课件43张PPT。第2章 函 数2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性任意单调增函数或单调减函数单调单调区间利用函数图象求单调区间 函数单调性的判断与证明 单调性的应用 点击右图进入…Thank you for watching !课件48张PPT。第2章 函 数2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性
第2课时 函数的最大值、最小值ymax＝f(x0) 利用图象求函数的最值 利用单调性求函数的最值 二次函数求值域 点击右图进入…Thank you for watching !2.2 函数的简单性质
2.2.1 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)
2.会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)
3.会求函数的单调区间．(重点、难点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
1．单调增(减)函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I?A.
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1
(1)f(x1)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．
②I称为y＝f(x)的单调增区间．
(2)f(x1)>f(x2)
①称y＝f(x)在I上为单调减函数．
②I称为y＝f(x)的单调减区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？
[提示] 不能．如图所示，虽是f(－1)1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数在定义域上都具有单调性． ( )
(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”． ( )
(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．
(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．
(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．
2.函数f(x)的图象如图所示，则函数的单调递增区间是_____．
[－1,2] [在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴在[－1,2]上，f(x)为增函数．]
3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________．
a＜b [由减函数的定义知a＜b.]
利用函数图象求单调区间
【例1】 作出下列函数的图象，并写出单调区间．
(1)y＝x2－4；(2)y＝－；(3)f(x)＝
思路点拨：在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．
[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．
(1) (2) (3)
(1)y＝x2－4的单调递减区间为(－∞，0]，递增区间为[0，＋∞)．
(2)y＝－的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间．
(3)f(x)的单调增区间为(－∞，0]，[2，＋∞)，递减区间为[0,2]．
1．应用图象确定单调性时，应掌握各种基本函数的图象的形状，并能通过图象的“上升”或“下降”趋势来找到函数的递增或递减区间，但应注意端点是否在定义域之内．
2．当函数的单调区间不唯一时，中间用“，”隔开，或用“和”连接，但不能用“或”和“∪”连接．
1．函数f(x)＝－x2＋|x|(x∈R)的单调递增区间为________．
， [(1)f(x)＝－x2＋|x|＝
图象如图所示：
∴f(x)的单调增区间为，.]
函数单调性的判断与证明
【例2】 用定义证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上是减函数．
思路点拨：解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．
[证明] 设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵－1＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
∴＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
用定义证明(判断)函数单调性的步骤
2．证明函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．
[证明] 任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.
又x1∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
单调性的应用
[探究问题]
1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？
[提示] 先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x12．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？
[提示] 能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．
【例3】 已知函数f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f(x－2)思路点拨：根据单调性可以去掉f，还应考虑定义域．
[∵f(x)是定义在[－2,2]上的增函数，且f(x－2)∴x－2<1－x，∴x<.
又f(x)的定义域为[－2,2]，
∴
∴∴0≤x≤3，综上，0≤x<.]
1．利用函数单调性的定义比较大小，一方面是正向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2.当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
3．已知f(x)在R上为减函数且f(2m)≥f(9－m)，则m的取值范围是________．
m≤3 [由题意可得2m≤9－m，∴m≤3.]
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)x2)．
(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性．
2．单调性的判断方法
(1)定义法：利用定义严格判断．
(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．
(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”.
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|
A [函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故B、C、D错误．]
2.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调减区间为____．
[由题图知，f(x)在上图象呈下降趋势，∴单调减区间为.]
3．若函数f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为________．
k＜2 [∵f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，
∴k－2＜0，∴k＜2.]
4．已知函数f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
(1)判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性；
(2)解不等式：f＜f(x＋1 008)．
[解] (1)设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·.
由1≤x1＜x2得x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
(2)∵f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f ＜f(x＋1 008)?
解得≤x＜，故原不等式的解集为.
第2课时 函数的最大值、最小值
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)
2.会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)
通过学习本节内容，培养学生的直观想象和逻辑推理素养.
1．函数的最大值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．
2．函数的最小值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
思考：函数的最值与值域是一回事吗？
[提示] 不是．最值与值域是不同的，值域是一个集合，而最值只是这个集合中的一个元素．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝－x2≤1总成立，故f(x)的最大值为1. ( )
(2)若函数f(x)在定义域内存在无数个x使得f(x)≤M成立，则f(x)的最大值为M. ( )
(3)函数f(x)＝x的最大值为＋∞. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)×.因为在定义域内找不到x使得x2＝－1成立．
(2)×.因为“无数”并非“所有”，故不正确．
(3)×.“＋∞”不是一个具体数．
2.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值是_________．
[答案] －1
3．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值是____________．
3 [根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.]
4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是__________．
[答案] 4
5．函数y＝在[2,6]上的最大值与最小值之和等于__________．
[函数y＝在区间[2,6]上是减函数，当x＝2时取得最大值，当x＝6时取得最小值，＋＝.]
利用图象求函数的最值
【例1】 求函数y＝|x＋1|＋|x－2|(－2≤x≤4)的最值．
思路点拨：先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．
[解] 原函数y＝|x＋1|＋|x－2|＝图象如图．
故函数的最小值为3，最大值为7.
用图象法求最值的一般步骤
(1)已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.
(2)函数f(x)＝的最大值是________．
(1)1 (2)3 [(1)f(x)＝在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1)＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.
(2)作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.
]
利用单调性求函数的最值
【例2】 已知函数f(x)＝.
(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数；
(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．
思路点拨：(1)利用单调性的定义证明．
(2)利用(1)的结论求最值．
[解] (1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为1所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．
(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为单调递减函数，
所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值；
在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值.
(变条件)求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值．
[解] 任取x1，x2∈[－4，－3]且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x1，x2∈[－4，－3]，∴x1－1<0，x2－1<0.
又x10，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[－4，－3]上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝，
f(x)min＝f(－3)＝，
∴f(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为.
1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．
2．函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；
(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．
二次函数求值域
[探究问题]
1.如图是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f(x)的单调性．
[提示] f(x)在[－1,0]上单调递减；
在上单调递增；
在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．
2．结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．
[提示] 结合图象的单调性，可得
x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(0)＝0.
x∈时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f ＝－.
x∈[0,3]时，f(x)max＝f(3)＝3，f(x)min＝f(1)＝－1.
3．通过探究2，分析函数f(x)取最值时的x与对称轴的距离有什么关系？
[提示] 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．
【例3】 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．
思路点拨：f(x)的对称轴是x＝a，a是运动变化的，故求最值时，应该讨论a与区间[2,4]的关系，进而确定单调性和最值．
[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
1．(变设问)在本例条件下，求f(x)的最大值．
[解] ∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a≤3时，f(x)max＝f(4)＝18－8a，
当a>3时，f(x)max＝f(2)＝6－4a.
∴f(x)max＝
2．(变设问)在本例条件下，若f(x)的最小值为2，求a 的值．
[解] 由本例解析知f(x)min＝
当a<2时，6－4a＝2，a＝1；
当2≤a≤4时，2－a2＝2，a＝0(舍去)；
当a>4时，若18－8a＝2，a＝2(舍去)．
∴a的值为1.
3．(变条件，变设问)本例条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
又f(x)max＝
(1)当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.
(2)当a>3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a>3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．
求二次函数的最大?小?值有两种类型：一是函数定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大?小?值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大?小?值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置?在区间内，在区间左侧，在区间右侧?来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调，则y＝f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．对二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[p，q]上的最值问题可作如下讨论：
①对称轴x＝h在区间[p，q]的左侧，
即当h②对称轴x＝h在区间[p，q]之间，
即当p≤h≤q时，f(x)min＝f(h)＝k；
当p≤h<时，f(x)max＝f(q)，当h＝时，f(x)max＝f(p)＝f(q)，当③对称轴x＝h在区间[p，q]的右侧，
即当h>q时，f(x)max＝f(p)，f(x)min＝f(q).
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．0 B．－
C． D．－1
C [∵函数y＝－x＋1在区间上是减函数，
∴f(x)max＝f ＝－＋1＝.]
2．函数f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________．
(－∞，0)∪ [函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x∈(－∞，1)∪[2,5)，
所以y∈(－∞，0)∪.]
3．函数y＝x2－2x－1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________．
0 [∵y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
∴函数的对称轴为x＝1，∴函数在区间[0,1]上为减函数，在区间[1,3]上为增函数．
∴当x＝1时，函数取最小值－2，当x＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.]
4．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f(x)在[1,2]上的值域．
[解] ∵f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f(x)＝4x2－mx＋1的对称轴方程x＝＝－2，即m＝－16.
又[1,2]?[－2，＋∞)，且f(x)在[－2，＋∞)上递增．
∴f(x)在[1,2]上递增，
∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝4－m＋1＝21；
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝16－2m＋1＝49.
∴f(x)在[1,2]上的值域为[21,49]．
课时分层作业(十) 函数的最大值、最小值
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则关于f(x)的最值的说法正确的是( )
A．只有最大值
B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值
D．既无最大值，又无最小值
D [f(x)＝画出图象(略)可知，既无最大值又无最小值．]
2．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A．0 B．±2
C．2 D．－2
B [由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.]
3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
A [B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值．]
4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为( )
A．[－2,2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．[－2,2)
A [f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a<0 D．a≤0
C [令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如下：
∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0.
而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.]
二、填空题
6．函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．
－2 0 [f(x)＝图象如图．
由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；
x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0.]
7．已知函数f(x)的值域为，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为________．
[∵≤f(x)≤，∴≤≤.
令t＝，
则f(x)＝(1－t2)，
令y＝g(x)，则y＝(1－t2)＋t，
即y＝－(t－1)2＋1.
∴当t＝时，y有最小值；当t＝时，y有最大值.
∴g(x)的值域为.]
8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．
2≤m≤4 [f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．
由最小值为1知m≥2.
由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.]
三、解答题
9．若函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，求a和b的值．
[解] y＝－x2＋6x＋9＝－(x－3)2＋18，图象对称轴为直线x＝3，开口向下，因为a＜b＜3，所以[a，b]是函数的单调递增区间，故f(a)＝－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2或a＝8(舍去)；f(b)＝－b2＋6b＋9＝9，解得b＝0或b＝6(舍去)．
所以a和b的值分别为－2和0.
10．已知函数f(x)＝(x∈[2，＋∞))，
(1)求f(x)的最小值；
(2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
∵x1又∵x1≥2，x2≥2，∴x1x2>4,1－>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝.
(2)∵f(x)的最小值为f(2)＝，
∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a<.
[等级过关练]
1．定义新运算“”：当a≥b时，ab＝a；当aA．－2 B．－1
C．0 D．6
D [由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，
当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.]
2．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝若f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min(f(x)，g(x))的最大值为________．
3 [f(x)－g(x)＝4－x2－3x，
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f(x)≥g(x)．
当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4时，f(x)＜g(x)，
所以min(f(x)，g(x))＝作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A处取得，最大值为f(1)＝3.]
3．如果函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＋f ＋f ＋…＋f ＝________.
0 [∵f(x)＋f ＝＋＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＋f ＋f ＋…＋f ＝f(1)＋＋…＋f(2 018)＋f ＝0.]
4．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[解] y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
(1)∵对称轴x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，y有最小值，
ymin＝f(1)＝1.
∵f(0)＝2ymax＝f(4)＝10.
(2)∵1[2,3]，且1<2，∴f(x)在[2,3]上是单调增函数，
∴当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝2，
当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝5.
(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，
当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，
g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.∴g(t)＝
课时分层作业(九) 函数的单调性
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(|x|)的图象为( )
B [函数y＝f(|x|)的图象可以由函数y＝f(x)的图象删除y轴左侧图象，保留y轴右侧图象并将保留的图象沿y轴对翻到左侧即可．故选B.]
2．下列函数中，在[1，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝(x－2)2 B．y＝|x－1|
C．y＝ D．y＝－(x＋1)2
B [A中，y＝(x－2)2在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，故错误；B中，y＝|x－1|＝在[1，＋∞)上为增函数，故正确；选项C，D中，函数在[1，＋∞)上为减函数，故错误．故选B.]
3．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数
C [由＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．]
4．已知f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f(a2－a＋1)与f 的大小关系是( )
A．f(a2－a＋1)>f
B．f(a2－a＋1)≤f
C．f(a2－a＋1)≥f
D．f(a2－a＋1)B [由题意知a2－a＋1＝＋≥.
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f .故选B.]
5．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是( )
B [因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以：
①当a＝0，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a＞0时，－≥0?b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a＜0时，－>0?b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D.故y＝2ax＋b的图象不可能是B.]
二、填空题
6.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
[－2,1]，[3,5] [－5，－2]，[1,3] [增区间为[－2,1]，[3,5]，减区间为[－5，－2]，[1,3]．]
7．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是________．
[由题意，得
解得2≤x＜，故满足条件的x的取值范围是2≤x＜.]
8．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
[f(x)＝＝＝a＋在区间(－2，＋∞)上是增函数，结合反比例函数性质可知1－2a<0，
∴a>，则a的取值范围是.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)证明函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
[解] (1)由题意知x＋1≠0，
即x≠－1.
所以f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f(x)＝＝2－，
∴f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵x10.
又∵x1，x2∈[1，＋∞)，
∴x2＋1>0，x1＋1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x2)>f(x1)．
∴函数f(x)＝在[1，＋∞)上是单调增函数．
10．作出函数f(x)＝＋的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
[解] 原函数可化为f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝
图象如图所示．
由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，[3，＋∞)．
其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[3，＋∞)．
[等级过关练]
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C [由函数f(x)是减函数且f 1.解得－12．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2A．{x|－3C．{x|－3A [∵f(－3)＝2，f(0)＝－2，
∴f(0)∵f(x)在R上是减函数，∴0>x>－3，
故不等式的解集为{x|－33．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
(－∞，1]∪[2，＋∞) [f(x)的对称轴为x＝m，要使f(x)在[1,2]上单调，则m不能在区间[1,2]内部，∴m≥2或m≤1.]
4．讨论函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
[解] f(x)＝＝a＋，
设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(1－2a)，
∵－20，
又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，则1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．
(2)若a>，则1－2a<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
综上，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；
当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．
