2.3 平均值不等式(选学)
学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．
教材整理 平均值不等式
1．(平均值不等式)设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，等号成立?a1＝a2＝…＝an.
(推论1)设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n，且等号成立?a1＝a2＝…＝an＝1.
当n＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．
(推论2)设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数，则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立?a1＝a2＝…＝an.
当n＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．
2．任意给定n个正数，先求它们倒数的平均
，然后再作这个平均值的倒数
，称其为a1，a2，…，an的调和平均．
(定理2)设a1，a2，…，an为n个正数，则≥，等号成立?a1＝a2＝…＝an.
3．(定理3)设a1，a2，…，an为正数，则≥≥，等号成立?a1＝a2＝…＝an.
(推论3)设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)·≥n2.
1．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
[解析] ∵x，y，z为正数，∴xyz≤＝23.
∴lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．
[答案] B
2．若a，b，c，d为正数，则＋＋＋的最小值为_____________.
[解析] 由平均值不等式可得，＋＋＋≥4 ＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．
[答案] 4
利用平均值不等式求最值
【例1】 求函数y＝(x2－17)的最大值．
[精彩点拨] 根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值．
[自主解答] 根据平均值不等式
＋＋(79－x2)
≥3
＝3，即y2≤623×.
当且仅当＝79－x2，即x2＝时等号成立．
这时ymax＝.
利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．
1．已知x，y，z∈且x＋y＋z＝3，求y＝＋＋的最大值．
[解] ＋＋
＝＋＋
≤＋＋＝.
∵x＋y＋z＝3，∴＝3，
∴＋＋≤3.故ymax＝3.
利用平均值不等式证明不等式
【例2】 若x>0，求证：>.
[精彩点拨] 由于不等式右边为 ，故将左边拆项，利用不等式证明．
[自主解答] ＝1＋
即原不等式成立．
在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．
2．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)≥.
[证明] ∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
3，
＋＋≥3 ，
∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥3×3 ，
即2(a＋b＋c)≥9，
∴(a＋b＋c)≥.
平均值不等式的类型与应用条件
[探究问题]
试比较n个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系．
[提示] 在课本中已讲过n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An＝和Gn＝.
此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)
Hn＝.
平方平均(在统计学及误差分析中用到)
Qn＝.
这四个平均值有以下关系：Hn≤Gn≤An≤Qn.
其中等号成立的充要条件都是a1＝a2＝…＝an.
【例3】 设x1，x2，x3为正数，证明：＋＋≤＋＋.
[精彩点拨] 不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形．
[自主解答] ＝··1
≤， ①
＝··1≤， ②
＝··1≤， ③
1＝··≤. ④
上述不等式中，当且仅当x1＝x2＝x3时取“＝”号．
①＋②＋③＋④得＋＋＋1≤[3·＋3＋3·＋3]，
∴＋＋≤＋＋.
在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如可变为··1.
3．已知a，b，c为正整数，且b＋c>a，c＋a>b，a＋b>c.
求证：··≤1.
[证明] ··
＝··
＝…·
…·
…
≤
＝1.
即原不等式成立．
1．设a1，a2，…，an为正数，P＝，Q＝，则P，Q间的大小关系为( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P[解析] ∵(a1＋a2＋…＋an)≥＝n2，
∴≥，
即P≥Q.
[答案] B
2．已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝3，则＋＋的最大值为( )
A．9 B．3
C．16 D．4
[解析] ＋＋＝＋＋≤＋＋＝＝9.当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．
[答案] A
3．当x>0时，y＝3x＋的最小值为( )
A． B．3
C． D．4
[解析] y＝3x＋＝＋＋
≥3 ＝3＝ .
当且仅当x＝，即x＝时，等号成立．
[答案] A
4．已知x，y，z为正数，且2x＋3y＋5z＝6，则xyz的最大值为________．
[解析] ∵x，y，z为正数，∴xyz＝×2x×3y×5z≤×＝.当且仅当2x＝3y＝5z，即x＝1，y＝，z＝时等号成立．
[答案]
5．证明：设n为正整数，则n[(n＋1)－1]<1＋＋＋…＋.
[证明] 原不等式等价于：(n＋1)<＋1
＝.
∵
＝
＝>
＝
＝(n＋1)，
∴原不等式成立．
课件45张PPT。第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用2.3 平均值不等式(选学)n 如果一个长方体的体积为1 则当它是正方体时，其棱长之和最小 所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积调和平均 利用平均值不等式求最值 利用平均值不等式证明不等式 平均值不等式的类型与应用条件 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 平均值不等式(选学)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则＋＋与9的大小关系是( )
A．＋＋≥9 B．＋＋<9
C．＋＋＝9 D．不确定
[解析] ∵a＋b＋c＝1，∴1≥3，∴abc≤，又a，b，c为正数，∴≥27，
∴＋＋≥3 ≥3＝9.
[答案] A
2．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为( )
A．3 B．2
C．12 D．12
[解析] ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，
∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3
＝3＝3×4＝12.
当且仅当2x＝22y＝23z，
即x＝2y＝3z，即x＝2，y＝1，z＝时取等号．
[答案] C
3．若2a>b>0，则a＋的最小值是( )
A．3 B．1
C．8 D．12
[解析] a＋＝＋＋
≥3＝3.
当且仅当a－＝＝，即a＝b＝2时等号成立．
[答案] A
4．已知x为正数，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n为正数)，则a的值为( )
A．nn B．2n
C．n2 D．2n＋1
[解析] x＋＝＋＋…＋＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.
[答案] A
5．已知a，b，c为正数，x＝，y＝，z＝，则( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
[解析] ∵a，b，c为正数，
∴≥，
∴x≥y，又x2＝，
z2＝.
∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，
∴z2≥x2，∴z≥x，
即y≤x≤z.
[答案] B
二、填空题
6．设a>0，b>0，称为a，b的调和平均．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均，线段________的长度是a，b的几何平均，线段________的长度是a，b的调和平均．
[解析] 在Rt△ABD中，由射影定理易得到DC2＝ab，DC＝，故线段DC的长度为a，b的几何平均数．又因为△ODC∽△CDE，所以＝，则DE＝＝，故线段DE的长度为a，b的调和平均数.
[答案] DC DE
7．当a＞1,0＜b＜1时，则logab＋logba的范围是________．
[解析] ∵a＞1,0＜b＜1，
∴logab＜0，logba＜0，
∴－logab＞0，－logba＞0，
∴－logab－logba≥2＝2.
当且仅当b＝时取等号，
∴logab＋logba≤－2.
[答案] (－∞，－2]
8．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是________．
[解析] 设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3.
又∵三角形为直角三角形，S＝·3·4＝6，
∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6，
∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3，
∴h1h2h3≤＝.
[答案]
三、解答题
9．证明不等式＋＋…＋<对一切正整数成立．
[证明] ∵<，
∴＋＋…＋<＋＋…＋，
即＋＋…＋<.
10．(1)已知a，b是正数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，并指出等号成立的条件．
(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋x∈0，的最小值，指出取最小值时的x的值．
[解] (1)证明：由二元均值不等式得
(x＋y)＝a2＋b2＋a2·＋b2·≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，故＋≥.
当且仅当a2＝b2，
即＝时上式取等号．
(2)由(1)知，f(x)＝＋≥＝25.
当且仅当＝，即x＝时，f(x)取最小值，
且f(x)min＝25.
[能力提升练]
1．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)( )
A．先提价p%，再提价q%
B．先提价q%，再提价p%
C．分两次都提价%
D．分两次都提价%
[解析] ≥≥ab，由题可知，A，B两次提价均为(1＋p%)(1＋q%)相等，
C提价，D提价，＜?(1＋p%)(1＋q%)＜＜，则提价最多为C.
[答案] C
2．若x＞1，则函数y＝x＋＋的最小值为( )
A．16 B．8
C．4 D．非上述情况
[解析] y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，
当且仅当2＝16，x＋＝4，x＝2＋时取“＝”．
[答案] B
3．若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值为________．
[解析] (x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx＝y(x＋y＋z)＋zx≥2＝2.
[答案] 2
4．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y元表示为速度v千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
[解] (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s.
故所求函数为y＝s，v∈(0，c]．
(2)由题意知s，a，b，v都是正数，
故有s≥2s.
当且仅当＝bv，即v＝时等号成立．
若≤c，则当v＝时，全程运输成本y最小；
若>c而v∈(0，c]，y＝s在(0，c]上为减函数．
∴v＝c时，ymin ＝s.
综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v＝；当>c时，行驶速度应为v＝c.
