2.1 柯西不等式
2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．
教材整理1 柯西不等式
1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2.
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.
3．柯西不等式的三角不等式：|α|＋|β|≥|α＋β|.
4．柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等号成立?＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)．
教材整理2 参数配方法
利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．
已知不等式(x＋y)≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 由柯西不等式可求出(x＋y)≥＝(1＋)2，
当x＝1，y＝时，
(x＋y)的最小值是(＋1)2，
故只需(1＋)2≥9，
即a≥4即可．
[答案] B
利用柯西不等式证明不等式
【例1】 已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，求证：(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
[精彩点拨] 如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．
[自主解答] ∵a，b，x，y大于0，
∴(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)
＝(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥(a＋b)2
＝(a＋b)2x1x2.
又因为a＋b＝1，
所以(a＋b)2x1x2＝x1x2，
其中等号当且仅当x1＝x2时成立．
所以(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.
1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．
2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．
1．设x1，x2，…，xn为正数，求证：
(x1＋x2＋…＋xn)≥n2.
[证明] 由柯西不等式得
(x1＋x2＋…＋xn)
≥＝n2，
∴(x1＋x2＋…＋xn)≥n2.
利用柯西不等式求最值
【例2】 设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．
[精彩点拨] 由x＋y＋z＝1以及u＝2x2＋3y2＋z2的形式，联想柯西不等式，构造因式解决问题．
[自主解答] 由x＋y＋z＝·x＋·y＋1·z.
根据柯西不等式，有
≤·(2x2＋3y2＋z2)＝(2x2＋3y2＋z2)，
因此1＝(x＋y＋z)2≤(2x2＋3y2＋z2)，
∴u＝2x2＋3y2＋z2≥，
当且仅当x＝，y＝，z＝λ时等号成立．
∴x＝，y＝，z＝λ代入x＋y＋z＝1，
得x＝，y＝，z＝时，等号成立．
故函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是.
1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果．
2．常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值．
2．若实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝9，则x＋2y＋3z的最大值是________．
[解析] 由柯西不等式得(x＋2y＋3z)2≤(1＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)＝14×9，故x＋2y＋3z≤3，所以x＋2y＋3z的最大值是3.
[答案] 3
运用柯西不等式求参数的取值范围
【例3】 已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．
[精彩点拨] “恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求最值．
[自主解答] ∵x>0，y>0，z>0，
且x＋y＋z＝xyz，
∴＋＋＝1.
又＋＋≤
＝≤＝，
当且仅当x＝y＝z时，
即x＝y＝z＝时等号成立，
∴＋＋的最大值为.
故＋＋≤λ恒成立时，
应有λ≥.
因此λ的取值范围是.
此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理．
3．已知函数f(x)＝2＋.若关于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由柯西不等式得(2＋)2≤(22＋12)·|()2＋()2|＝25，
所以f(x)＝2＋≤5.
当且仅当＝，
即x＝4时，等号成立．
又不等式f(x)≤|m－2|恒成立，
所以|m－2|≥5，
解得m≥7或m≤－3.
故m的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).
柯西不等式的应用
[探究问题]
1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成＝吗？
[提示] 不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但＝不成立．
2．在平面直角坐标系中，若△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．则二维柯西不等式的三角形式又是怎样体现的呢？
[提示] 根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC中，三角形式的柯西不等式为＋≥.
3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？
[提示] 不可以．若bi＝0而ai≠0，则k不存在．
4．利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？
[提示] 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n个实数平方和的乘积的形式．
(2)配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证．
(3)适当换元，有时根据所证不等式的结构特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使问题简捷获解．
(4)配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联系，有时要通过巧配系数来完成．
【例4】 已知3x2＋2y2≤6，求证：2x＋y≤.
[精彩点拨] 将不等式2x＋y≤的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明．
[自主解答] 2x＋y＝·x＋·y.
由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]
＝(3x2＋2y2)≤6×＝11，
于是2x＋y≤，
当且仅当＝，即＝时等号成立．
4．已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为________．
[解析] ∵1＝x＋2y，∴1＝(x＋2y)2≤(1＋22)(x2＋y2)．
当且仅当x＝，y＝时，取等号，
∴(x2＋y2)min＝.
[答案]
1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为( )
A. B．169
C．13 D．0
[解析] (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.
[答案] C
2．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是( )
A． B．2
C． D．3
[解析] 2x＋y＝·x＋1×y
≤ ＝ ＝，
当且仅当y＝x，
即x＝y＝时等号成立．
[答案] C
3．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D．[－，]
[解析] ∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]．
[答案] A
4．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为________．
[解析] ∵a，b，c为正数，∴(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥＝121，
当且仅当＝＝＝k(k>0)时等号成立．
故(a＋b＋c)的最小值是121.
[答案] 121
5．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．
[解] 由柯西不等式得
(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.
∵x＋2y＋z＝1，
∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，
即x2＋4y2＋z2≥.
当且仅当x＝2y＝z＝，
即x＝，y＝，z＝时等号成立．
故x2＋4y2＋z2的最小值为.
课件43张PPT。第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式
2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明参数配方法 利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式求最值 运用柯西不等式求参数的取值范围 柯西不等式的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 柯西不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若a2＋b2＝1，x2＋y2＝2，则ax＋by的最大值为( )
A．1 B．2
C． D．4
[解析] ∵(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝2，
∴ax＋by≤.
[答案] C
2．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则的最小值为( )
A．3 B．1
C． D．
[解析] ∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得
(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)，
∴a2＋b2＋c2≥3.
当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，
∴的最小值为.
[答案] D
3．已知x＋y＝1，且x>0，y>0，那么2x2＋3y2的最小值是( )
A. B.
C. D.
[解析] 2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥
＝(x＋y)2＝，
当且仅当x·＝y·，即x＝，y＝时等号成立，
∴2x2＋3y2的最小值为.
[答案] B
4．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] ∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)，
≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，
∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，故a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2.因此a1b1＋a2b2＋…＋anbn的最大值为2.
[答案] C
5．已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，t＝ax＋by＋cz，则t的取值范围为( )
A．(0,1) B．(－1,1)
C．(0，－1) D．[－1,1]
[解析] 设α＝(a，b，c)，β＝(x，y，z)．
∵|α|＝＝1，|β|＝＝1，
由|α||β|≥|α·β|，得|t|≤1.
∴t的取值范围是[－1,1]．
[答案] D
二、填空题
6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
[解析] ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6，
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
[答案] 12
7．若a＝(1,0，－2)，b＝(x，y，z)，若x2＋y2＋z2＝16，则a·b的最大值为________．
[解析] 由题知，a·b＝x－2z，由柯西不等式知[12＋02＋(－2)2](x2＋y2＋z2)≥(x＋0－2z)2，
当且仅当向量a与b共线时“＝”成立，
∴5×16≥(x－2z)2，
∴－4≤x－2z≤4，
即－4≤a·b≤4.
故a·b的最大值为4.
[答案] 4
8．已知a＋b＝1，则a2＋b2＝________.
[解析] 由柯西不等式得
(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][(1－b2)＋b2]＝1，
当且仅当＝时，上式取等号，
∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)，
于是a2＋b2＝1.
[答案] 1
三、解答题
9．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤＋.
[证明] 设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，
则|a＋b|＝
＝|m·n|≤|m||n|＝ ·
＝，
∴(a＋b)2≤＋.
10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．
[解] 如图所示，设内接长方形ABCD的长为x，宽为，于是 ABCD的周长l＝2(x＋)
＝2(1·x＋1×)．
由柯西不等式得
l≤2[x2＋()2](12＋12) ＝2·2R
＝4R.
当且仅当＝，即x＝R时等号成立．
此时，宽＝＝R，即ABCD为正方形，
故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.
[能力提升练]
1．函数y＝＋的最小值是( )
A． B．2
C．11＋2 D．＋1
[解析] y＝＋.
根据柯西不等式，得y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2
≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2[(x－1)(3－x)＋]
＝[(x－1)＋(3－x)]2＋2＋5＋2
＝11＋2，
当且仅当＝，即x＝时等号成立．
此时，ymin＝＝＋1.
[答案] D
2．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.
[解析] 由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，
当且仅当＝＝＝k时取“＝”．
由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝，
所以＝k＝.
[答案]
