1.5 柱坐标系和球坐标系
1.5.1 柱坐标系
1.5.2 球坐标系
学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)
1．柱坐标系
(1)柱坐标
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，M点在xOy坐标面上的投影点为M0，M0点在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1-5-1所示，则三个有序数ρ，θ，z构成的数组(ρ，θ，z)称为空间中点M的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z为任意实数．
(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式
空间点M(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为.
2．球坐标系
(1)球坐标
设空间中一点M的直角坐标为(x，y，z)，点M在xOy坐标面上的投影点为M0，连接OM和OM0.
如图所示，设z轴的正向与向量的夹角为φ，x轴的正向与的夹角为θ，M点到原点O的距离为r，则由三个数r，θ，φ构成的有序数组(r，θ，φ)称为空间中点M的球坐标．若设投影点M0在xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.
(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式
空间点M(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的变换公式为.
思考1：要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？
[提示] 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．
思考2：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？
[提示] 柱坐标系中，ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面．
1．在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为(2，，3)，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为( )
A．(2,0,3) B．(2，，0)
C．(，，3) D．(，，0)
[解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B.
[答案] B
2．已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )
A．(1,1,0) B．(1,0,1)
C．(0,1,1) D．(1,1,1)
[解析] x＝ρ·cos θ＝1cos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1.
[答案] B
3．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是( )
A．(2，，3) B．(2，，3)
C．(2，，3) D．(2，，3)
[解析] ∵ρ＝＝2，
tan θ＝＝，
∴θ＝或π.
又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－，
∴排除θ＝，∴θ＝π.
∴M的柱坐标为(2，，3)．
[答案] C
4．设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为( )
A．(，，0) B．(，，)
C．(2，，0) D．(2,0，)
[解析] 由坐标变换公式，
得r＝＝，cos φ＝＝0，
∴φ＝.
∵tan θ＝＝1，∴θ＝π.
[答案] B
点的柱坐标与直角坐标互化
【例1】 设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标．
[思路探究] 已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可．
[解] 设M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
则有解之得，ρ＝，θ＝.
因此，点M的柱坐标为(，，1)．
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．
1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
(1)(2，，3)；(2)(，，5)．
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)．
(1)∵(ρ，θ，z)＝(2，，3)，
∴
因此所求点的直角坐标为(－，1,3)．
(2)∵(ρ，θ，z)＝(，，5)，
∴
故所求点的直角坐标为(1,1,5)．
将点的球坐标化为直角坐标
【例2】 已知点M的球坐标为(2，π，π)，求它的直角坐标．
[思路探究]
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)．
∵(r，θ，φ)＝(2，π，π)，
∴x＝2sinπcosπ
＝2××(－)＝－1，
y＝2sinπsinπ
＝2××＝1，
z＝2cosπ＝2×(－)＝－.
因此点M的直角坐标为(－1,1，－)．
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，θ，φ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式转化为三角函数的求值与运算．
2．若“例2”中点M的球坐标改为M(3，，)，试求点M的直角坐标．
[解] 设M的直角坐标为(x，y，z)．
∵(r，θ，φ)＝(3，，)，
x＝rsin φcos θ＝3sincos＝，
y＝rsin φsin θ＝3sinsin＝－，
z＝rcos φ＝3cos＝－.
∴点M的直角坐标为(，－，－)．
空间点的直角坐标化为球坐标
【例3】 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面正方形ABCD的边长为1，棱AA1的长为，如图1-5-3所示，建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标和球坐标．
[思路探究] 先确定C1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．
[解] 点C1的直角坐标为(1,1，)．
设C1的球坐标为(r，θ，φ)，其中r≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π，
由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，
z＝r·cos φ，
∴r＝
＝＝2.
由z＝rcos φ，
∴cos φ＝，φ＝.
又tan θ＝＝1，∴θ＝，
从而点C1的球坐标为(2，，)．
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ.
2．利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．
3．若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标．
[解] 易知C的直角坐标为(1,1,0)．
设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.
(1)由于ρ＝＝＝.
又tan θ＝＝1，∴θ＝.
因此点C的柱坐标为(，，0)．
(2)由r＝＝＝.
∴cos φ＝＝0，∴φ＝.
故点C的球坐标为(，，)．
(教材P21练习T2)
设点M的柱坐标为(2，，7)，求它的直角坐标．
在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，π，)，则|OM|＝________.
[命题意图] 本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画．
[解析] 设点M的直角坐标为(x，y，z)．
由(ρ，θ，z)＝(2，π，)知
x＝ρcos θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝.
因此|OM|＝＝＝3.
[答案] 3
课件38张PPT。第一章 坐标系1.5 柱坐标系和球坐标系
1.5.1 柱坐标系
1.5.2 球坐标系柱坐标球坐标点的柱坐标与直角坐标互化 将点的球坐标化为直角坐标 空间点的直角坐标化为球坐标 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四)
(建议用时：45分钟)
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A．(1，，2) B．(2，，0)
C．(3，，) D．(3，，)
[解析] 由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内．
[答案] A
2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( )
A．(2,0,2) B．(2，π，2)
C．(，0,2) D．(，π，2)
[解析] 设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0，
∴θ＝0，z＝2.
∴点M的柱坐标为(2,0,2)．
[答案] A
3．在空间球坐标系中，方程r＝2(0≤θ＜2π，0≤φ≤)表示( )
A．圆 B．半圆
C．球面 D．半球面
[解析] 设动点M的球坐标为(r，θ，φ)，由于r＝2,0≤θ＜2π，0≤φ≤.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面．
[答案] D
4．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是( )
A．(1,0,0) B．(0,1,0)
C．(0,0,1) D．(1，π，0)
[解析] 设M的球坐标为(r，θ，φ)，
则r＝＝1，θ＝0，
又cos φ＝＝1，∴φ＝0.
故点M的球坐标为(1,0,0)．
[答案] A
二、填空题
5．已知点M的球坐标为(4，，)，则点M到Oz轴的距离为________．
[解析] 设M的直角坐标为(x，y，z)，
则由(r，θ，φ)＝(4，，)，
知x＝4sincosπ＝－2，
y＝4sinsinπ＝2，
z＝rcos φ＝4cos＝2.
∴点M的直角坐标为(－2,2,2)．
故点M到Oz轴的距离为＝2.
[答案] 2
6．若点M的柱坐标为(2，，－2)，则点M的直角坐标为________．
[解析] 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
∵(ρ，θ，z)＝(2，π，－2)，
∴x＝ρcos θ＝－1，y＝ρsin θ＝，z＝－2.
故点M的直角坐标为(－1，，－2)．
[答案] (－1，，－2)
三、解答题
7．已知球坐标系Oxyz中，M(6，，)，N(6，，)，求|MN|.
[解] ∵|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝.
∴△MON为等边三角形．
∴|MN|＝6.
8．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
9．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标．
[解] 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零度子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°.
由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P的球坐标为(8 755,80°，15°)．
