3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
3.2.1 用数学归纳法证明不等式
3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式
学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件．
教材整理1 用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用．
教材整理2 贝努利不等式
1．定理1(贝努利不等式) 设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.
2．定理2(选学) 设α为有理数，x>－1，
(1)如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；
(2)如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立．
事实上，当α是实数时，也是成立的．
设n∈N＋，则2n与n的大小关系是( )
A．2n>n B．2n
C．2n＝n D．不确定
[解析] 2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.
[答案] A
数学归纳法证明不等式
【例1】 已知Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．
[精彩点拨] 求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2，然后证明归纳递推．
[自主解答] (1)当n＝2时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋
>1＋＋＋＋…＋
>1＋＋＝1＋＋＝1＋.
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．
此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上 2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.
1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，由f(1)＝1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明．
[解] 数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为an＝，
∴猜想：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
即f(2k－1)>，
则f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋
＝f(2k－1)＋>＋＝.
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立.
利用数学归纳法比较大小
【例2】 设Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明．
[精彩点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特殊值，猜想Pn与Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．
[自主解答] (1)当n＝1,2时，Pn＝Qn.
(2)当n≥3时，(以下再对x进行分类)．
①若x∈(0，＋∞)，显然有Pn＞Qn.
②若x＝0，则Pn＝Qn.
③若x∈(－1,0)，
则P3－Q3＝x3＜0，所以P3＜Q3.
P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)＜0，所以P4＜Q4.
假设Pk＜Qk(k≥3)，
则Pk＋1＝(1＋x)Pk＜(1＋x)Qk＝Qk＋xQk
＝1＋kx＋＋x＋kx2＋
＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3
＝Qk＋1＋x3＜Qk＋1，
即当n＝k＋1时，不等式成立．
所以当n≥3，且x∈(－1,0)时，Pn＜Qn.
1．利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立．
2．本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化，变量x也影响Pn与Qn的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n”，而忽视其他变量(参数)的作用．
2．已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x∈R，满足条件：b1＝b，an＝f(bn)＝g(bn＋1)(n∈N＋)，若函数y＝f(x)为R上的增函数，g(x)＝f－1(x)，b＝1，f(1)＜1，证明：对任意x∈N＋，an＋1＜an.
[证明] 因为g(x)＝f－1(x)，所以an＝g(bn＋1)
＝f－1(bn＋1)，即bn＋1＝f(an)．
下面用数学归纳法证明an＋1＜an(n∈N＋)．
(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)＜1，得
a1＝f(b1)＝f(1)＜1，
b2＝f(a1)＜f(1)＜1，
a2＝f(b2)＜f(1)＝a1，
即a2＜a1，结论成立．
(2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1＜ak.
由f(x)为增函数，得f(ak＋1)＜f(ak)，即bk＋2＜bk＋1.
进而得f(bk＋2)＜f(bk＋1)，即ak＋2＜ak＋1.
这就是说当n＝k＋1时，结论也成立．
根据(1)和(2)可知，对任意的n∈N＋，an＋1＜an.
利用贝努利不等式证明不等式
【例3】 设n为正整数，记an＝，n＝1,2,3，….求证：an＋1[精彩点拨] 用求商比较法证明an＋1[自主解答] 由an的意义知对一切n＝1,2,3，…都成立．
∴只需证明>1，n＝1,2,3，….
由于＝＝×
＝×＝×
＝×，
因此，根据贝努利不等式，
有>×
>×
＝×＝1.
∴an>an＋1
对于一切正整数n都成立．
本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立．
3．设a为有理数，x>－1.如果0[证明] 0≤＝＝1＋x＝1＋ax，当且仅当1＋x＝1，
即x＝0时，等号成立．
放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用
[探究问题]
1．用数学归纳法证明不等式时，如何利用放缩法？
[提示] 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考虑．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：
舍去或加上一些项：＋＞；
将分子或分母放大(缩小)：＜，＞，
＜，＞(k∈R，k＞1)等．
【例4】 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．
[精彩点拨] ?
?
[自主解答] (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，
所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2>k2(k∈N＋)．
当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2
＝2(2k＋2)－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.(因为k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)
所以2k＋1＋2>(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．
1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．
2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．
4．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.
[证明] (1)当n＝2时，由x≠0，知
(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，
因此n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，
即(1＋x)k＞1＋kx，
则当n＝k＋1时，
(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2
＞1＋(k＋1)x.
即n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.
不等式中的探索、猜想、证明
[探究问题]
2．利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是什么？
[提示] 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时．
【例5】 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
[精彩点拨] 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．
[自主解答] 当n＝1时，＋＋>，
则>，∴a<26.
又a∈N＋，∴取a＝25.
下面用数学归纳法证明＋＋…＋>.
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，＋＋…＋>，
∴当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋
>＋.
∵＋＝>，
∴＋－>0，
∴＋＋…＋>也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，
都有＋＋…＋>，
∴a的最大值为25.
1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．
2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是＋＋－，这一点必须清楚．
5．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．
[解] 假设g(n)存在，那么当n＝2时，
由a1＝g(2)(a2－1)，
即1＝g(2)，∴g(2)＝2；
当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，
即1＋＝g(3)，
∴g(3)＝3，
当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，
即1＋＋
＝g(4)，
∴g(4)＝4，
由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．
(1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2×＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，
那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak
＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1
＝(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1)，
说明当n＝k＋1时，结论也成立，
由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．
1．用数学归纳法证不等式：1＋＋＋…＋＞成立，起始值至少取( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] 左边等比数列求和Sn＝＝2＞，
即1－＞，＜，
∴＜，∴n＞7，
∴n取8，选B.
[答案] B
2．用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5，n∈N＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )
A．假设n＝k时命题成立
B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立
C．假设n＝k(k≥5)时命题成立
D．假设n＝k(k>5)时命题成立
[解析] 由题意知n≥5，n∈N＋，
故应假设n＝k(k≥5)时命题成立．
[答案] C
3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( )
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，但减少了一项
D．以上各种情况均不对
[解析] ∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋，
∴增加了两项，，
少了一项.
[答案] C
4．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”时，第一步的验证为________．
[解析] 当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，
即4≥4成立．
[答案] 21＋1≥12＋1＋2
5．试证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．
[证明] (1)当n＝1时，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即
1＋＋＋…＋<2.
那么n＝k＋1时，
＋
<2＋＝
< ＝2.
这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)可知，不等式对n∈N＋成立．
课件58张PPT。第三章 数学归纳法与贝努利不等式3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
3.2.1 用数学归纳法证明不等式
3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式放缩法比较法分析法综合法x＝0 数学归纳法证明不等式利用数学归纳法比较大小 利用贝努利不等式证明不等式 放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用 放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．利用数学归纳法证明不等式“n2<2n对于n≥n0的正整数n都成立 ”时，n0应取值为( )
A．1 B．3
C．5 D．7
[解析] 12<21,22＝22,32>23,42＝24,52<25，利用数学归纳法验证n≥5，故n0的值为 5.
[答案] C
2．对于不等式(1)当n＝1时，<1＋1, 不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
[答案] D
3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述记录，可推测出一般结论( )
A．f(2n)> B．f(n2)≥
C．f(2n)≥ D．以上都不对
[解析] ∵f(2)＝；f(4)>2，即f(22)>；f(8)>，即f(23)>；f(16)>3，即f(24)>；f(32)>，即f(25)>.故猜想f(2n)>.
[答案] C
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，有f(k)满足：当“f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k＜5，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)＜49成立，则当k≥8，均有f(k)＜k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4，均有f(k)≥k2成立
[解析] 由题意，设f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立．”
因此，对于A，不一定有k＝1,2时成立．
对于B，C显然错误．
对于D，∵f(4)＝25＞42，因此对于任意的k≥4，
有f(k)≥k2成立．
[答案] D
5．对于正整数n，下列说法不正确的是( )
A．3n≥1＋2n B．0.9n≥1－0.1n
C．0.9n＜1－0.1n D．0.1n≥1－0.9n
[解析] 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx(x≥－1，n∈N＋)，
当x＝2时，(1＋2)n≥1＋2n，A正确．
当x＝－0.1时，(1－0.1)n≥1－0.1n，B正确，C不正确．
当x＝0.9时，(1－0.9)n≥1－0.9n，因此D正确．
[答案] C
二、填空题
6．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出________．
[答案] 1＋＋＋…＋<(n≥2，n∈N＋)
7．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．
[解析] ∵f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
[答案] f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
8．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．
[解析] 由a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，得a2＝，
a3＝，a4＝.由1×3,3×5,5×7,7×9，…，可得an＝＝.
[答案] an＝
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)．
(1)判断是否为等差数列，并证明你的结论；
(2)证明：S＋S＋…＋S≤－.
[解] (1)S1＝a1＝，∴＝2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.
∴－＝2.
故是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)证明：①当n＝1时，S＝＝－，不等式成立．
②假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立，
则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－
＝－·<－·＝－.
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，对任意n∈N＋不等式成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(n∈N＋)．
[证明] 由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1.
因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)．
(1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，不等式成立，即ak≥2k－1.
当n＝k＋1时，
ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1.
又k≥1，∴22k≥2k＋1，
∴n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意n∈N＋，an≥2n－1成立．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N＋)的过程，由n＝k到n＝k＋1时，左边增加了( )
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
[解析] 1＋＋＋…＋－＝＋＋＋…＋，
∴共增加2k项．
[答案] D
2．若不等式＋＋…＋＞对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为( )
A．12 B．13
C．14 D．不存在
[解析] 令f(n)＝＋＋…＋，
易知f(n)是单调递增的．
∴f(n)的最小值为f(2)＝＋＝.
依题意＞，∴m＜14.
因此取m＝13.
[答案] B
3．设a，b均为正数，n为正整数，已知M＝(a＋b)n，N＝an＋nan－1b，则M，N的大小关系为________________________________
.
[解析] 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx，
令x＝，
∴＞1＋n·，
∴＞1＋n·，即(a＋b)n＞an＋nan－1b.
故M≥N.
[答案] M≥N
4．求证：当n≥1(n∈N＋)时，(1＋2＋…＋n)1＋＋＋…＋≥n2.
[证明] (1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．
当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥2)时，命题成立，
即(1＋2＋…＋k)≥k2，
则当n＝k＋1时，有
左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]1＋＋…＋＋
＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·
＋(k＋1)×＋1
≥k2＋＋1＋(k＋1).
∴当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*)
∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×
＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.
这就是说当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，当n≥1(n∈N＋)时原命题成立．
