2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型
学习目标：1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题．
教材整理 最值问题，优化的数学模型
1．最值
设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点．
寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题，它属于更一般的问题——极值问题的一个特别的情况．
2．分离常数法
分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分．这在求含有分式的最值问题时经常用到．这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x的二次方程，然后利用判别式求最值．用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件．
1．已知0＜x＜1，则x(1－x)取最大值时x的值为( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵0＜x＜1，
∴x(1－x)≤＝，
当且仅当x＝时取等号．
[答案] B
2．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
[解析] ∵t＞0，∴y＝
＝t＋－4≥2－4＝－2.
[答案] －2
利用柯西不等式求最值
【例1】 设x≥0，y≥0，z≥0，a，b，c，l，m，n是给定的正数，并且ax＋by＋cz＝δ为常数，求ω＝＋＋的最小值．
[精彩点拨] 题设中的ω与δ的形式符合柯西不等式的形式，可以借助柯西不等式求式子的最值．
[自主解答] 由柯西不等式得ω·δ＝＋＋·[()2＋()2＋()2]≥(＋＋)2，
所以ω≥.
由柯西不等式成立的条件得x＝k，y＝k，z＝k.
其中，k＝.它们使得ax＋by＋cz＝δ，且ω＝，所以ω的最小值为.
利用柯西不等式求最值时，必须验证等号成立的条件是否满足．
1．设x，y，z∈R，且＋＋＝1.求x＋y＋z的最大值和最小值．
[解] 根据柯西不等式，知[42＋()2＋22]·
≥
，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝－1，z＝或x＝－，y＝－3，z＝时等号成立．
∴25×1≥(x＋y＋z－2)2.
∴|x＋y＋z－2|≤5，
∴－3≤x＋y＋z≤7，
即x＋y＋z的最大值为7，最小值为－3.
利用二次函数求最值
【例2】 某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所获利润为P＝－(x－40)2＋10万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润Q＝－(60－x)2＋(60－x)万元．问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？
[精彩点拨] 分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可．
[自主解答] 若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．这样10年总利润最大值为W＝10×10＝100(万元)．
若对该产品开发，则前5年中，当x＝30时，Pmax＝，前5年总利润为W1＝×5＝(万元)；设后5年中，x万元用于本地销售投资，60－x万元用于异地销售投资，则总利润
W2＝×5＋×5＝－5(x－30)2＋4 500，
当x＝30时，(W2)max＝4 500.
∴10年总利润最大值为＋4 500(万元)．
因＋4 500>100，故该项目具有极大的开发价值．
1．本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解．本题的现实意义也很大．
2．解不等式应用题的步骤
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原实际问题．
2．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解] (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0∴0∴x的取值范围是0利用不等式解决实际问题
[探究问题]
利用不等式解决实际问题的步骤是什么？
[提示] 利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：
(1)阅读理解材料，弄清问题背景．
(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题．
(3)运用不等式的知识、手段讨论不等式关系．
(4)做出结论．
然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值．
【例3】 如图所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
[精彩点拨] 设切去的小正方形的边长为x，由题意可知，折成的盒子的底面边长为a－2x，高为x，这时盒子的容积为V＝(a－2x)2x，再利用三个正数的算术－几何平均值不等式，变形为xyz≤求解即可．
[自主解答] 设切去的小正方形的边长为x，无盖方底盒子的容积为V，则V＝(a－2x)2x
＝(a－2x)·(a－2x)×4x≤
＝.
当且仅当a－2x＝a－2x＝4x，即当x＝时，不等式取等号，此时V取最大值，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时，折成的盒子容积最大．
在解决实际问题时，阅读理解题意，建立数学模型是关键，在求解数学模型时，平均值不等式是常用的手段之一．
3.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器的高为h米，盖子边长为a米．
(1)求a关于h的函数解析式；
(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．
(求解本题时，不计容器的厚度)
[解] (1)设h′为正四棱锥的斜高，
由已知
解得a＝(h>0)．
(2)由V＝ha2＝(h>0)，
易得V＝.
∵h＋≥2＝2，
∴V≤.
等号当且仅当h＝，
即h＝1时取得．
故当h＝1米时，V有最大值，V的最大值为立方米．
1．已知x>1，y>1，且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是( )
A．2 B．
C． D．4
[解析] ∵4＝lg x＋lg y≥2，
∴lg x·lg y≤4.
[答案] D
2．已知a，b为正数，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )
A．2 B．
C．6 D．12
[解析] (＋)2
＝(1×＋1×)2
≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)
＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，
当且仅当＝，
即a＝b＝时等号成立．
[答案] D
3．数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最大项是( )
A．第9项 B．第8项和第9项
C．第10项 D．第9项和第10项
[解析] an＝＝≤＝，
当且仅当n＝，即n＝3时等号成立．
又n为正整数，检验可知选D.
[答案] D
4．函数y＝5＋的最大值为________．
[解析] 因为函数的定义域为[1,5]，且y>0，则
y＝5＋·≤
×＝＝6.
当且仅当·＝5·时，等号成立，
即x＝时，函数取最大值6.
[答案] 6
5．(1)求函数y＝的最小值；
(2)求函数y＝cos2x(1＋sin x)的最大值；
(3)设x>1，求函数y＝log2x＋logx4的最小值．
[解] (1)设l＝，则l≥2，于是
y＝＝l＋.
∵y′＝1－＝，
∴当l∈[2，＋∞)时，y′>0，即在[2，＋∞)上函数单调递增，
∴当l＝2，即x＝0时，y取得最小值，最小值为y＝2＋＝.
(2)y＝(1－sin2x)(1＋sin x)
＝(1－sin x)(1＋sin x)(1＋sin x)
＝4(1－sin x)··
≤4＝4×＝.
等号成立?1－sin x＝?sin x＝，方程sin x＝有解，于是函数y＝cos2x(1＋sin x)有最大值.
(3)当x>1时，log2x>0，logx4>0，于是
y＝log2x＋logx4＝log2x＋≥2.
等号成立?log2x＝?log2x＝(log2x＝－舍去)?x＝2，于是ymin＝2.
课件41张PPT。第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型最大(小)值点 极值问题 最值问题 在分子中凑出与分母相同的项等号成立然后约分利用柯西不等式求最值 利用二次函数求最值 利用不等式解决实际问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 最大值与最小值问题，优化的数学模型
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若x，y是正数，则＋的最小值是( )
A．3 B.
C．4 D.
[解析] 由题意知：
＋≥2
＝2≥2＝4，
等号成立的条件是不矛盾，故“＝”能成立．
[答案] C
2．设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是( )
A．2 B．4
C．2 D．5
[解析] 原式＝a(a－b)＋ab＋a2＋＋－10ac＋25c2＝a(a－b)＋＋ab＋＋(a－5c)2
≥2＋2＋0＝4.
当且仅当a(a－b)＝1，ab＝1，a－5c＝0时取等号，即当a＝，b＝，c＝时等号成立．
[答案] B
3．若x，y，z是非负实数，且9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值为( )
A．9 B．10
C．14 D．15
[解析] u2＝(3x＋6y＋5z)2≤[(3x)2＋(2y)2＋(z)2]·[12＋()2＋()2]＝9×9＝81，当且仅当x＝，y＝，z＝1时等号成立，∴u≤9.
[答案] A
4．设实数x1，x2，…，xn的算术平均值是，a≠(a∈R)，并记p＝(x1－)2＋…＋(xn－)2，q＝(x1－a)2＋…＋(xn－a)2，则p与q的大小关系是( )
A．p>q B．pC．p＝q D．不确定
[解析] 设函数f(x)＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2，
则f(x)＝nx2－2(x1＋x2＋…＋xn)x＋(x＋x＋…＋x)．
当x＝＝时f(x)取最小值，
故p[答案] B
5．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，若M＝，则必有( )
A．0≤M＜ B.≤M＜1
C．1≤M＜8 D．M≥8
[解析] M＝
＝
≥＝8.
[答案] D
二、填空题
6．函数y＝(x>－1)的最小值为________．
[解析] y＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当x＋1＝2，
∴x＝1时取等号．
[答案] 9
7．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于不等式：
①abc≤；②≥27；③ab＋bc＋ca≤.
其中正确的不等式的序号是________．
[解析] ∵a，b，c均大于0，
∴1＝a＋b＋c≥3，
∴0∴≥27.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
从而①正确，②也正确．
又2＝2(a＋b＋c)2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)＋4ab＋4bc＋4ca≥2ab＋2bc＋2ca＋4ab＋4bc＋4ca＝6(ab＋bc＋ca)，
0[答案] ①②③
8．函数y＝2＋的最大值为________．
[解析] 利用柯西不等式进行变形，得到[()2＋12]·[()2＋()2]≥(2＋)2，即3×3≥(2＋)2，当且仅当x＝0时等号成立，
∴2＋≤3.
[答案] 3
三、解答题
9．某单位要建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为每平方米1 200元，房屋侧面的造价为每平方米800元，屋顶的总造价为5 800元，如果墙高3米，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少？
[解] 设房屋正面长为x米，则侧面长为米．于是总造价W＝
3＋5 800
＝3 600·＋5 800
≥3 600×2＋5 800
＝34 600(元)．
等号成立?x＝?x＝4.
答：房屋正面长为4米，侧面长为3米时，房屋有最低总造价为34 600元．
10．经过长期预测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝(v＞0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(精确到0.1千辆/小时)?
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
[解] (1)依题意y＝
≤＝，当且仅当v＝，
即v＝40时等号成立．
∴ymax＝≈11.1(千辆/小时)．
当v＝40千米/小时时，车流量最大，约为11.1千辆/小时．
(2)由条件得＞10，
整理得v2－89v＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0.
解得25＜v＜64.
所以，如果在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在25～64千米/小时．
[能力提升练]
1．爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身体健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为v1，下山(原路返回)的速度为v2(v1≠v2)，乙上下山的速度都是(v1＋v2)(两人途中不停歇)，则甲、乙两人上下山所用时间t1，t2的关系为( )
A．t1＞t2 B．t1＜t2
C．t1＝t2 D．不能确定
[解析] 设S为上山路程，则下山路程亦为S.
t＝＋＞2＝，
t2＝＝＜＝，
∴t1＞t2.
[答案] A
2．某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满程度降低，设住第n层楼时，环境不满意程度为，则此人应选( )
A．1楼 B．2楼
C．3楼 D．4楼
[解析] 此人不满意程度越小，楼层越好，设y＝n＋，可求出此函数的单调减区间为(0,2)，增区间为[2，＋∞)，当n＝2时，y＝6，当n＝3时，y＝5，因此3层楼不满意度最少．
[答案] C
3．已知0＜x＜，则x(1－2x)的最大值是________．
[解析] 由0＜x＜，知1－2x＞0，
∴x(1－2x)＝[2x＋(1－2x)]≤＝，
当且仅当2x＝1－2x，
即x＝时等号成立．
[答案]
4．设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0[解] (1)把a＝2代入f(x)＝x＋，得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1.
∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1>0，>0，
∴x＋1＋≥2.
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取最小值．
此时，f(x)min＝2－1.
(2)当0f(x)＝x＋1＋－1，若x＋1＋≥2，
则当且仅当x＋1＝时取等号，
此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．
设x1>x2≥0，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2).
∵x1>x2≥0，
∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而0∴<1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴x＝0时，f(x)min＝a.
