1.2 基本不等式
学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题．
教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式)
1．定理1
设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．定理2
如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式．同时，我们称为正数a，b的算术平均值，称为正数a，b的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．
3．定理3
如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
4．定理4
如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
设0
A．aC．a<[解析] ∵00，即>a，故选B.
[答案] B
利用基本不等式证明不等式
【例1】 已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
[精彩点拨] 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．
[自主解答] ∵a>0，b>0，c>0，
∴＋b≥2＝2a，
同理：＋c≥2b，＋a≥2c.
三式相加得：
＋＋＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，
∴＋＋≥a＋b＋c.
1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明．
2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
[证明] (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，
故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
＝
＝＋＋.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24，
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
利用基本不等式求最值
【例2】 (1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求＋的最小值；
(2)已知x>0，y>0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值．
[精彩点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．
[自主解答] (1)因为x＋2y＝1，
所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，x＋2y＝1，即
x＝－1，y＝1－时，等号成立．
所以当x＝－1，y＝1－时，＋取最小值3＋2.
(2)xy＝(5x·7y)≤
＝＝，
当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝时，等号成立，此时xy取最大值.
在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．
2．若将本例(1)的条件改为“已知x>0，y>0，且＋＝1”，试求x＋y的最小值．
[解] ∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当＝，
即y＝3x时等号成立．
又＋＝1，
∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
基本不等式的实际应用
【例3】 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？
[精彩点拨] (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值．
[自主解答] (1)依题意得m＝0时，x＝1，代入x＝3－，得k＝2，即x＝3－.
年成本为8＋16x＝8＋16(万元)，
所以y＝(1.5－1)－m
＝28－m－(m≥0)．
(2)由(1)得y＝29－≤
29－2＝21.
当且仅当m＋1＝，即m＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．
3．某工厂建一底面为矩形(如图)，面积为162 m2，且深为1 m的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16 m，如果池外围四壁建造单价为400 元/m2，中间两条隔墙建造单价为248 元/m2，池底建造单价为80 元/m2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．
[解] 设污水池的宽为x m，则长为m，则总造价
f(x)＝400×＋248×2x＋80×162
＝1 296x＋＋12 960＝1 296＋12 960.
由限制条件，知得≤x≤16.
设g(x)＝x＋，
因为g(x)在上是增函数，
所以当x＝时，g(x)有最小值，
即f(x)有最小值，f(x)min＝1 296×＋12 960＝38 882(元)．
所以当长为16 m，宽为 m时，
总造价最低，为38 882元.
基本不等式的特点
[探究问题]
1．在基本不等式≥中，为什么要求a>0，b>0?
[提示] 对于不等式≥，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．
2．你能给出基本不等式的几何解释吗？
[提示] 如图，以a＋b为直径的圆中，DC＝，且DC⊥AB.
因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为，根据半弦长不大于半径，得不等式≤.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．
3．利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？
[提示] 利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值．
(1)已知x，y∈(0，＋∞)，如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y∈(0，＋∞)，如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．
【例4】 求下列函数的值域．
(1)y＝；(2)y＝.
[精彩点拨] 把函数转化为y＝ax＋或y＝的形式，再利用基本不等式求解．
[自主解答] (1)y＝＝，当x＞0时，
x＋≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋≥2，x＋≤－2，∴y≤－1，综上函数y＝的值域为{y|y≤－1或y≥1}．
(2)当x＞0时，y＝＝.
因为x＋≥2，所以0＜≤，
所以0＜y≤1，当且仅当x＝1时，等号成立；
当x＜0时，x＋≤－2，
所以0＞≥－，
所以－1≤y＜0，当且仅当x＝－1时，等号成立；
当x＝0时，y＝0.
综上，函数y＝的值域为{y|－1≤y≤1}．
形如y＝型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为y＝t＋＋C(P，C为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t的取值范围．
4．求函数y＝(x＞1)的最小值．
[解] 因为x＞1，所以x－1＞0.
所以y＝＝＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，
即x＝4时，等号成立．
所以当x＝4时，ymin＝8.
1．函数y＝＋x(x>3)的最小值是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析] 原式变形为y＝＋x－3＋3.
∵x>3，∴x－3>0，∴>0，
∴y≥2＋3＝5，
当且仅当x－3＝，即x＝4时等号成立．
[答案] A
2．下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x＋
B．y＝sin x＋(0＜x＜π)
C．y＝3x＋4×3－x
D．y＝lg x＋4logx10
[解析] A项，当x＜0时，y＝x＋＜0，故A项错误；B项，当0＜x＜π时，sin x＞0，∴y＝sin x＋≥2＝4，当且仅当sin x＝，即sin x＝2时取等号，但sin x≤1，B项错误；C项，由指数函数的性质可得3x＞0，所以y＝3x＋4·3－x≥2＝4，当且仅当3x＝2，即x＝log32时取得最小值4，故C项正确；D项，当0＜x＜1时，lg x＜0，logx10＜0，所以y＝lg x＋4logx10＜0，故D项错误．
[答案] C
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C．＋> D．＋≥2
[解析] A选项中，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，则排除A；当a<0，b<0时，a＋b<0<2，＋<0<，则排除B，C选项；D选项中，由>0，>0，得＋≥2 ＝2，当且仅当a＝b时取“＝”，所以选D.
[答案] D
4．不等式＋>2成立的充要条件是________．
[解析] 由＋>2，知>0，即ab>0，
又≠，∴a≠b.
因此＋>2的充要条件是ab>0且a≠b.
[答案] ab>0且a≠b
5．(2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
[解] (1)由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.
(2)证明：由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]
≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
由题设知≥，
解得a≤－3或a≥－1.
课件52张PPT。第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法1.2 基本不等式
≥a＝b正≥＝算术几何大于或等于正数 a＝b＝c 正数 ≥ 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 基本不等式的特点点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二) 基本不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有( )
A.≥ B.＋≥1
C.≥2 D.≤
[解析] 4≥a＋b≥2，∴≤2，
∴≥，＋≥2≥1.
[答案] B
2．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2 B.
C．1 D.
[解析] 因为x，y∈R，a＞1，b＞1，且ax＝by＝3，a＋b＝2，
所以x＝loga3，y＝logb3，＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)，由均值定理，ab≤＝3，
故＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log33＝1.
[答案] C
3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
[解析] 由题意，知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，故a＋b＝1.
因为a＞0，b＞0，所以＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．
[答案] B
4．已知m＝a＋＋1(a＞0)，n＝3x(x＜1)，则m，n之间的大小关系是( )
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m≤n
[解析] 因为a＞0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时，等号成立．
又因为x＜1，所以n＝3x＜31＝3，所以m＞n.
[答案] A
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
[解析] 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批应生产产品80件，故选B.
[答案] B
二、填空题
6．已知x＜，则函数y＝4x＋的最大值为________．
[解析] 因为x＜，所以4x－5＜0，所以5－4x＞0.
所以y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5
＝－＋5
≤－2＋5＝3，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，y取最大值，即ymax＝3.
[答案] 3
7．设点P(x，y)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2x＋log2y的最大值是________．
[解析] 要求log2x＋log2y的最大值，即求log2(xy)的最大值，应先求xy的最大值．显然当x＝y＝时，xy的最大值为，故log2x＋log2y的最大值为－2.
[答案] －2
8．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．
[解析] 因为y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，
所以A(－2，－1)．因为A在直线上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.又因为mn＞0，所以m＞0，n＞0.又因为＋＝＋＝2＋＋2＋≥4＋2＝8，当n＝，m＝时，等号成立，所以＋的最小值为8.
[答案] 8
三、解答题
9．已知a，b都是正数，且a＋b＝1，
(1)求证：＋≥4；
(2)求＋的最小值．
[解] (1)证明：＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.
(2)＋≥2·，即＋2≥.又∵≥得0＜ab≤，即≥4，∴1＋≥5，∴＋≥，当且仅当a＝b＝上式等号成立．
10.如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
[解] 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，.
其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)＝18 000，
由此得y＝＋25，
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
整理得S＝＋25(x－20)＋18 500.
因为x－20>0，
所以S≥2＋18 500＝24 500.
当且仅当＝25(x－20)时等号成立，
此时有(x－20)2＝14 400(x>20)，
解得x＝140，代入y＝＋25，
得y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
[能力提升练]
1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．5
[解析] ＋＋2＝＋2，
因为a＞0，b＞0，
所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．
所以＋2≥＋2＝
2≥2×2＝4，当且仅当＝时，等号成立．
综上所述，a＝b＝1时，取等号．
[答案] C
2．如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )
A.π B.π
C.π D.π
[解析] l＝4r＋2h，即2r＋h＝，
V＝πr2h≤π＝π.
当且仅当r＝h＝时等号成立．
[答案] A
3．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值为________．
[解析] 由a＞0，b＞0，＋＋≥0，得k≥－.又因为＝＋＋2≥4(a＝b时，取等号)，所以－≤－4.因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值为－4.
[答案] －4
4．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．
[解] (1)设AN＝x米(x>2)，则ND＝(x－2)米．
由题意，得＝.
∴＝，∴AM＝，
∴S矩形AMPN＝·x>32，
∴3x2－32x＋64>0，
∴(3x－8)(x－8)>0，
∴28，
∴AN的长的范围是∪(8，＋∞)．
(2)S矩形AMPN＝＝
＝3(x－2)＋＋12≥2＋12＝24，
当且仅当x＝4时取“＝”．
∴当AN的长度为4米时，矩形AMPN的面积最小，矩形AMPN的最小面积为24平方米．
