2.2 排序不等式
学习目标：1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．
教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序和；称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序和；称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序和．
教材整理2 定理(排序原理，又称为排序不等式)
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，
等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M
[解析] 由排序不等式，知M≥N.
[答案] B
用排序不等式证明不等式(字母大小已定)
【例1】 已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：
(1)≥≥；
(2)＋＋≥＋＋.
[精彩点拨] 由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．
[自主解答] (1)∵a≥b>0，于是≤，
又c>0，∴>0，
从而≥.
同理，∵b≥c>0，于是≤，
∴a>0，∴>0，于是得≥，
从而≥≥.
(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，
∴≥≥，a2≥b2≥c2.
由排序不等式，顺序和≥乱序和得
＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，
故＋＋≥＋＋.
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
1．已知0[证明] ∵0∴a≤a≤…≤a，≥≥…≥，
由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得
＋＋…＋＋≥a·＋a·＋…＋a·.
因此＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.
字母大小顺序不定的不等式证明
【例2】 设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.
[精彩点拨] (1)题目涉及到与排序有关的不等式；
(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．
[自主解答] 不妨设00<≤≤，
由排序原理：乱序和≤顺序和，得
a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·，
a3·＋b3·＋c3·≤a3·＋b3·＋c3·.
将上面两式相加得
＋＋≤2，
将不等式两边除以2，
得＋＋≤＋＋.
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论．
2．本例的条件不变，试证明：＋＋≥a＋b＋c.
[证明] 不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2，≥≥，则a2·＋b2·＋c2·(乱序和)
≥a2·＋b2·＋c2·(反序和)，
同理，b2·＋c2·＋a2·(乱序和)
≥a2·＋b2·＋c2·(反序和)．
两式相加再除以2，可得a＋b＋c≤＋＋.
利用排序不等式求最值
【例3】 设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．
[精彩点拨] 由对称性，不妨设a≥b≥c>0，注意到＋＝1，设法构造数组，利用排序不等式求解．
[自主解答] 不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，≥≥，
由排序不等式得，
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
上两式相加，则2≥3，
即＋＋≥.
当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.
1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．
2．运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．
3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．
[解] 不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.
由排序不等式，乱序和≥反序和．
＋＋≥x2·＋y2·＋z2·＝x＋y＋z.
又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，
当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．
故t＝＋＋的最小值为1.
排序不等式的特点
[探究问题]
1．排序不等式的本质含义是什么？
[提示] 排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列．
2．排序原理的思想是什么？
[提示] 在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．
【例4】 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
[精彩点拨] 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．
[自主解答] 设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，
由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，
所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．
1．首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．
2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．
4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？
[解] 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟)．
即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少．
1．设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则＋＋的最小值为( )
A．3 B．6
C．9 D．12
[解析] 由题意，不妨设a1≥a2≥a3>0，则≥≥>0，∴＋＋≥＋＋＝3，
当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立．
[答案] A
2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P[解析] 不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0.
由排序不等式得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.
∴P≥Q.
[答案] B
3．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D．不能确定
[解析] 不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有
Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝＝P.
[答案] C
4．若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
[解析] 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小．
∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
[答案] 32 28
5．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.
[证明] ∵a≥b≥c≥0，∴a5≥b5≥c5，
≥≥＞0，∴≥≥，
∴≥≥，
由顺序和≥乱序和得
＋＋≥＋＋
＝＋＋，
∴＋＋≥
＋＋.
课件41张PPT。第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用2.2 排序不等式乱序和顺序和反序和用排序不等式证明不等式(字母大小已定)字母大小顺序不定的不等式证明 利用排序不等式求最值 排序不等式的特点 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 排序不等式
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．一组实数为a1，a2，a3，设c1，c2，c3是另一组数b1，b2，b3的任一排列，则a1c1＋a2c2＋a3c3有( )
A．最大值a1b1＋a2b2＋a3b3，最小值a1b3＋a2b2＋a3b1
B．最大值a1b2＋a2b3＋a3b1，最小值a1b3＋a2b1＋a3b2
C．最大值与最小值相等为a1b1＋a2b2＋a3b3
D．以上答案都不对
[解析] a1，a2，a3与b1，b2，b3的大小顺序不知，无法确定其最值．
[答案] D
2．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花多少钱( )
A．6元 B．19元
C．25元 D．3元
[解析] 由排序原理可知：
花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．
[答案] B
3．设a，b都是正数，P＝＋，Q＝＋，则( )
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．P[解析] 由题意不妨设a≥b>0，则a2≥b2，≥，
∴≥.
根据排序不等式，知×＋×≥×＋×，即＋≥＋，
∴P≥Q.
当且仅当a＝b时，取“＝”号．
[答案] A
4．已知a，b，c为正数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D．小于等于零
[解析] 设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序原理，得a3×a＋b3×b＋c3×c
≥a3b＋b3c＋c3a.
又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
∴a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
[答案] B
5．设a1，a2，…，an都是正数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，P＝ab＋ab＋…＋ab，Q＝a1＋a2＋…＋an，则P与Q的大小关系是( )
A．P＝Q B．P＞Q
C．P＜Q D．P≥Q
[解析] 设a1≥a2≥…≥an＞0，
可知a≥a≥…≥a，a≥aa≥…≥a.
由排序不等式，得
ab＋ab＋…＋ab≥aa＋aa＋…＋aa，
即ab＋ab＋…＋ab≥a1＋a2＋…＋an.
∴P≥Q，当且仅当a1＝a2＝…＝an＞0时等号成立．
[答案] D
二、填空题
6．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是________．
[解析] a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，
最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，
∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是[20,30]．
[答案] [20,30]
7．已知a＋b＋c＝1，a，b，c为正数．则＋＋的最小值是________．
[解析] 不妨设a≥b≥c，∴≥≥，
∴＋＋≥＋＋， ①
＋＋≥＋＋. ②
①＋②得＋＋≥，
∴＋＋≥.
[答案]
8．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则＋＋…＋与n的大小关系是________．
[解析] 不妨设00时等号成立．
[答案] ＋＋…＋≥n
三、解答题
9．设a，b，c为大于0，求证：
(1)a3＋b3≥ab(a＋b)；
(2)＋＋≤.
[证明] (1)不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a，
∴a3＋b3≥ab(a＋b)．
(2)由(1)知，同理b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
∴＋＋
≤＋＋
＝
＝·＝.
故原不等式得证．
10．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
[证明] ∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在上为增函数，y＝cos x在上为减函数，
∴0cos β>cos γ>0.
根据排序不等式：乱序和>反序和，得
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
故原不等式得证．
[能力提升练]
1．设a1，a2，a3为正数，E＝＋＋，F＝a1＋a2＋a3，则E，F的大小关系是( )
A．E＜F B．E≥F
C．E≤F D．E＞F
[解析] 不妨设a1≥a2≥a3＞0，于是0＜≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2.
由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
＋＋＝＋＋
≥·a1a3＋·a2a3＋·a1a2
＝a1＋a3＋a2，
即＋＋≥a1＋a2＋a3.
[答案] B
2．等差数列1,2,3，…，n，等比数列1，a，a2，a3，…，an－1(a＞1)，设c1，c2，…，cn是等比数列的任一排列，则c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn的最大值为________．
[解析] ∵a＞1，∴1＜a＜a2＜…＜an－1.
由排序不等式得c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn≤1·1＋2·a＋3·a2＋…＋n·an－1，设S＝1＋2a＋3a2＋…＋nan－1，由错位相减法求得S＝－.
[答案] －
