∵两条射线的极坐标方程为θ＝和θ＝π.
∴直线的极坐标方程为θ＝和θ＝π(ρ≥0)．
[答案] D
3．极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
[解析] 由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋.
∴该方程表示抛物线．
[答案] D
4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2
C．ρ＝4sin(θ＋) D．ρ＝4sin(θ－)
[解析] 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
[答案] B
二、填空题
5．点Q是圆ρ＝4cos θ上的一点，当Q在圆上移动时，OQ(O是极点)中点P的轨迹的极坐标方程是__________________．
[解析] ρ＝4cos θ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cos θ.
[答案] ρ＝2cos θ
6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是________．
[解析] 直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x＋y－1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x＋y－1＝0的距离是.
[答案]
三、解答题
7．已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋)＝，求极点到直线的距离．
[解] ∵ρsin(θ＋)＝，
∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d＝＝.
8．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
[解] (1)由ρcos(θ－)＝1，
得ρ(cos θ＋sin θ)＝1.
又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，∴点N(，)．
(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标(0，)．
又P为MN的中点，
∴点P(1，)，则点P的极坐标为(，)．
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
9．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cos(θ－)上的动点，试求|PQ|的最大值．
[解] ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，
∴x2＋y2－12y＝0，
即x2＋(y－6)2＝36.
又∵ρ＝12cos(θ－)，
∴ρ2＝12ρ(cos θcos＋sin θsin)，
∴x2＋y2－6x－6y＝0，
∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
