北师大版数学九年级上册同步课时训练
第四章 图形的相似
5 相似三角形判定定理的证明
自主预习 基础达标
要点 相似三角形判定的综合应用
判定三角形相似，关键抓住以下几点：
1. 已知角相等时，找两对对应角 ；若只能找到一对对应角相等，判断相等的角的两边是否对应 ；
2. 无法找到角相等时，判断三边是否对应 ；
3. 除此之外，也可考虑平行线分线段成比例的基本事实及相似三角形的“传递性”.
课后集训 巩固提升
1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A. ①与②相似 B. ①与③相似
C. ①与④相似 D. ②与④相似
第1题 第2题
2. 如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC＝5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测出AB＝6m，则池塘的宽DE为( )
A. 25m B. 30m C. 36m D. 40m
3. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC的值是( )
A. 1∶4 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 1∶2
4. 在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，＝，那么∠B的度数是( )
A. 40° B. 60° C. 80° D. 100°
5. 如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于是点O，则＝ .
第5题 第6题
6. 如图，在?ABCD中，E在AB上，CE，DB交于点F，若AE∶BE＝4∶3，且BF＝2，则FD＝ .
7. 在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A＝36°，AB＝AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似这样的直线最多有
条.
8. 如图，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
求证：△ABD∽△CAE.
9. 如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且＝.
(1)求证：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大小.
10. 如图，已知AB⊥DB于B，CD⊥DB于D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得以C，D，P为顶点的三角形与以P，B，A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，请说明理由.
11. 已知在△ABC中，AB＝AC.
(1)设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x(2≤x≤3).写出y关于x的函数表达式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；
(2)如图，D是线段BC上一点，连接AD.若∠B＝∠BAD，求证：△ABC∽△DBA.
12. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB，ED，延长BE交AD于点F.
(1)求证：∠BEC＝∠DEC；
(2)当CE＝CD时，求证：DF2＝EF·BF.
13. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F.
图1 图2
(1)如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；
明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；
请回答：AF与BE的数量关系是 .
(2)如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，请参考明明思考问题的方法，求的值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 1. 相等 成比例 2. 成比例
课后集训 巩固提升
1. B 2. C 3. D 4. B
5. 2
6.
7. 3
8. 证明：∵AB＝3AC，BD＝3AE，∴＝＝3.∵BD∥AC，∴∠CAE＝∠ABD.∴△ABD∽△CAE.
9. (1)证明：∵CD是边AB上的高.∴∠ADC＝∠CDB＝90°.又＝，∴△ACD∽△CBD.
(2)解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD.在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
10. 解：存在.①若△PCD∽△APB，则＝，即＝，解得DP＝2或12； ②若△PCD∽△PAB，则＝，即＝，解得DP＝5.6.∴当DP＝2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似.
11. (1)解：y＝7－2x(2≤x≤3)函数图象如图所示：
(2)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＝∠BAD，∴∠BAD＝∠C.又∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.
12证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，且∠BCE＝∠DCE.又∵CE是公共边，∴△BEC≌△DEC，∴∠BEC＝∠DEC.
(2)连接BD.∵CE＝CD，∴∠DEC＝∠EDC.∵∠BEC＝∠DEC，∠BEC＝∠AEF，∴∠EDC＝∠AEF.∵∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠EDC＋∠ECD，∴∠FED＝∠ECD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECD＝∠BCD＝45°，∠ADB＝∠ADC＝45°，∴∠ECD＝∠ADB.∴∠FED＝∠ADB.又∵在△FDE和△FBD中，∠BFD是公共角，∴△FDE∽△FBD，∴＝，即DF2＝EF·BF.
13. 解：(1)AF＝BE
(2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，∠ABD＝60°，∴∠FAO＋∠AFO＝90°.∵AG⊥BE，∴∠EAG＋∠BEA＝90°，∴∠AFO＝∠BEA.又∵∠AOF＝∠BOE＝90°，∴△AOF∽△BOE.∴＝.∵∠ABO＝60°，AC⊥BD，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB，∴OA＝OB，∴＝.∴＝.
