1.3 绝对值不等式的解法
1.3.1 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
1.3.2 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
学习目标：1.理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.
教材整理1 绝对值不等式|x|
a的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|{x|－a|x|>a
{x|x>a，或x<－a}
{x∈R|x≠0}
R
不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )
A． B．(－∞，0)∪
C． D．
[解析] 原不等式等价于
解得x<且x≠0，
即x∈(－∞，0)∪.
[答案] B
教材整理2 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
1．|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
2．|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
[解析] 由1＜|x＋1|＜3，得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，∴0＜x＜2或－4＜x＜－2，
∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．
[答案] D
教材整理3 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
1．利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．利用零点分段法求解．
3．构造函数，利用函数的图象求解．
|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法
【例1】 解下列不等式．
(1)1＜|x－2|≤3；
(2)|2x＋5|＞7＋x；
(3)≤.
[精彩点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b|＞c(c＞0)或|ax＋b|＜c(c＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．
(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．
[自主解答] (1)法一：原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x＜1或3＜x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
法二：原不等式可转化为：
①或②
由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，
所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．
(2)由不等式|2x＋5|＞7＋x，
可得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－(7＋x)，
整理得x＞2或x＜－4.
所以原不等式的解集是{x|x＜－4或x＞2}．
(3)①当x2－2＜0且x≠0，即当－＜x＜，
且x≠0时，原不等式显然成立．
②当x2－2＞0时，
原不等式与不等式组等价，
x2－2≥|x|
即|x|2－|x|－2≥0，所以|x|≥2，
所以不等式组的解为|x|≥2，即x≤－2或x≥2.
所以原不等式的解集为
(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．
形如|f(x)|＞g(x)的不等式可借助|ax＋b|＞c的解法，转化为f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x)，当然|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)．如果f(x)的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值符号．
1．解下列不等式．
(1)x＋|2x－1|<3；
(2)|1－2x|≤3.
[解] (1)原不等式可化为
或
解得≤x<或－2所以原不等式的解集是.
(2)原不等式化为|2x－1|≤3，得－3≤2x－1≤3，
从而－2≤2x≤4，得解集为{x|－1≤x≤2}．
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
【例2】 解不等式|x＋2|＋|x－1|≤4.
[精彩点拨] 在数轴上与－2,1对应的点把数轴分成三部分，在每一部分里分别讨论不等式的解，然后把所求得三个集合取并集；也可以利用绝对值几何意义求解，另外还可以构造函数通过数形结合求得．
[自主解答] 法一(零点分段讨论法)：
(1)x≤－2时，|x＋2|＋|x－1|≤4?－2－x＋1－x≤4?－2x≤5
?x≥－，
∴－≤x≤－2；
(2)－2＜x＜1时，|x＋2|＋|x－1|≤4?x＋2＋1－x≤4?－1≤0，
∴－2＜x＜1；
(3)x≥1时，|x＋2|＋|x－1|≤4?x＋2＋x－1≤4?2x≤3?x≤，
∴1≤x≤.
因此原不等式的解集为∪(－2,1)∪＝.
法二(几何法)：
x为不等式|x＋2|＋|x－1|≤4的解?x是与数轴上的点A(－2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点．
A，B两点的距离为3，因此线段AB上任何一点到A，B距离之和都等于3，因此都是原不等式的解，但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到A，B距离之和为4的点．
如图，我们将B向右移动个单位至点B1，此时B1与A及B距离之和增加1个单位，同理我们将A点向左移动个单位到A1，这时A1与A及B距离之和也增加一个单位，从数轴上可以看到A1与B1之间的任何点(包括点A1和B1)到A，B的距离之和均小于等于4，而当x＜－或x＞时，x与A，B两点的距离之和都大于4.
因而原不等式的解集为.
法三(图象法)：
将原不等式转化为|x＋2|＋|x－1|－4≤0.
构造函数y＝|x＋2|＋|x－1|－4，即y＝
作出函数图象(如图)，当x∈时，y≤0，所以原不等式的解集为.
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式可从以下三个方面去解：
(1)零点分段讨论法
设数轴上与a，b对应的点分别是A，B，以A，B为分界点，将数轴分为三个区间，在这三个区间上，绝对值不等式可以转化为不含绝对值的不等式，分别求解后再求并集．
(2)利用|x－a|的几何意义
|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差．
(3)(构造函数法)数形结合法
通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题关键．
2．解不等式|x＋1|＋|x－2|＜4.
[解] 当x＜－1时，不等式化为－x－1＋2－x＜4，解得－＜x＜－1；
当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋2－x＜4，解得－1≤x≤2；
当x＞2时，不等式化为x＋1＋x－2＜4，解得2＜x＜.
所以原不等式的解集为.
含参数的绝对值不等式的综合问题
【例3】 已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
[精彩点拨]
[自主解答] (1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，
解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|，
于是g(x)＝
利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.
因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，
实数m的取值范围是(－∞，5]．
1．第(2)问求解的关键是转化为求f(x)＋f(x＋5)的最小值，运用分类讨论思想，利用函数的单调性求解．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．
3．若将“本例的条件和第(1)问”改为“f(x)＝|2x－2|＋|x＋3|且关于x的不等式f(x)≤|2a－1|的解集不是空集”，试求实数a的取值范围．
[解] 易知f(x)＝
当x≤－3时，f(x)＝－3x－1≥8，
当－3∴4当x≥1时，f(x)＝3x＋1≥4.
因此f(x)的值域是[4，＋∞)．
要使f(x)≤|2a－1|的解集不是空集，
必须有|2a－1|≥4，
∴2a－1≥4或2a－1≤－4，
解得a≥或a≤－.
因此实数a的取值范围是.
含绝对值的不等式的解法
[探究问题]
1．当c<0时，|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？
[提示] c<0时，|ax＋b|≤c的解集为.
|ax＋b|≥c的解集为R.
2．如何解含绝对值的不等式？
[提示] 利用绝对值的意义和性质，去掉绝对值转化为不含绝对值的不等式或不等式组，再进一步求解．也可利用函数思想通过图象求解．
3．如何解含一个绝对值的不等式？
[提示] 含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：
(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式．
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①当a＞0时，|f(x)|＜a?－a＜f(x)＜a.
|f(x)|＞a?f(x)＞a或f(x)＜－a.
②当a＝0时，|f(x)|＜a无解，
|f(x)|＞a?f(x)≠0.
③当a＜0时，|f(x)|＜a无解，
|f(x)|＞a?f(x)有意义．
(2)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式．
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)，
②|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(3)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式．
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即
a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)
?a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.
(4)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式．
此类题的简单解法是利用绝对值的含义，即
|f(x)|＞f(x)?f(x)＜0，
|f(x)|＜f(x)?x∈.
4．如何解含两个绝对值的不等式？
[提示] (1)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较复杂；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的图象解法和画出函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f(x)的分段表达式．不妨设
a＜b，于是f(x)＝
这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．
(3)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式，此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|＜|g(x)|?[f(x)]2＜[g(x)]2?[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0.
【例4】 已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)解不等式f(x)＞2.
[精彩点拨] (1)去掉绝对值，把f(x)表示为分段函数，画出f(x)的图象．(2)不等式f(x)＞2可以看作是函数f(x)的值比2大，结合图象求出．
[自主解答] (1)f(x)＝
函数的图象如图所示．
(2)不等式|x－8|－|x－4|＞2，
即f(x)＞2.
由－2x＋12＝2，
得x＝5，
根据函数f(x)的图象可知，
原不等式的解集为(－∞，5)．
4．解不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0.
[解] 法一：原不等式可化为
|2x＋1|＞2|x－1|，
∴(2x＋1)2＞4(x－1)2，解得x＞，∴原不等式的解集为.
法二：当x≤－时，原不等式可化为－1－2x＋2(x－1)＞0，整理得－3＞0，无解；
当－＜x≤1时，原不等式可化为2x＋1＋2(x－1)＞0，整理得4x－1＞0，即x＞，∴＜x≤1；
当x＞1时，原不等式可化为2x＋1－2(x－1)＞0，整理得3＞0.此时不等式的解集为x＞1.
∴原不等式的解集为∪{x|x＞1}＝.
1．不等式|x－2|>x－2的解集是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
[解析] 原不等式同解于x－2<0，即x<2.
[答案] A
2．不等式|x2－2|＜2的解集是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)
[解析] 由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．
[答案] D
3．不等式>的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[解析] 由绝对值的意义知>等价于<0，
即x(x－2)<0，
解得0[答案] A
4．若关于x的不等式|x－3|－|x－4|[解析] 根据绝对值的几何意义知，|x－3|－|x－4|≥－1，∴要使不等式有解，必须a>－1.
[答案] (－1，＋∞)
5．解不等式|5x－x2|＜6.
[解] 法一：由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6，
∴－6＜x2－5x＜6，
∴
解得
∴－1＜x＜2或3＜x＜6，
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．
法二：作函数y＝x2－5x的图象．
|x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝±6间相应的部分的自变量的集合，解x2－5x＝6得x1＝－1，x2＝6，解x2－5x＝－6得x1′＝2，x2′＝3，即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}．
课件58张PPT。第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法1.3 绝对值不等式的解法
1.3.1 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
1.3.2 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法{x|－aa，或x<－a} ax＋b≥c或ax＋b≤－c－c≤ax＋b≤c|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c型不等式的解法 |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 含参数的绝对值不等式的综合问题 含绝对值的不等式的解法 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 绝对值不等式的解法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．集合{x|0＜|x－3|＜3，x∈Z}的真子集个数为( )
A．16 B．15
C．8 D．7
[解析] 不等式的解集为x＝1,2,4,5，共4个元素，所以真子集个数为24－1＝15.
[答案] B
2．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为( )
A．{x|x≤－1或x≥4}
B．{x|x≤1或x≥2}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥2}
[解析] 画数轴可得
当x＝－1或x＝4时，
有|x－1|＋|x－2|＝5.
由绝对值的几何意义可得，
当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2|≥5.
[答案] A
3．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
[解析] 在数轴(略)上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
[答案] D
4.＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] ∵分母|x＋3|＞0且x≠－3，
∴原不等式等价于|2x－1|－2＞0，
即|2x－1|＞2，∴2x－1＞2或2x－1＜－2，
解得x＞或x＜－.
∴原不等式的解集为
.
[答案] C
5．函数y＝|x－1|＋|x－2|( )
A．图象无对称轴，且在R上不单调
B．图象无对称轴，且在R上单调递增
C．图象有对称轴，且在对称轴右侧不单调
D．图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增
[解析] 原函数可化为：
y＝
其图象如图所示：
由图象知C正确．
[答案] C
二、填空题
6．不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是________．
[解析] 原不等式可化为或或
解得0≤x≤3，∴最小整数解是0.
[答案] 0
7．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．
[解析] 法一：要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
法二：|x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．
[答案] {x|x≤－3或x≥2}
8．不等式≥1的实数解集为________．
[解析] ≥1?|x＋1|≥|x＋2|，x＋2≠0
?(x＋1)2≥(x＋2)2，x≠－2?x≤－，x≠－2.
[答案] (－∞，－2)∪
三、解答题
9．已知函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.
(1)解不等式f(x)≤1；
(2)若不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．
[解] (1)依题意，f(x)≤1，即|x－3|≤3.
∴－3≤x－3≤3，∴0≤x≤6，
因此不等式f(x)≤1的解集为[0,6]．
(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6≥|(x－3)－(x＋1)|－6＝－2，∴f(x)－g(x)的最小值为－2，
要使f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R.
应有m＋1≤－2，∴m≤－3，
故实数m的取值范围是(－∞，－3]．
10．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1时，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0，所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，
所以x≥a－2对x∈都成立，
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是.
[能力提升练]
1．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[解析] |x|＋|y|≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．
设z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0，把l0向右上和左下平移，易知当l过点(0,1)时，z有最大值zmax＝0＋2×1＝2；
当l过点(0，－1)时，z有最小值zmin＝0＋2×(－1)＝－2.
[答案] B
2．已知不等式|ax＋b|＜2(a≠0)的解集为{x|1＜x＜5}，则实数a，b的值为________．
[解析] 原不等式等价于－2＜ax＋b＜2.
①当a＞0时，解得－＜x＜，与1＜x＜5比较系数得
解得
②当a＜0时，解得＜x＜－，与1＜x＜5比较系数得解得
综上所述，a＝1，b＝－3或a＝－1，b＝3.
[答案] 1，－3或－1,3
