1.5.3 反证法和放缩法
学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．
教材整理1 反证法
首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法．
用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
[解析] “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
[答案] B
教材整理2 放缩法
在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于放大(缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大，则相应分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大．这是一种常用的放缩方式．
已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P
C．P＝Q D．无法确定
[解析] 由等比知识得Q＝＝.
又P＝，且a3>0，a3≠a9，
∴>＝，故P>Q.
[答案] A
利用反证法证明否定性命题
【例1】 已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同时大于.
[精彩点拨] 当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、唯一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．
[自主解答] 假设三式同时大于，
即(1－a)b＞，(1－b)c＞，(1－c)a＞.
三式同向相乘，
得(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞. ①
∵0＜a＜1，
∴(1－a)a≤＝.
同理(1－b)b≤，(1－c)c≤.
又(1－a)a，(1－b)b，(1－c)c均大于零，
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤， ②
因此①式与②式矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．
1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法．
2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件，通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论．
1．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
[证明] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，
∴(－)2＝0，即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．
利用反证法证“至多”“至少”“唯一”型命题
【例2】 已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：
(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；
(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
[精彩点拨] (1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论；(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．
[自主解答] (1)由于f(x)＝x2＋px＋q，
∴f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.
(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，
则有|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.(*)
又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|
≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2.
∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥2与(*)矛盾，假设不成立．
故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
1．在题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明．
2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
2．已知a≥－1，求证以下三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中它们的判别式都小于0，即
∴
∴－利用放缩法证明不等式
【例3】 已知x，y，z不全为零，求证：＋＋＞(x＋y＋z)．
[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．
[自主解答] ＝
≥ ＝≥x＋，
同理可得：≥y＋，
≥z＋.
由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：
＋＋＞
＋＋＝(x＋y＋z)．
1．放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换．
2．放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地放或缩是放缩法基本策略．
3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.
[证明] 假设a＋b>2，而a2－ab＋b2＝＋b2≥0，
但取等号的条件为a＝b＝0，显然不可能，
∴a2－ab＋b2>0.
则a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)，
而a3＋b3＝2，
故a2－ab＋b2<1.
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab，
从而ab<1.
∴a2＋b2<1＋ab<2.
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4.
而由假设a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即a＋b≤2.
反证法与放缩法的特点
[探究问题]
1．反证法的一般步骤是什么？
[提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
2．放缩法证明不等式常用的技巧有哪些？
[提示] (1)添加或舍去一些项，如a2＋a＋1＝＋＞.
(2)将分子或分母放大(或缩小)，如
＜＝－；＞＝－.
(3)利用真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则＜.
(4)利用基本不等式，如a2＋b2≥2ab.
(5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(6)利用函数的单调性．
【例4】 求证：－＜1＋＋…＋＜2－(n为正整数，且n≥2)．
[精彩点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
[自主解答] ∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，
∴＜＜，
即－＜＜－(k为正整数，且k≥2)．
分别令k＝2,3，…，n得
－＜＜1－，－＜＜－，
…
－＜＜－，
将这些不等式相加得
－＋－＋…＋－＜＋＋…＋＜1－＋－＋…＋－，
即－＜＋＋…＋＜1－，
∴1＋－＜1＋＋＋…＋＜1＋1－，
即－＜1＋＋＋…＋＜2－(n为正整数，且n≥2)成立．
1．放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a＞b，可换成证a＞c且c＞b，欲证a＜b，可换成证a＜c且c＜b.
2．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论寻找．
4．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.
[证明] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，
从而3|y|<＋＝，
所以|y|<.
1．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为( )
A．a＜0，b＜0，c＜0
B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a，b，c不全是正数
D．abc＜0
[解析] a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数．
[答案] C
2．否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
[解析] 三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．
[答案] D
3．已知a>0，b>0，设P＝＋，Q＝，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．PC．P＝Q D．无法确定
[解析] ∵a>0，b>0，∴P＝＋>＋＝＝Q，
∴P>Q.
[答案] A
4．用反证法证明命题：三角形的内角和中至少有一个不大于60°时，假设应为________．
[解析] “至少有一个不大于60°”的反面是“都大于60°”．
[答案] 假设三内角都大于60°
5．已知a＞0，b＞0，且a＋b＞2.求证：
，中至少有一个小于2.
[证明] 假设，都不小于2，
则≥2，≥2.∵a＞0，b＞0，
∴1＋b≥2a,1＋a≥2b，∴2＋a＋b≥2(a＋b)，
即2≥a＋b，
这与a＋b＞2矛盾．
故假设不成立．
即，中至少有一个小于2.
