1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
1.1.1 不等式的基本性质
1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法
学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系，掌握比较两个实数大小的方法.2.理解不等式的性质，能够运用不等式的性质比较大小.3.掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法．
教材整理1 不等式的性质
1．对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
a>b?a－b>0；a
2．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c.
(3)加(减)：a>b?a＋c>b＋c.
(4)乘(除)：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac(5)乘方：a>b>0?an>bn，其中n为正整数，且n≥2.
(6)开方(取算术根)：a>b>0?>，其中n为正整数，且n≥2.
(7)可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d.
(8)可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd.
若a，b是任意实数，且a>b，则( )
A．a2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D.<
[解析] a>b并不能保证a，b均为正数，从而不能保证A，B成立．又a>b?a－b>0，但不能保证a－b>1，从而不能保证C成立．显然D成立．事实上，指数函数y＝是减函数，所以a>b?<成立．
[答案] D
教材整理2 一元一次不等式的解法关于x的不等式ax>b，
(1)当a>0时，该不等式的解集为；
(2)当a<0时，该不等式的解集为；
(3)当a＝0时，若b<0，则该不等式的解集为R；若b≥0，则该不等式的解集为.
不等式组的解集是{x|x＞2}，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m≥2
C．m≤1 D．m≥1
[解析] 原不等式组可化为∵解集为{x|x＞2}，∴m＋1≤2，
∴m≤1.
[答案] C
教材整理3 一元二次不等式的解法
形如ax2＋bx＋c>0(a>0)的解法：
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不等的实根x1，x2且x1有两个相等的实根x1，x2且x1＝x2
无实根
ax2＋bx＋c >0(a>0)的解集
{x|xx2}
R
ax2＋bx＋c <0(a>0) 的解集
{x|x1不等式－x2＋5x－6>0的解集是( )
A．{x|2B．{x|x<2或x>3}
C．{x|－1D．{x|x<－1或x>6}
[解析] 原不等式可化为x2－5x＋6<0，即(x－2)(x－3)<0，所以原不等式的解集为{x|2[答案] A
比较大小
【例1】 (1)已知x>3，比较x3＋3与3x2＋x的大小；
(2)若m>0，试比较mm与2m的大小．
[精彩点拨] (1)只需考查两者的差同0的大小关系；
(2)注意到2m>0，可求商比较大小，但要注意到用函数的性质．
[自主解答] (1)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)
＝(x－3)(x＋1)(x－1)．
∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0，
∴x3＋3>3x2＋x.
(2)＝，
当m＝2时，＝1，此时mm＝2m；
当0当m>2时，>1，>1，∴mm>2m.
1．利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为差的符号问题．作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要．
2．在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．作差法变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．
3．利用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步．
1．已知A＝＋，B＝，其中x，y为正数，试比较A与B的大小．
[解] A－B＝＋－
＝－＝＝.
∵x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0，
∴A－B≥0，即A≥B.
利用不等式的性质求范围
【例2】 设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，在求f(－2)的取值范围时有如下解法：
由得
∴3≤f(－2)＝4a－2b≤12.上述解法是否正确？为什么？
[精彩点拨] 本题错在多次运用同向不等式相加(单向性)这一性质上，导致f(－2)的范围扩大．因此需要将f(－2)用a－b与a＋b整体表示．
[自主解答] 给出的解法不正确．
设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a－(m－n)b.
于是解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10.
因此，f(－2)的取值范围是[5,10]．
1．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．
2．先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径．
2．已知－6[解] ∵－6∴－3<－b<－2，∴－9则a－b的取值范围是(－9,6)．
又<<，
(1)当0≤a<8时，0≤<4；
(2)当－6由(1)(2)得－3<<4.
因此的取值范围是(－3,4)．
一元二次不等式的解法
【例3】 解下列关于x的一元二次不等式．
(1)3x2＋5x－2>0；(2)9x2－6x＋1>0；
(3)x2－4x＋5>0.
[精彩点拨] 先由不等式确定对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，再根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象确定不等式的解集．
[自主解答] (1)方程3x2＋5x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝，函数y＝3x2＋5x－2的图象开口向上，与x轴交于两个点 (－2,0)，，观察图象可得不等式3x2＋5x－2>0的解集为x或x<－2.
(2)方程9x2－6x＋1＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝，二次函数y＝9x2－6x＋1的图象开口向上，与x轴仅有一个交点，观察图象可以得到不等式9x2－6x＋1>0的解集为.
(3)方程x2－4x＋5＝0可化为(x－2)2＋1＝0，故方程x2－4x＋5＝0没有实数根，函数y＝x2－4x＋5的图象开口向上并且与x轴没有交点，由图象可得，不等式x2－4x＋5>0的解集为R.
当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可以分为三步：
(1)确定对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(3) 由图象得出不等式的解集．
3．不等式x2＋x－2≤0的解集为________．
[解析] 方程x2＋x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝1，
函数y＝x2＋x－2的图象开口向上，
∴不等式x2＋x－2≤0的解集为[－2,1]．
[答案] [－2,1]
含参数的一元二次不等式的解法
【例4】 解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1＜0.
[精彩点拨] 由于a∈R，故分a＝0，a＞0，a＜0讨论．
[自主解答] 若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，
即x＞1.
若a＜0，原不等式可化为(x－1)＞0，
即x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式可化为(x－1)＜0.(*)
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈；
(2)当a＞1时，由(*)式可得＜x＜1；
(3)当0＜a＜1时，由(*)式可得1＜x＜.
综上所述：当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为；
当a＞1时，解集为.
解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．
4．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，
∴当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，解集为{x|x≠0}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，解集为{x|x≠1}；
当a>1时，aa2}．
综上所述：
当a<0或a>1时，解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，解集为{x|x≠1}．
一元二次不等式的应用
【例5】 设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两个实数根x1，x2且0[精彩点拨] 若把方程左边看成二次函数f(x)，则它的图象是开口向上的抛物线，与x轴相交的条件是f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，所以只需解关于a的不等式组，即可求出a的取值范围．
[自主解答] 设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
∵x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，且0∴有即
∴有∴有
∴有－2∴a的取值范围是{a|－2解关于二次方程根的分布问题，应考虑“三个二次”的关系，分清对应的二次函数的开口方向及根所在区域的范围，画出对应的二次函数的图象，根据图象列出有关的不等式或不等式组进行求解．
5．一个服装厂生产风衣，日销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件的成本R＝500＋30x元．
(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？
[解] (1)由题意知，日利润y＝px－R，
即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，
由日利润不少于1 300元．
得－2x2＋130x－500≥1 300，
即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.
故当该厂日产量在20～45件时，
日利润不少于1 300元．
(2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500
＝－2＋，
由题意知，x为正整数．
故当x＝32或33时，y最大为1 612.
所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元．
可化为一元二次不等式的分式不等式的解法
【例6】 解不等式：≤2.
[精彩点拨] 把不等式转化为≥0求解．
[自主解答] ∵≤2，∴－2≤0，
即≤0，
∴≥0，
∴∴x＜2或x≥5.
即原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式?组?求解.即≥0?
6．不等式＜0的解集为( )
A．{x|1＜x＜2}
B．{x|x＜2且x≠1}
C．{x|－1＜x＜2且x≠1}
D．{x|x＜－1或1＜x＜2}
[解析] 因为不等式＜0，
等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0，
所以该不等式的解集是{x|x＜－1或1＜x＜2}．
[答案] D
不等式的性质及恒成立问题
[探究问题]
1．甲同学认为a>b?<，乙同学认为a>b>0?<，丙同学认为a>b，ab>0?<，请你思考一下，他们谁说的正确？
[提示] 它们的说法都不正确．设f(x)＝，则f(a)＝，f(b)＝，可以利用函数f(x)＝的图象比较f(a)与f(b)的大小．
2．不等式两边同时乘以(或除以)一个数时，要注意什么？
[提示] 要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以)这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变．
3．ax2＋bx＋c>0对一切x∈R都成立的充要条件是什么？
[提示] 或
【例7】 若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈R都成立，求实数a的取值范围．
[精彩点拨] 设f(x)＝x2＋ax＋1，只要f(x)的图象全部位于x轴上方，只要顶点在x轴上或x轴上方即可．
[自主解答] ∵Δ＝a2－4≤0，∴－2≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－2,2]．
7．把上述例题中“x∈R”改为x∈，求a的取值范围．
[解] 法一：x2＋ax＋1≥0，x∈可化为
－a≤＝x＋，设f(x)＝x＋，x∈，
∴－a≤f(x)min.
∵f(x)在上是减函数，
∴f(x)min＝f＝，
∴－a≤，a≥－，
∴a的取值范围是.
法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝－.
当－≥，即a≤－1时，f(x)在上是减函数，应有f≥0?－≤a≤－1；
当－≤0，即a≥0时，f(x)在上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0；
当0<－<，即－1综上，有a≥－.
∴a的取值范围是.
1．若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．MC．M＝N D．不能确定
[解析] M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)
＝(x－2)2＋(y＋1)2.
∵x≠2且y≠－1，∴x－2≠0且y＋1≠0，
∴(x－2)2＋(y＋1)2>0，故M>N.
[答案] A
2．已知函数f(x)＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值( )
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
[解析] x1＋x2<0?x1<－x2.
又∵f(x)＝x＋x3为奇函数，且在R上递增，
∴f(x1)即f(x1)＋f(x2)<0.
同理：f(x2)＋f(x3)<0，f(x1)＋f(x3)<0.
以上三式相加，
整理得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
[答案] B
3．已知－≤α＜β≤，则的范围是________．
[解析] ∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
∴－≤－＜，
∴－≤＜.
又∵α＜β，∴＜0，
∴－≤＜0.
[答案]
4．关于x的不等式0≤x2－x－2≤4的解集为________．
[解析] 先解x2－x－2≥0.
∵方程x2－x－2＝0的根为x1＝－1，x2＝2，
∴x2－x－2≥0的解集为{x|x≤－1或x≥2}．
再解x2－x－2≤4.
∵方程x2－x－2＝4的两根为x1＝－2，x2＝3，
∴x2－x－2≤4的解集为{x|－2≤x≤3}．
∴原不等式的解集为
{x|x≤－1，或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}
＝{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}．
[答案] {x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}
5．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，求实数a的取值范围．
[解] y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；
y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．
又x2＋4x－(4x－x2)＝2x2≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
∴f(2－a2)>f(a)?2－a2>a?a2＋a－2<0?－2课件68张PPT。第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法
1.1.1 不等式的基本性质
1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法a－b＝0a－b>0a－b<0bc a＋c>b＋c ac>bc ac(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，则UM＝( )
A．{x|－1≤x≤3} B．{x|－3≤x≤1}
C．{x|x＜－3或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞3}
[解析] 法一：因为M＝{x|－1≤x≤3}，全集U＝R，
所以UM＝{x|x＜－1或x＞3}．
法二：因为M＝{x|x2－2x－3≤0}，所以
UM＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}．
[答案] D
2．设a＞1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，
p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为( )
A．n＞m＞p B．m＞p＞n
C．m＞n＞p D．p＞m＞n
[解析] 当a＞1时，
∵a2＋1－2a＝(a－1)2＞0，
∴a2＋1＞2a.
∵2a－(a－1)＝a＋1＞0，∴2a＞a－1，
∴a2＋1＞2a＞a－1.
∵函数y＝logax(a＞1)单调递增，
∴m＞p＞n.
[答案] B
3．关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值的和是( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[解析] 方程x2－ax－20a2＝0的两根是x1＝－4a，x2＝5a，由关于x的不等式x2－ax－20a2＜0任意两个解的差不超过9，得|x1－x2|＝|9a|≤9，
即－1≤a≤1.
[答案] C
4．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
[解析] 由题意得
解得a＝－1，c＝－2，f(x)＝－x2－x＋2，
则函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2.故方选C.
[答案] C
5．若a>b>0，则下列各式中恒成立的是( )
A．> B．>
C．a＋>b＋ D．aa>bb
[解析] 选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可知选项A不成立．利用不等式的性质可知，当a>b>0时，<，由此可知，选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a>b>0，则aa＝bb，故选项D不恒成立．
[答案] B
二、填空题
6．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出<成立的有________．
[解析] <?－<0?<0，
∴①②④可推出<成立．
[答案] ①②④
7．已知x＝1是不等式k2x2－6 kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．
[解析] 由题意知，k2－6k＋8≥0，
即(k－2)(k－4)≥0，
∴k≥4或k≤2，又∵k≠0，
∴k的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)．
[答案] (－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)
8．已知方程x2＋(2m－3)x＋m2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m的取值范围为________．
[解析] 设函数f(x)＝x2＋(2m－3)x＋m2－15，
则由题意：
即
∴－1＜m＜5.
[答案] (－1,5)
三、解答题
9．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定？
[解] 设销售量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意得，70×(100－10R)·R%≥112，
整理得，R2－10R＋16≤0，
解得2≤R≤8.
答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税税金不少于112万元．
10．已知π＜α＋β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的取值范围．
[解] 设2α－β＝A(α＋β)＋B(α－β)，
则2α－β＝(A＋B)α＋(A－B)β.
比较两边系数得?
∴2α－β＝(α＋β)＋(α－β)．
∵＜(α＋β)＜π，
－＜(α－β)＜－，
∴－π＜2α－β＜.
故2α－β∈.
[能力提升练]
1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)
[解析] 把不等式的左端看成关于a的一次函数，
记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，
则f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，
有f(－1)＝x2－5x＋6＞0， ①
且f(1)＝x2－3x＋2＞0， ②
联立①②解得x＜1或x＞3.故选C.
[答案] C
2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 由已知可组成三个命题．
①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0，此命题正确，
只需在不等式bc－ad＞0两侧同除以ab，根据不等式性质，整理即得结论；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0，此命题正确，只需在不等式－＞0两侧同乘以ab，
根据不等式性质，整理即得结论；
③若－＞0，bc－ad＞0，则ab＞0，此命题正确，因为－＞0?＞0，
又因为bc－ad＞0，故ab＞0.
[答案] D
3．若不等式－x2＋2x－m＞0在x∈[－1,0]上恒成立，则m的取值范围是________．
[解析] 由m＜－x2＋2x知m只需小于u＝－x2＋2x，x∈[－1,0]的最小值即可．
又∵u在[－1,0]上递增，∴umin＝－1－2＝－3，∴m＜－3.
[答案] (－∞，－3)
4．不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
[解] (1)∵ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
∴x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两实根，且b>1，
∴∴
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，即x2－(2＋c)x＋2c<0，∴(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2②当c<2时，(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c③当c＝2时，(x－2)(x－c)<0的解集为.
