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高中数学
苏教版
必修1
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.2 指数函数
苏教版数学必修1(课件2份+教案+练习)3.1.2 指数函数
文档属性
名称
苏教版数学必修1(课件2份+教案+练习)3.1.2 指数函数
格式
zip
文件大小
6.4MB
资源类型
教案
版本资源
苏教版
科目
数学
更新时间
2019-09-29 11:09:19
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文档简介
3.1.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解指数函数的概念.(重点)
2.掌握指数函数的图象和性质.(重点)
3.能够利用指数函数的图象和性质解题.(重点、难点)
4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.
通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养.
1.指数函数的概念
一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,它的定义域是R.
2.指数函数的图象和性质
a>1
0
图象
性质
定义域
R
值域
(0,+∞)
定点
图象过点(0,1),即x=0时,y=1
函数值的变化
x>0时,y>1;
x<0时,0
x>0时,0
x<0时,y>1
单调性
在(-∞,+∞)上是单调增函数
在(-∞,+∞)上是单调减函数
奇偶性
非奇非偶函数
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数y=3·2x是指数函数. ( )
(2)指数函数的图象与x轴永不相交. ( )
(3)函数y=2-x在R上为增函数. ( )
(4)当a>1时,对于任意x∈R总有ax>1.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
[提示] (1)y=3·2x的系数为3,故y=3·2x不是指数函数.
(2)指数函数的值域为(0,+∞),故它与x轴不相交.
(3)y=2-x=是减函数.
(4)a>1时,若x<0,则ax<1.
2.下列函数中,是指数函数的为________.(填序号)
(1)y=2x+2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=πx;
(5)y=x2;(6)y=(a-1)x(a>1,且a≠2).
(4)(6) [只有(4),(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;(1)中解析式可变形为y=2x·22=4·2x,不满足指数函数的形式;(2)中底数为负,所以不是;(3)中解析式中多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令b=a-1,则y=bx,b>0且b≠1,所以是.]
3.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象过点(2,9),则f(x)=________.
3x [由于a2=9,∴a=±3.∵a>0,∴a=3,
∴f(x)=3x.]
指数函数的概念
【例1】 函数f(x)=(a2-7a+7)ax是指数函数,求实数a的值.
思路点拨:利用指数函数的定义求解.
[解] ∵函数f(x)=(a2-7a+7)ax是指数函数,
∴∴
∴a=6,即a的值为6.
指数函数具有以下特征:①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;②指数位置是自变量x,且x的系数是1;③ax的系数是1.
1.已知y=(2a-1)x是指数函数,则a的取值范围是________.
[要使y=(2a-1)x是指数函数,则2a-1>0且2a-1≠1,
∴a>且a≠1.]
利用单调性比较大小
【例2】 比较下列各组数的大小:
(1)与;(2)与1;(3)0.6-2与;(4)与3-0.2.
思路点拨:观察底是否相同(或能化成底相同),若相同用单调性,否则结合图象或中间值来比较大小.
[解] (1)0<<1,y=在定义域R内是减函数.
又∵-1.8>-2.6,
∴<.
(2)∵0<<1,∴y=在定义域R内是减函数.
又∵-<0,
∴>=1,
∴>1.
(3)∵0.6-2>0.60=1,<=1,
∴0.6-2>.
(4)∵=3-0.3,y=3x在定义域R内是增函数,
又∵-0.3<-0.2,
∴3-0.3<3-0.2,∴<3-0.2.
在进行指数式的大小比较时,可以归纳为以下三类:
?1?底数同、指数不同:利用指数函数的单调性解决.
?2?底数不同、指数同:利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象,依据底数a对指数函数图象的影响,逆时针方向底数在增大,然后观察指数取值对应的函数值即可.
?3?底数不同、指数也不同:采用介值法.以其中一个的底为底,以另一个的指数为指数.比如ac与bd,可取ad,前者利用单调性,后者利用图象.
2.比较下列各组数的大小:
(1)1.9-π与1.9-3;
(2)0.60.4与0.40.6;
(3),2,,.
[解] (1)由于指数函数y=1.9x在R上单调递增,而-π<-3,
∴1.9-π<1.9-3.
(2)∵y=0.6x在R上递减,
∴0.60.4>0.60.6.
又在y轴右侧,函数y=0.6x的图象在y=0.4x图象的上方,
∴0.60.6>0.40.6,∴0.60.4>0.40.6.
(3)∵<0,>1,2>1,0<<1,
又在y轴右侧,函数y=的图象在y=4x的下方,
∴<4=2,
∴<<<2.
利用单调性解指数不等式
【例3】 (1)已知4≥2x+1>2,求x的取值范围;
(2)已知0.3x>,求x+y的符号.
思路点拨:化为同底,利用指数函数的单调性求解.
[解] (1)∵4=22,∴原式化为22≥2x+1>2.
∵y=2x是单调递增的,∴2≥x+1>,
∴-
∴x的取值范围为.
(2)(0.3)x>==0.3-y.
∵y=0.3x是减函数,∴x<-y,∴x+y<0.
1.形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.
2.形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.
3.(1)若例3题(1)改为4≥>2,则x的取值范围为_____.
(2)解关于x的不等式a3x-2≤ax+2,(a>0且a≠1).
(1) [∵2<2-(x+1)≤22,又y=2x是增函数,∴<-(x+1)≤2,解得-3≤x<-.]
(2)[解] ①当a>1时,3x-2≤x+2,∴x≤2.
②当0
综上,当a>1时,不等式的解集为{x|x≤2},
当0
图象变换及其应用
[探究问题]
1.在同一坐标系中作出y=2x,y=2x+1,y=2x+1+2的图象,在另一坐标系中做出y=2x,y=2x-1,y=2x-1-2的图象,结合以前所学的知识,归纳出图象变换的规律.
[提示]
结论:y=2x+1的图象是由y=2x的图象向左平移1个单位得到;
y=2x+1+2的图象是由y=2x+1的图象再向上平移2个单位得到;
y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到;
y=2x-1-2的图象是由y=2x-1的图象再向下平移2个单位得到.
2.在同一坐标系中,做出y=2x-1,y=3x-1,y=-1的图象,它们有公共点吗?坐标是什么?能否由此得出结论y=ax-1均过该点.在另一坐标系中,做出y=2x+1-1,y=3x+1-1,y=-1的图象,它们有公共点吗?坐标是什么,能得出y=ax+1-1均过该点的结论吗?由以上两点,能否说明形如y=ax+m+n(m,n>0)的图象经过的定点是什么?
[提示]
结论:y=2x-1,y=3x-1,y=-1都过定点(0,0),且y=ax-1也总过定点(0,0).y=2x+1-1,y=3x+1-1,y=-1都过定点(-1,0),且y=ax+1-1也总过定点(-1,0).综上得y=ax+m+n的图象经过定点(-m,1+n).
3.除去用图象变换的方法外,还有无其它方式寻找定点.如y=4a2x-4+3是否过定点.
[提示] 还可以整体代换.
将y=4a2x-4+3变形为=a2x-4.
令?即y=4a2x-4+3过定点(2,7).
【例4】 (1)函数y=3-x的图象是________.(填序号)
(2)已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过第________象限.
(3)函数f(x)=2ax+1-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点________.
思路点拨:题(1)中可将y=3-x转化为y=.
题(2)中,函数y=ax+b的图象过点(0,1+b),
因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上.
题(3)应该根据指数函数经过定点求解.
(1)② (2)一 (3)(-1,-1) [(1)y=3-x=为单调递减的指数函数,其图象为②.
(2)函数y=ax(0<a<1)在R上单调递减,图象过定点(0,1),所以函数y=ax+b的图象在R上单调递减,且过点(0,1+b).因为b<-1,所以点(0,1+b)在y轴负半轴上,故图象不经过第一象限.
(3)令x+1=0,得x=-1,此时y=2a0-3=-1,故图象恒过定点(-1,-1).]
1.处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1).
(2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).
(3)利用函数的性质:奇偶性与单调性.
2.指数型函数图象过定点问题的处理方法
求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为0,求出对应的y的值,即可得函数图象所过的定点.
4.函数y=f(x)=ax+2-(a>1)的图象必过定点______,其图象必不过第________象限.
四 [y=ax(a>1)在R上单调递增,必过(0,1)点,故求f(x)所过的定点时可以令?即定点坐标为.结合图象(略)可知,f(x)的图象必在第一、二、三象限,不在第四象限.]
1.判断一个函数是不是指数函数,关键是看解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构形式,即ax的系数是1,指数是x且系数为1.
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0
3.指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),且f(0)=1.
4.在y轴右侧,底数a越大,图象越靠近y轴.
1.下列所给函数中为指数函数的是( )
①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=4x2;⑥y=x2;⑦y=(2a-1)x.
A.①③ B.②④⑥
C.①⑦ D.①④⑦
C [形如y=ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数,故①⑦是指数函数.]
2.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是________.
(1,2) [由题意可知,0<2-a<1,即1
3.函数y=ax-5+1(a≠0)的图象必经过点________.
(5,2) [指数函数的图象必过点(0,1),即a0=1,由此变形得a5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2).]
4.画出函数y=2|x|的图象,观察其图象有什么特征?根据图象指出其值域和单调区间.
[解] 当x≥0时y=2|x|=2x;
当x<0时y=2|x|=.
∴函数y=2|x|的图象如图所示,
由图象可知,y=2|x|的图象关于y轴对称,值域是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0],单调递增区间是[0,+∞).
课件49张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数
3.1.2 指数函数
第1课时 指数函数的概念、图象与性质2345R 6(0,+∞) (0,1)01y>10
1增函数减函数789101112指数函数的概念 131415利用单调性比较大小 161718192021222324利用单调性解指数不等式 2526272829图象变换及其应用 30313233343536373839404142434445464748点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 指数函数的图象与性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能掌握指数函数的图象和性质,会用指数函数的图象和性质解决相关的问题.(重点、难点)
2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题.(难点)
通过学习本节内容,培养学生的逻辑推理核心素养,提升学生的数学运算核心素养.
指数函数
形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数,这是一种非常有用的函数模型.
设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则y=N(1+p)x(x∈N).
某人于今年元旦到银行存款a万元,银行利率为月息p,则该人9月1日取款时,连本带利共可以取出金额为________.
a(1+p)8 [一个月后a(1+p),二个月后a(1+p)(1+p)=a(1+p)2,…
9月1日取款时共存款8个月,则本利和为a(1+p)8.]
求函数的定义域、值域
【例1】 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=2;(2)y=;(3)y=.
思路点拨:使式子的每个部分有意义,即可求得各自的定义域,求值域时要把函数予以分解,求指数的范围,再求整个函数的值域.
[解] (1)由x-4≠0,得x≠4,
故y=2的定义域为{x|x≠4}.
又≠0,即2≠1,
故y=2的值域为{y|y>0,且y≠1}.
(2)由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0,
∴y=的定义域为(-∞,0].
由0<2x≤1,得-1≤-2x<0,
∴0≤1-2x<1,
∴y=的值域为[0,1).
(3)y=的定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴≤=16.
又∵>0,
故函数y=的值域为(0,16].
1.对于y=af(x)这类函数
(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围.
(2)值域问题,应分以下两步求解:
①由定义域求出u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性或利用图象求得函数的值域.
2.对于y=m(ax)2+n(ax)+p(m≠0)这类函数值域问题.利用换元法,借助二次函数求解.
1.(1)函数f(x)=+的定义域为________.
(2)求函数y=4-x-21-x+1在x∈[-3,2]上的最大值和最小值.
(-3,0] [(1)由得-3
所以函数的定义域是(-3,0].]
(2)[解] y=4-x-21-x+1=-2·+1=,
∵x∈[-3,2],∴∈,
令t=,得y=(t-1)2,其中t∈,
∴y∈[0,49],即最大值为49,最小值为0.
指数函数的应用题
【例2】 某市现有人口总数为100万人,如果年平均增长率为1.2%,试解答下列问题:
(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式;
(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人).
思路点拨:本题考查有关增长率的问题,若设原来人口总数为N,年平均增长率为p,则对于x年后的人口总数y,可以用y=N(1+p)x表示.
[解] (1)1年后城市人口总数为:
y=100+100×1.2%=100(1+1.2%).
2年后城市人口总数为:
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%
=100(1+1.2%)2,
同理3年后城市人口总数为y=100(1+1.2%)3,
…
故x年后的城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为:
y=100(1+1.2%)10=100×1.01210≈100×1.127≈113(万人).
故10年后该城市人口总数约为113万人.
解决实际应用题的步骤
?1?领会题意,并把题中的普通语言转化为数学语言;
?2?根据题目要求,分析量与量之间的关系,建立恰当的函数模型,并注意对变量的限制条件,加以概括;
?3?对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理,求出解;
?4?检验:将数学问题的解代入实际问题检查,舍去不符合题意的解,并作答.
2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求出y关于x的函数解析式.
[解] 设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克.
经过1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数量为M(1+1.2%).
则人均占有粮食为千克,
经过2年后,人均占有粮食为千克,
…
经过x年后,人均占有粮食为y=千克,
即所求函数解析式为y=360 (x∈N*).
指数函数性质的综合应用
[探究问题]
通过指数函数y=2x,y=的图象,可以抽象出指数函数的性质有哪些?
[提示] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点
过点(0,1),即x=0时,y=1
函数值的变化
当x>0时,y>1;
当x<0时,0
当x>0时,0
当x<0时,y>1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
【例3】 已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围;
(3)求f(x)在[-1,2]上的值域.
思路点拨:(1)根据奇函数的定义,求出a,b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k的范围.(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域.
[解] (1)∵函数y=f(x)是定义域R上的奇函数,
∴
∴
∴b=1,a=2.
(2)由(1)知f(x)=
=-+,
设x1,x2∈R且x1
则f(x2)-f(x1)=-=<0,
∴f(x)在定义域R上为减函数,
由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
可得f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),
∴t2-2t>k-2t2,∴3t2-2t-k>0恒成立,
∴Δ=(-2)2+12k<0,解得k<-,
∴k的取值范围为.
(3)由(2)知f(x)在R上单调递减,
∴f(x)在[-1,2]上单调递减,
∴f(x)max=f(-1)=-+=,f(x)min=f(2)=-+=-,
∴f(x)的值域为.
与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值?值域?等问题,求解时可充分借助已学的知识逐项求解.
3.设a>0,函数f(x)=+是定义域为R的偶函数.
(1)求实数a的值;
(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
[解] (1)由f(x)=f(-x)
得+=+,
即4x+=0,
所以=0,
根据题意,可得-a=0,
又a>0,所以a=1.
(2)由(1)可知f(x)=4x+,
设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1
f(x1)-f(x2)=4+-4-
=(4-4).
因为0
所以4<4,所以4-4<0.
又x1+x2>0,
所以4 >1,
所以1-=>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)
于是知f(x)在(0,+∞)上是增函数.
复合函数的单调性
[探究问题]
1.y=2x的单调性如何?y=x+1呢?y=2x+1呢?
[提示] y=2x在R上单调递增,y=x+1在R上单调递增,y=2x+1在R上单调递增.
2.y=与y=的单调性分别如何?
[提示] y=单调递减,y=单调递减.
3.y=-x与y=2-x的单调性如何?
[提示] y=-x单调递减,y=2-x=单调递减.
4.由以上3个探究,我们可以对由y=f(u),u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))的单调性做出什么猜想.
[提示] y=f(g(x))可以由y=f(u),u=g(x)复合而成,复合而成的函数单调性与y=f(u),u=g(x)各自单调的关系为“同增异减”.即f 与g单调性相同,复合后单调递增,f 与g单调性不同,复合后单调递减.
5.用单调性的定义证明:当y=f(u),u=g(x)均单调递减时y=f(g(x))单调递增.
[提示] 任取x1,x2∈D且x1
∵g(x)单调递减,∴g(x1)>g(x2),即u1>u2,
又f(x)单调递减,∴f(u1)
即f(g(x1))
∴y=f(g(x))单调递增.
【例4】 判断f(x)=的单调性,并求其值域.
思路点拨:先确定u=x2-2x的值域、单调性,再确定f(x)=的单调性和值域.
[解] 令u=x2-2x,则原函数变为y=.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,
又∵y=在(-∞,+∞)上递减,
∴y=在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴y=,u∈[-1,+∞),
∴0<≤=3,
∴原函数的值域为(0,3].
1.(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[-1,2]”.判断f(x)的单调性,并求其值域.
[解] 由本例解析知,又x∈[-1,2],
∴f(x)=(x∈[-1,2])在[-1,1]上是增函数,在(1,2]上是减函数.
∵u=x2-2x(x∈[-1,2])的最小值、最大值分别为umin=-1,umax=3,∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)==3,f(-1)==.∴函数f(x)的值域为.
2.(变设问)在本例条件下,解不等式f(x)
[解] ∵f(x)
∴x2-2x>-1,
∴(x-1)2>0,∴x≠1,
∴不等式的解集为{x|x≠1}.
1.关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1),它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.其单调性由两点决定,一是底数a>1还是0
2.求这种指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性,其规则是“同增异减”.
1.比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小,可运用指数型函数y=ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”,若am
c且c>bn,则am>bn.
2.指数型函数单调性的应用
(1)形如y=af(x)的单调性:令u=f(x),x∈[m,n],如果两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,则函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上是减函数.
(2)形如ax>ay的不等式,当a>1时,ax>ay?x>y;当0
ay?x
1.函数f(x)=+的定义域为( )
A.(-5,0) B.[-5,0)
C.(-5,0] D.[-5,0]
C [令∴-5
2.函数f(x)=-1,x∈[-1,2]的值域为________.
[x∈[-1,2]时,∈,
∴f(x)∈.]
3.函数y=3的单调递减区间是________.
[0,+∞) [令y=3u,u=2-2x2,因为y=3u在R上单调递增,u=2-2x2在[0,+∞)上单调递减,所以y=3的单调递减区间是[0,+∞).]
4.设0≤x≤2,y=4-3×2x+5,试求该函数的最值.
[解] 令t=2x,0≤x≤2,
∴1≤t≤4.
则y=22x-1-3×2x+5=t2-3t+5.
又y=(t-3)2+,t∈[1,4],
∴y=(t-3)2+在[1,3]上是减函数,在t∈[3,4]上是增函数,
∴当t=3时,ymin=;
当t=1时,ymax=.
故函数的最大值为,最小值为.
课件54张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.1 指数函数
3.1.2 指数函数
第2课时 指数函数的图象与性质的应用234指数型N(1+p)x(x∈N) 567求函数的定义域、值域 891011121314指数函数的应用题 151617181920指数函数性质的综合应用 21222324252627282930313233复合函数的单调性 3435363738394041424344454647484950515253点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 指数函数的概念、图象与性质
(建议用时:60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.下列函数是指数函数的是( )
A.y=(-3)x B.y=22x+1
C.y=ax D.y=3x
D [A中y=(-3)x的底数-3<0,故A不是指数函数;B中y=22x+1的指数是2x+1,故B不是指数函数,C中y=ax的底数a可以为负数,故C不是指数函数,D为指数函数.]
2.函数y=的图象是( )
C [∵a=∈(0,1),∴y=是单调递减的,过(0,1)点,选C.]
3.方程4x+2x-2=0的解是( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
B [设2x=t,则原方程可化为t2+t-2=0,
解得t=-2或t=1,
由t>0,得t=1.
故2x=1,即x=0.]
4.已知集合M={-1,1},N=.则M∩N=( )
A.-1 B.0或-1
C.{-1} D.{0,-1}
C [∵<2x+1<4,
∴2-1<2x+1<22,
∴-1
又∵x∈Z,∴x=0或x=-1,
即N={0,-1},
∴M∩N={-1}.]
5.下列图中,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象只可能为( )
A [由指数函数y=的图象知0<<1,
∴a,b同号,二次函数y=ax2+bx的对称轴是直线
x=-,而0>->-,
∴B、C、D都不正确.]
二、填空题
6.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则y1,y2,y3的大小关系为________.
y1>y3>y2 [y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5.
∵y=2x在定义域内为增函数,且1.8>1.5>1.44,
∴y1>y3>y2.]
7.如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是________.
b
由图知c1>d1>a1>b1,
∴b
8.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a=________.
-3 [依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2,∵2x>0,∴a≤0,∴f(a)=a+1=-2,故a=-3.]
三、解答题
9.如果a2x+1≤ax-5(a>0,a≠1),求x的取值范围.
[解] ①当0<a<1时,由a2x+1≤ax-5知2x+1≥x-5,解得x≥-6.
②当a>1时,由a2x+1≤ax-5,
知2x+1≤x-5,解得x≤-6.
综上所述,当0<a<1时,x的取值范围为{x|x≥-6};
当a>1时,x的取值范围为{x|x≤-6}.
10.作出下列函数的简图.
(1)y=2x-1;(2)y=2-|x-1|;(3)y=|2x-1-1|.
[解] (1)y=2x-1的图象经过点,(1,1)和(2,2)且是增函数,它是由y=2x的图象向右平移1个单位得到的,如图(1).
(2)y=2-|x-1|=的图象关于直线x=1对称,当x≥1时是减函数,且与y=的图象相同,如图(2).
(3)y=|2x-1-1|的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位,再向下平移1个单位后,将x轴下方的图象沿x轴对折得到的.图象经过(1,0)及(2,1)点,如图(3).
[等级过关练]
1.函数y=|2x-2|的图象是( )
B [y=2x-2的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,故y=|2x-2|的图象是由y=2x-2的图象在x轴上方的部分不变,下方的部分对折到x轴的上方得到的.]
2.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为( )
A.[4,8] B.(4,8]
C.(4,8) D.[4,8)
D [因为f(x)在R上是增函数,
所以结合图象(略)知
解得4≤a<8.]
3.为了得到函数y=3×的图象,可以把函数y=的图象向________平移________个单位长度.
右 1 [y=3×=,将y=的图象右移1个单位即得y=的图象.]
4.已知a=,函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系为________.
m<n [∵0<<1,∴f(x)=ax=,
且f(x)在R上单调递减.
又∵f(m)>f(n),∴m<n.]
5.若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,求a的取值范围.
[解] 当a>1时,函数y=|ax-1|+1通过平移变换和翻折变换可得如图所示的图象(实线),
由图可知1<2a<2,
即
1矛盾.
当0
∴当直线y=2a与函数y=|ax-1|+1的图象有两个交点时a的取值范围是.
课时分层作业(十四) 指数函数的图象与性质的应用
(建议用时:60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.函数y=的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
A [由ax-1≥0,得ax≥1=a0,因为x∈(-∞,0],由指数函数的性质知0
2.函数y=的值域是( )
A.(0,2) B.(0,2]
C.[0,2) D.[0,2]
B [∵x2-1≥-1,∴y≤=2,又y>0,
∴y∈(0,2].]
3.若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0) B.(-1,0]
C.[-1,0) D.[-1,0]
D [依题意,2-1≥0对任意x∈R恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立,
∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0.]
4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,+∞)
C.[2,+∞) D.?
C [由f(1)=,得a2=,
所以a=,
即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,
所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.]
5.函数y=8-24-x(x≥0)的值域是( )
A.(-8,8) B.(-8,8]
C.[-8,8) D.[-8,8]
C [∵x≥0,∴4-x∈(-∞,4],∴24-x∈(0,16],∴8-24-x∈[-8,8).]
二、填空题
6.已知函数y=在[-2,-1]上的最小值是m,最大值为n,则m+n的值为________.
12 [∵y=在R上为减函数,
∴m==3,
n==9,
∴m+n=12.]
7.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留污垢不超过原来的1%,则至少要漂洗________次.
4 [设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的;经过第二次漂洗,存留量为第一次漂洗后的,也就是原来的;经过第三次漂洗,存留量为原来的;经过第四次漂洗,存留量为原来的,……,经过第x次漂洗,存留量为原来的.由题意得,≤,4x≥100,2x≥10,
∴x≥4,即至少漂洗4次.]
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-的解集是________.
(-∞,-1) [当x<0时,-x>0,
f(-x)=1-2x=-f(x),
则f(x)=2x-1.当x=0时,f(0)=0,
由f(x)<-,解得x<-1.]
三、解答题
9.已知函数f(x)=.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.
[解] (1)当a=-1时,f(x)=,
令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,
由于g(x)在[-2,+∞)上递减,
y=在R上是减函数,
∴f(x)在[-2,+∞)上是增函数,
即f(x)的单调增区间是[-2,+∞).
(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=,
由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1.
因此必有解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
10.一个人喝了少量酒后,血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少.为了保障交通安全,某地交通规则规定,驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL,那么喝了少量酒的驾驶员,至少要过几小时才能驾驶?(精确到1小时)
[解] 1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1-50%)mg/mL,…,x小时后其酒精含量为0.3(1-50%)x mg/mL,由题意知0.3(1-50%)x≤0.08,≤.采用估算法,x=1时,=>,x=2时,==<.由于是减函数,所以满足要求的x的最小整数为2.故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.
[等级过关练]
1.定义运算a?b=则函数f(x)=3-x?3x的值域为( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(0,1]
D [
由题设可得f(x)=3-x?3x=其图象如图实线所示,由图知函数f(x)的值域为(0,1].]
2.若函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a等于________.
[由题意知a>1,∴
解得a=.]
3.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)=________.
[∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
由f(x)+g(x)=ax-a-x+2, ①
得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2, ②
①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.
又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,
∴f(2)=22-2-2=.]
4.如果函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上有最大值14,试求a的值.
[解] 设t=ax,则原函数可化为y=(t+1)2-2,
对称轴为t=-1.
(1)若a>1,∵x∈[-1,1],∴-1<≤t≤a.
∵t=ax在[-1,1]上递增,y=(t+1)2-2在上也递增,
∴原函数在[-1,1]上递增.
故当x=1时,ymax=a2+2a-1.
由a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍去).
(2)若0
ymax=a-2+2a-1-1=14,
解得a=或a=-(舍去).
综上,a=或3.
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同课章节目录
第1章 集合
1.1 集合的含义及其表示
1.2 子集、全集、补集
1.3 交集、并集
第2章 函数
2.1 函数的概念
2.2 函数的简单性质
2.3 映射的概念
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.2 对数函数
3.3 幂函数
3.4 函数的应用
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