1.5 不等式证明的基本方法
1.5.1 比较法
学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．
教材整理1 比较法的定义
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．
(1)作差比较法
要证明a>b，只要证明a－b>0；要证明a(2)作商比较法
若a>0，b>0，要证明a>b，只要证明>1；要证明b>a，只要证明>1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．
教材整理2 比较法证明不等式的步骤
比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( )
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
[解析] s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，
∴s≥t.
[答案] D
2．已知P＝，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是( )
A．P＞0 B．P＜Q
C．P≥Q D．P≤Q
[解析] ∵＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.
∴P≤Q.
[答案] D
作差比较法证明不等式
【例1】 已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．
[自主解答] 法一：化成几个平方和．
∵a2＋b2－ab－a－b＋1
＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，
∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
法二：a2＋b2－ab－a－b＋1
＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1.
对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)
＝－3(b－1)2≤0，
∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，
故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．
2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．
1．已知a，b为正数，证明：a2＋b2≥(a＋b)．
[证明] a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b
＝a(－)＋b(－)
＝(－)(a－b)
＝(－)(－)(a＋＋b)
＝(－)2(a＋＋b)≥0，
∴a2＋b2≥(a＋b).
求商比较法证明不等式
【例2】 已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.
[精彩点拨]
→→与1比较大小→
[自主解答] ∵a＞2，则a－1＞1，
∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，
由于＝loga(a－1)·loga(a＋1)
＜
＝.
∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，
∴＜＝1，
因此＜1.
∵log(a＋1)a＞0，
∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.
1．当不等式的两端为对数式时，可作商证明不等式．
2．运用a＞b?＞1，证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．
2．已知a>b>c>0，求证：a2ab2bc2c>ab＋cbc＋aca＋b.
[证明] 由a>b>c>0，
得ac＋bbc＋aca＋b>0，a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边，得
＝
＝aa－baa－cbb－cbb－acc－acc－b
比较法的实际应用
【例3】 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[精彩点拨] 设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．
[自主解答] 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，依题意有：
m＋n＝s，＋＝t2，
∴t1＝，t2＝，
∴t1－t2＝－＝
＝－.
其中s，m, n都是正数，且m≠n，
∴t1－t2＜0，即t1＜t2，
从而知甲比乙先到达指定地点．
1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．
2．在实际应用题中解决不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．
3．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面是圆的水管流量大还是截面是正方形的水管流量大？
[解] 设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·，截面是正方形的水管的截面面积为.
∵π·－＝＝.
由于l＞0,0＜π＜4，
∴＞0，
∴π·＞.
因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
用比较法证明不等式
[探究问题]
1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？
[提示] 作差比较法适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系．
2．作商比较法主要适用类型是什么？其证明的一般步骤是什么？
[提示] 作商比较法主要用于积(商)、幂(根式)、指数形式的不等式证明．其证明的一般步骤：作商→变形(化简)→判断商值与1的大小关系→结论．
【例4】 求证：(1)当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；
(2)当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab).
[精彩点拨] (1)利用作差比较法，注意变形分解；
(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小．
[自主解答] (1)法一：(1＋2x4)－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)
＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)
＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]
＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2≥0，
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，
∴1＋2x4≥2x3＋x2.
(2)＝ab＝，
当a＝b时，＝1；
当a＞b＞0时，＞1，＞0，则＞1；
当b＞a＞0时，0＜＜1，＜0，则＞1.
综上可知，当a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab)成立．
4．已知a，b均为正数，n∈N*，求证：＋≥＋.
[证明] 设P＝＋－
＝＋
＝(an－1－bn－1)
＝.
若a＞b＞0，则an－1＞bn－1，an＞bn，
所以an－1－bn－1＞0，an－bn＞0，且anbn＞0，因此P＞0.
若b＞a＞0，则an－1＜bn－1，an＜bn，
所以an－1－bn－1＜0，an－bn＜0，且anbn＞0，
故P＞0；若a＝b＞0，则P＝0.
综上所述，P≥0，故原式成立．
1．已知a＞2，b＞2，则( )
A．ab≥a＋b B．ab≤a＋b
C．ab＞a＋b D．ab＜a＋b
[解析] ∵a＞2，b＞2，
∴－1＞0，－1＞0，
则ab－(a＋b)＝a＋b＞0.
∴ab＞a＋b.
[答案] C
2．已知a＞b＞－1，则与的大小关系为( )
A.＞ B.＜
C.≥ D.≤
[解析] ∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则－＝＜0，
∴＜.
[答案] B
3．下列命题：
①当b＞0时，a＞b?＞1；
②当b＞0时，a＜b?＜1；
③当a＞0，b＞0时，＞1?a＞b；
④当ab＞0时，＞1?a＞b.
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④
C．④ D．①②③④
[解析] 由不等式的性质，①，②，③正确．当ab＞0时，(若b＜0，a＜0)，＞1与a＞b不等价，④错．
[答案] A
4．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．
[解析] －＝＞0.
又a，b，m为正数，
∴a(a＋m)＞0，m＞0，
因此a－b＞0，即a＞b.
[答案] a＞b
5．已知x＞－1，求证：≤1＋.
[证明] ∵x＞－1，
∴1＋x＞0，＞0.
又－＝－[(x＋1)－2＋1]＝－≤0，
故不等式≤1＋成立．
课件44张PPT。第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法1.5 不等式证明的基本方法
1.5.1 比较法234a－b>0 a－b<0 56判断求差变形78910作差比较法证明不等式 1112131415求商比较法证明不等式 161718192021比较法的实际应用 2223242526用比较法证明不等式 2728293031323334353637383940414243点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 比较法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．对x1＞x2＞0,0＜a＜1，记y1＝＋，y2＝＋，则x1x2与y1y2的关系为( )
A．x1x2＞y1y2 B．x1x2＝y1y2
C．x1x2＜y1y2 D．不能确定，与a有关
[解析] ∵x1＞x2＞0,0＜a＜1，
∴y1y2－x1x2＝－x1x2
＝＞0，
∴y1y2＞x1x2，
∴选项C正确．
[答案] C
2．设a＝sin 15°＋cos 15°，b＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( )
A．a＜＜b B．a＜b＜
C．b＜a＜ D．b＜＜a
[解析] a＝sin 15°＋cos 15°＝sin 60°，
b＝sin 16°＋cos 16°＝sin 61°，
∴a＜b，排除C，D.又a≠b，
∴＞ab＝sin 60°·sin 61°
＝sin 61°＞sin 61°＝b，
故a＜b＜成立．
[答案] B
3．已知数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是( )
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D．与n的取值有关
[解析] an＋1－an＝－
＝.
∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，
∴an＋1－an＞0，an＋1＞an.
[答案] B
4．若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1)(k∈N＋)的符号( )
A．恒正 B．恒负
C．与k的奇偶性有关 D．与a，b大小无关
[解析] (abk＋akb)－ak＋1－bk＋1
＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)．
∵a＞0，b＞0，若a＞b，则ak＞bk，
∴(a－b)(bk－ak)＜0；
若a＜b，则ak＜bk，∴(a－b)(bk－ak)＜0.
[答案] B
5．已知a>b>0，c>d>0，m＝－，n＝，则m与n的大小关系是( )
A．mn
C．m≥n D．m≤n
[解析] ∵a＞b>0，c>d>0，
∴ac>bd>0，>，
∴m>0，n>0.又∵m2＝ac＋bd－2，
n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，又由ad＋bc>2，
∴－2>－ad－bc，∴m2>n2，∴m>n.
[答案] B
二、填空题
6．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．
[解析] M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，
∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，
即M＞N.
[答案] M＞N
7．设A＝＋，B＝(a＞0，b＞0且a≠b)，则A，B的大小关系是________．
[解析] 法一(比较法)：A－B＝＞0(a＞0，b＞0且a≠b)，则A＞B.
法二：A＞，B＜，故A＞B.
[答案] A＞B
8．若f(x)＝，且记A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a＞1，则________1.
[解析] 因为f(x)＝的定义域是x＞3，又a＞1，所以A＞0，B＞0.
又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，
所以B≥A，
即≤1.
[答案] ≤
三、解答题
9．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
[证明] ∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴a2b＋ab2＞2ab，
a3＋b3＞2ab.
∴a2b＋ab2－2ab＞0，
a3＋b3－2ab＞0.
∴|a2b＋ab2－2ab|－|a3＋b3－2ab|
＝a2b＋ab2－2ab－a3－b3＋2ab
＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)
＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，
∴|a2b＋ab2－2ab|＜|a3＋b3－2ab|，
∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2ab.
10．已知a，b都是正数，x，y∈R，且a＋b＝1.
求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.
[证明] ax2＋by2－(ax＋by)2
＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2
＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy
＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy
＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.
∵a＞0，b＞0，x，y∈R，∴ab＞0，(x－y)2≥0，
∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．
[能力提升练]
1．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是( )
A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
[解析] A项减B项有：
a1b1＋a2b2－(a1a2＋b1b2)＝(b1－a2)(a1－b2)．
由题意得0＜a1＜，＜a2＜1，
0＜b1＜，＜b2＜1，∴(b1－a2)(a1－b2)＞0，
∴a1b1＋a2b2＞a1a2＋b1b2.
A项减D项有：
(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1(2a1－1)－(2a1－1)
＝(2a1－1)＝2＞0.
∴a1b1＋a2b2＞.
又知C项：a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋a2(1－b2)
＝a1＋a2－(a1b1＋a2b2)＝1－(a1b1＋a2b2)＜.
∴A项最大，故选A.
[答案] A
2．设n∈N，n＞1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．
[解析] ＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n
≤
＝
＜＝1.
[答案] logn(n＋1)＞logn＋1(n＋2)
