1.4 绝对值的三角不等式
学习目标：1.理解绝对值不等式的性质定理.2.会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式；会求简单绝对值不等式的最值．
教材整理 绝对值的三角不等式
1．定理1
若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
2．定理2
设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立?(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．
若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有( )
A．ab<0 B．ab>0
C．ab≥0 D．以上都不对
[解析] 由定理1易知答案选C.
[答案] C
绝对值不等式的理解与应用
【例1】 已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是________．
[精彩点拨] 利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小．
[自主解答] 因为|a|－|b|≤|a－b|，
所以≤1，即m≤1.
又因为|a＋b|≤|a|＋|b|，
所以≥1，即n≥1.所以m≤1≤n.
[答案] m≤n
1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a＋b|≤|a|＋|b|的理解和应用．
2．在定理1中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋|b|；以a－b代替实数a，可得到|a|－|b|≤|a－b|.
1．若将“本例的条件”改为“n＝”，则n与1之间的大小关系是________．
[解析] ∵|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴≤1，∴n≤1.
[答案] n≤1
运用绝对值不等式求最值与范围
【例2】 对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围．
[精彩点拨] 令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤tmin.
[自主解答] 法一：对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|
≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，
当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，
即－2≤x≤－1时取等号．
∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.
∴实数m的取值范围是(－∞，1]．
法二：t＝|x＋1|＋|x＋2|＝
∴t≥1，则t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.
因此实数m的取值范围是(－∞，1]．
1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．
2．对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．
2．若|x＋1|＋|x－3|＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．
[解析] 设f(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则有f(x)＝
当x≤－1时，f(x)有最小值为4；
当－1≤x≤3时，f(x)有最小值为4；
当x≥3时，f(x)有最小值为4.
综上所述，f(x)有最小值为4，所以k＜4.
[答案] (－∞，4)
含绝对值不等式的证明
【例3】 设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2.
[精彩点拨] 不管|a|，|b|,1的大小，总有m≥|a|，m≥|b|，m≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．
[自主解答] 依题意m≥|a|，m≥|b|，m≥1，
又|x|>m，
∴|x|>|a|，|x|>|b|，|x|>1，
从而|x|2>|b|.
因此≤＋＝＋<＋＝2，
即<2.
1．将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键．
2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．
3．若f(x)＝x2－x＋c(为常数)，且|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
[证明] |f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|
＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|.
又|x－a|<1，
∴|f(x)－f(a)|≤|x－a|＋|2a－1|
≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．
绝对值的三角不等式
[探究问题]
1．绝对值的三角不等式|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是什么？
[提示] 绝对值的三角不等式：|a|－|b|＜|a±b|＜|a|＋|b|的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．
2．绝对值的三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的结构特点是什么？
[提示] 对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释：
定理的构成部分
特征
大小关系
等号成立的条件
左端
|a|－|b|
可能是
负的
≤中间
部分
中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立.
中间部分
|a±b|
肯定是
非负的
≥左端
≤右端
用“＋”连接时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|a|≥|b|时，左端取等号；用“－”连接时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左端取等号，ab≤0，右端取等号.
右端
|a|＋|b|
是非
负的
≥中间
部分
中间部分为|a＋b|时，ab≥0，等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≤0，等号成立.
3.含绝对值不等式的证明思路是什么？
[提示] 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，进而特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
【例4】 设a，b∈R，求证：＋≥ .
[精彩点拨] 利用绝对值不等式性质或构造函数证明．
[自主解答] 法一：①若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．
②若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴＝
≥＝(*)
又＞，＞，
∴＋＞.
又由(*)式可知＋＞.
综上①②可知＋＞.
法二：若ab＝0或a＋b＝0，不等式显然成立．
若ab≠0且a＋b≠0，∵|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴0＜1＋≤1＋.
即0＜≤.
取倒数得≥，
又由法一知，原不等式成立．
法三：∵|a|＋|b|≥|a＋b|，
∴|a|＋|b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|≥|a＋b|＋(|a|＋|b|)·|a＋b|，
即(|a|＋|b|)(1＋|a＋b|)≥|a＋b|(1＋|a|＋|b|)．
两边同除以(1＋|a＋b|)(1＋|a|＋|b|)得
≥.
又由法一知，原不等式成立．
法四：构造函数f(x)＝，
任取x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，有
f(x1)－f(x2)＝－＝＜0.
∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数．
又|a|＋|b|≥|a＋b|，∴f(|a|＋|b|)≥f(|a＋b|)，
即≥.
又由法一知，所证不等式成立．
1．已知实数a，b满足ab<0，那么有( )
A．|a－b|<|a|＋|b| B．|a＋b|>|a|－|b|
C．|a＋b|<|a－b| D．|a－b|<||a|－|b||
[解析] ∵ab<0，
∴|a－b|>|a＋b|成立，|a－b|
＝|a|＋|b|，|a＋b|≥|a|－|b|也成立．
[答案] C
2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件( )
A．|a|≥且|b|≥ B．|a＋b|≥1
C．|a|≥1 D．b<－1
[解析] 当b<－1时，|b|>1，
∴|a|＋|b|>1，
但|a|＋|b|>1?/ b<－1(如a＝2，b＝0)，
∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．
[答案] D
3．若|a－c|A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|
C．b>||c|－|a|| D．b<|a|－|c|
[解析] 由|a－c|0，∴b＝|b|.
∵|a|－|c|≤|a－c|，∴|a|－|c|则|a|同理，由|c|－|a|≤|a－c|，得|c|－|a|∴|c|<|a|＋b＝|a|＋|b|，故选项B成立．
而由选项A成立，得|c|－|a|>－|b|，
由选项B成立，得|c|－|a|<|b|.
∴－|b|<|c|－|a|<|b|，
即||c|－|a||<|b|＝b.故选项C成立．
由选项A成立知选项D不成立．故选D.
[答案] D
4．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，下列正确的命题是( )
A．①③?② B．①②?③
C．②③?① D．都不正确
[解析] 当①，③成立时，
则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
[答案] A
5．已知f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．
[解] ∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|
≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.
当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号．
由(x－10)(20－x)≥0，
得10≤x≤20，
因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．
课件42张PPT。第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法1.4 绝对值的三角不等式ab≥0|a|＋|b||a－b|＋|b－c| (a－b)(b－c)≥0 绝对值不等式的理解与应用 运用绝对值不等式求最值与范围 含绝对值不等式的证明 绝对值的三角不等式 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 绝对值的三角不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a，b∈R，则以下命题正确的是( )
A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|
B．|a|－|b|<|a－b|<|a|＋|b|
C．当且仅当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|
D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|
[解析] 由定理“两个数的和的绝对值小于或等于它们绝对值的和，大于或等于它们绝对值的差”可知选项A正确；在选项A中，以－b代b，可得|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，所以选项B不正确；当且仅当a，b同号或a，b中至少有一个为零，即ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，所以选项C不正确；当ab<0，|a－b|>|a|－|b|，所以选项D不正确．
[答案] A
2．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D.≥2
[解析] 当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．
[答案] C
3．以下四个命题：
①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
③若|x|＜2，|y|＞3，则＜；
④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋|lg|B|)．
其中正确的命题有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
[解析] |a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|
＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；
1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确；
|y|＞3，∴＜.
又∵|x|＜2，
∴＜，③正确；
＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)
≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，
∴2lg≥lg|A||B|，
∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．
[答案] A
4．已知f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－4 D．－1
[解析] 因为不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，即－2,3是方程f(x)＝6的两个根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，所以|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，
即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.
[答案] A
5．不等式≤1成立的条件是( )
A．ab≠0 B．a2＋b2≠0
C．ab≥0 D．ab≤0
[解析] ∵|a＋b|≤|a|＋|b|，当|a|＋|b|≠0时，≤1(*)．因此(*)成立的条件是a≠0且b≠0，即a2＋b2≠0.
[答案] B
二、填空题
6．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
[解析] ∵|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3，
∴3≥a.
[答案] (－∞，3]
7．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________．
[解析] ∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，
当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．
因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.
[答案] 3
8．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] |2x－1|＋|x＋2|＝＋≥0＋＝，当且仅当x＝时取等号，因此函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值是.所以a2＋a＋2≤，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，即实数a的取值范围是.
[答案]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.
当x≤－1时，不等式可化为1－x－x－1≥3，即－2x≥3，其解集为.
当－1＜x＜1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立，其解集为；
当x≥1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，其解集为.
综上所述，f(x)≥3的解集为
∪.
(2)∵f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|a－1|，
∴要x∈R，f(x)≥2成立，
则|a－1|≥2，∴a≤－1或a≥3，即a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
10．已知|x1－2|＜1，|x2－2|＜1.
(1)求证：2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＜2.
(2)若f(x)＝x2－x＋1，x1≠x2，求证：|x1－x2|＜
|f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.
[证明] (1)∵|x1－2|＜1，|x2－2|＜1，
∴2－1＜x1＜2＋1,2－1＜x2＜2＋1，
即1＜x1＜3,1＜x2＜3，
∴2＜x1＋x2＜6，
|x1－x2|＝|(x1－2)－(x2－2)|
≤|x1－2|＋|x2－2|＜1＋1＝2，
即|x1－x2|＜2.
(2)∵f(x)＝x2－x＋1，
∴|f(x1)－f(x2)|＝|x－x1－x＋x2|
＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|＝|x1－x2||x1＋x2－1|.
由(1)知2＜x1＋x2＜6，|x1－x2|＞0，
∴|x1－x2|＜|x1－x2||x1＋x2－1|＜5|x1－x2|，
即|x1－x2|＜|f(x1)－f(x2)|＜5|x1－x2|.
[能力提升练]
1．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，
m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，
故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．
[答案] A
2．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，
则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，
所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)＞a对于一切x∈R恒成立，则需a＜2.
[答案] (－∞，2)
