[自我校对]
①向量
②代数
利用柯西不等式证明简单不等式
柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征，灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式．
【例1】 已知a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤4.
[精彩点拨] 设m＝(，，)，n＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．
[规范解答] 法一：因为a，b，c是实数，且a＋b＋c＝1，令m＝(，，)，n＝(1,1,1)．
则|m·n|2＝(＋＋)2，
|m|2·|n|2＝3[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]
＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48.
∵|m·n|2≤|m|2·|n|2，
∴()＋＋)2≤48，
∴＋＋≤4.
法二：由柯西不等式得(＋＋)2≤(12＋12＋12)[(13a＋1)＋(13b＋1)＋(13c＋1)]
＝3[13(a＋b＋c)＋3]＝48，
∴＋＋≤4.
1．设正数a，b，c满足abc＝a＋b＋c，求证：ab＋4bc＋9ac≥36，并给出等号成立的条件．
[证明] 由abc＝a＋b＋c，得＋＋＝1.
由柯西不等式，得(ab＋4bc＋9ac)≥(1＋2＋3)2，所以ab＋4bc＋9ac≥36，当且仅当a＝2，b＝3，c＝1时，等号成立.
排序原理在不等式证明中的应用
应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．
【例2】 已知a，b，c为正数，求证：a＋b＋c≤＋＋.
[精彩点拨] 不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2，≥≥，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．
[规范解答] 由于不等式关于a，b，c对称，
可设a≥b≥c>0.于是a2≥b2≥c2，≥≥.
由排序不等式，得反序和≤乱序和，即
a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·，
及a2·＋b2·＋c2·≤a2·＋b2·＋c2·.
以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．
2．在△ABC中，ha，hb，hc为边长a，b，c的高，
求证：asin A＋bsin B＋csin C≥ha＋hb＋hc.
[证明] 不妨设a＞b＞c，则对应的角A＞B＞C，
A，B，C∈(0，π)，
∴sin A＞sin B＞sin C.
由排序原理得
asin A＋bsin B＋csin C≥asin B＋bsin C＋csin A.
在△ABC中，asin B＝hc，bsin C＝ha，csin A＝hb，
∴asin A＋bsin B＋csin C≥ha＋hb＋hc.
利用柯西不等式、排序不等式求最值
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．
【例3】 已知实数x，y，z满足x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是7，求a的值．
[精彩点拨] 由x2＋4y2＋9z2＝x2＋(2y)2＋(3z)2，x＋y＋z＝x＋·2y＋·3z，联想到柯西不等式求解．
[规范解答] 由柯西不等式：
[x2＋(2y)2＋(3z)2]
≥.
因为x2＋4y2＋9z2＝a(a>0)，
所以a≥(x＋y＋z)2，即－≤x＋y＋z≤.
因为x＋y＋z的最大值是7，
所以＝7，得a＝36.
当x＝，y＝，z＝时，x＋y＋z取最大值，
所以a＝36.
3．求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．
[解] 由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]
≥[1×(y－1)＋2×(3－x－y)＋1×(2x＋y－6)]2＝1，
即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥，
当且仅当＝＝，即
x＝，y＝时，上式取等号．
故x＝，y＝时，(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．
【例4】 已知正实数x1，x2，…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P，P为定值，求F＝＋＋…＋＋的最小值．
[精彩点拨] 不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，利用排序不等式求解．
[规范解答] 不妨设0
则≥≥…≥>0，且0∵，，…，，为序列(i＝1,2,3，…，n)的一个排列，根据排序不等式，得F＝＋＋…＋＋
≥x·＋x·＋…＋x·＝x1＋x2＋…＋xn＝P(定值)，
当且仅当x1＝x2＝…＝xn时等号成立，
∴F＝＋＋…＋＋的最小值为P.
4．设x1，x2，…，xn取不同的正整数， 则m＝＋＋…＋的最小值是( )
A．1
B．2
C．1＋＋＋…＋
D．1＋＋＋…＋
[解析] 设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，且满足a1故a1≥1，a2≥2，…，an≥n.
又因为1>>>…>，
所以＋＋＋…＋≥a1＋＋＋…＋
≥1×1＋2×＋3×＋…＋n×＝1＋＋＋…＋.
[答案] C
利用平均值不等式求最值
1.求函数的最值
在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．
2．解决实际问题
由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．
【例5】 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
[精彩点拨] (1)设每件定价为t元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x＞25，此时不等式求解．
[规范解答] (1)设每件定价为t元，
依题意，有t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，
解得25≤t≤40.
∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意，x＞25时，
不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，
等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．
∵＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.
当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
5．若a＞b＞0，则a2＋的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 依题意得a－b＞0，所以a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4，选C.
[答案] C
思想方法
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．
本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．
【例6】 已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥.
[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明．
[规范解答] 左端变形＋1＋＋1＋＋1
＝(a＋b＋c)，
∴只需证此式≥即可．
∵＋＋＋3＝＋＋
＝(a＋b＋c)
＝[(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)]
≥(1＋1＋1)2＝，
∴＋＋≥－3＝.
6．已知a，b，c为正数，求证：
2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
[证明] 不妨设0≤a≤b≤c，则a2≤b2≤c2，
由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，
a2a＋b2b＋c2c≥a2c＋b2a＋c2b.
以上两式相加，得
2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
1．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，
则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，
∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.
[答案] D
2．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．
[解析] 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.
[答案]
3．已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)·(1＋x2＋y)≥9xy.
[证明] 因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3>0,1＋x2＋y≥3>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
4．若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
[解] (1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
5．已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得
(4＋9＋1)≥
＝(a＋b＋c)2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值是.
课件47张PPT。第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用章末复习课利用柯西不等式证明简单不等式 排序原理在不等式证明中的应用 利用柯西不等式、排序不等式求最值 利用平均值不等式求最值 思想方法 Thank you for watching !章末综合测评(二) 柯西不等式与排序不等式及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设xy>0，则的最小值为( )
A．－9 B．9
C．10 D．0
[解析] ≥x·＋·y2＝9.
[答案] B
2．设x，y，m，n均为正数，且＋＝1，则x＋y的最小值是( )
A．m＋n B．4mn
C．(＋)2 D.
[解析] x＋y＝(x＋y)
≥＝(＋)2，
当且仅当nx2＝my2，＋＝1时，等号成立，故x＋y的最小值为(＋)2.
[答案] C
3．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] ∵4(a2＋b2＋c2＋d2)
＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0.故0≤e≤.
[答案] C
4．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花钱数为( )
A．300元 B．360元
C．320元 D．340元
[解析] 由排序原理，反序和最小．
∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元).
[答案] C
5．已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)＋＋的最小值为( )
A．7 B．9
C．12 D．18
[解析] 由(a2＋b2＋c2)≥a·＋b·＋c·2＝9，
所以所求最小值为9.
[答案] B
6．设a，b，c均小于0，且a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( )
A．0 B．1
C．3 D.
[解析] 由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
所以ab＋bc＋ca≤3.
[答案] C
7．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
A．21 B.
C．16 D.
[解析] ∵1＝x＋2y＋4z
≤·，
∴x2＋y2＋z2≥，
即x2＋y2＋z2的最小值为.
[答案] B
8．函数f(x)＝＋cos x，则f(x)的最大值是( )
A． B．
C．1 D．2
[解析] f(x)＝·＋cos x.
又(·＋cos x)2≤(2＋1)(sin2x＋cos 2x)＝3，∴f(x)的最大值为.
[答案] A
9．已知半圆的直径AB＝2R，P是弧AB上一点，则2|PA|＋3|PB|的最大值是( )
A．R B．R
C．2R D．4R
[解析] 由2|PA|＋3|PB|≤
＝＝·2R.
[答案] C
10．已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的大小关系是( )
A．y1y2C．y1y2>x1x2 D．不确定
[解析] 要比较y1y2与x1x2的大小，就是要比较(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)与(a＋b)2x1x2的大小，
而(ax1＋bx2)·(ax2＋bx1)
＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(a＋b)2
＝x1x2(a＋b)2.
而a，b，x1，x2互不相等，所以等号不成立．
[答案] C
11．已知a＋b＋c＝1，且a，b为正数，则＋＋的最小值为( )
A．1 B．3
C．6 D．9
[解析] ∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥(1＋1＋1)2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
[答案] D
12．已知a，b，c为正数，P＝，Q＝abc，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D．P≤Q
[解析] 不妨设a≥b≥c＞0，
则0＜≤≤，0＜bc≤ca≤ab，
由排序原理：
顺序和≥乱序和，得
＋＋≥＋＋，
即≥a＋b＋c，
即≥abc，所以P≥Q.
[答案] B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．设a≥b＞0，则a3＋b3与a2b＋ab2的大小关系是________．
[解析] ∵a≥b＞0，
∴a2≥b2＞0，
因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式)．
[答案] a3＋b3≥a2b＋ab2
14．已知a，b，x，y均为正数，且ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋by)·(bx＋ay)的最小值为________．
[解析] (ax＋by)(bx＋ay)≥(＋·)2＝[2(x＋y)]2＝4.
[答案] 4
15．如图所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．
[解析] 由题图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和可知答案为≥.
[答案] ≥
16．已知x，y，z∈R，有下列不等式：
(1)x2＋y2＋z2＋3≥2(x＋y＋z)；
(2)≥；
(3)|x＋y|≤|x－2|＋|y＋2|；
(4)x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx.
其中一定成立的不等式的序号是________．
[解析] x2＋y2＋z2＋3＝(x2＋1)＋(y2＋1)＋(z2＋1)≥2x＋2y＋2z，故(1)正确；
≥成立的前提是x≥0，y≥0，故(2)不正确；
|x＋y|＝|(x－2)＋(y＋2)|≤|x－2|＋|y＋2|，故(3)正确；
由排序不等式知x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，故(4)正确．
[答案] (1)(3)(4)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，试证：≤＜.
[证明] 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得
aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝
π(a＋b＋c)，
得≥， ①
又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋b－c，有
0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜. ②
由①②得原不等式成立．
18．(本小题满分12分)已知a，b，c均大于0，且＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．
[解] 法一(使用基本不等式)：
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
＝
≥×(14＋4＋6＋12)
＝18，
当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．
所以当a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.
法二(使用柯西不等式)：
(a＋2b＋3c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥＝36，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
又＋＋＝2，则a＋2b＋3c≥18，
所以a＝b＝c＝3时，a＋2b＋3c取得最小值18.
19．(本小题满分12分)若a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值；
(2)证明：＋＋≥.
[解] (1)因为a，b，c为正数，所以2＝a＋b＋c≥
3，故abc≤.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为.
(2)证明：因为a，b，c为正数，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得
＋＋＝(a＋b＋c)·
＝[()2＋()2＋()2]
×
≥＝.
所以＋＋≥.
20．(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足5x＋4y＋3z＝10.
(1)求证：＋＋≥5；
(2)求9x2＋9y2＋z2的最小值．
[解] (1)证明：根据柯西不等式，得
[(4y＋3z)＋(3z＋5x)＋(5x＋4y)]·
≥(5x＋4y＋3z)2，
因为5x＋4y＋3z＝10，
所以＋＋≥＝5.
(2)根据平均值不等式，得
9x2＋9y2＋z2≥2＝2·3x2＋y2＋z2，
当且仅当x2＝y2＋z2时，等号成立．
根据柯西不等式，得
(x2＋y2＋z2)(52＋42＋32)≥(5x＋4y＋3z)2＝100，
即(x2＋y2＋z2)≥2，
当且仅当＝＝时，等号成立．
综上所述，9x2＋9y2＋z2≥2·32＝18.
当且仅当x＝1，y＝，z＝时，等号成立，
所以9x2＋9y2＋z2的最小值为18.
21．(本小题满分12分)(1)已知a，b为正数，a＋b＝4，证明：＋≥1；
(2)已知a，b，c为正数，a＋b＋c＝9，证明：＋＋≥1，并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)．
[证明] (1)根据柯西不等式：
(a＋b)≥＝4.
∵a＋b＝4，
∴＋≥1.
(2)根据柯西不等式：
(a＋b＋c)
≥＝9.
∵a＋b＋c＝9，
∴＋＋≥1.
可以推广：若a1＋a2＋…＋an＝n2，
则＋＋…＋≥1.
22．(本小题满分12分)设a1，a2，…，an为1,2，…，n的一个排列，证明：＋＋…＋≤＋＋…＋.
[证明] 设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，且b1c1，c2，…，cn－1为a1，a2，…，an－1的一个排列，且c1于是>>…>.
由乱序和≥反序和得
＋＋…＋≥＋＋…＋.
∵b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，
cn－1≤n，
∴＋＋…＋≥＋＋…＋.
故＋＋…＋
≤＋＋…＋.
