3.2 对数函数
3.2.1 对 数
第1课时 对数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数的概念．(重点)
2.能熟练地进行指数式与对数式的互化．(重点)
3.掌握常用对数与自然对数的定义.
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和数学运算的数学核心素养.
1．对数
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．常用对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数log10N，简记为lg_N.
3．自然对数
以e为底的对数称为自然对数．其中e＝2.718 28…是一个无理数，正数N的自然对数logeN，一般简记为ln_N.
4．几个特殊对数值
(1)loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1.(其中a＞0且a≠1)．
(2)对数恒等式：a＝N(a>0，a≠1，N>0)．
(3)零和负数没有对数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )
(2)对数式log32与log23的意义一样． ( )
(3)对数的运算实质是求幂指数． ( )
(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立． ( )
(5)lg 10＝ln e＝1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
[提示] (1)－2不能作底数；(2)log2 3与log3 2底数和真数均不同，意义不一样；(4)a>0且a≠1.
2．计算：log3 9＝________，2＝________.
2 3 [log3 9＝2,2＝3.]
3．(1)将log2 32＝5化成指数式，将3－3＝化成对数式；
(2)已知log4x＝－，求x；
(3)已知log2(log3x)＝1，求x；
(4)求log(3＋2)．
[解] (1)25＝32，log3＝－3.
(2)∵log4x＝－，∴x＝4－＝2－3＝.
(3)∵log2(log3x)＝1，∴log3x＝21＝2，∴x＝32＝9.
(4)设y＝log(3＋2)，则(－1)y＝3＋2＝(＋1)2＝(－1)－2，则y＝－2，即log(3＋2)＝－2.
对数的概念
【例1】 使对数log2a－2(10－4a)有意义的a的取值范围是________．
思路点拨：根据对数中底数和真数的取值范围求解．
∪ [要使log2a－2(10－4a)有意义，则?1
根据对数的定义，应满足底数大于0且不为1，真数大于0，列不等式组即可.
1．(1)使loga (3a－2)有意义的a的取值范围是________．
(2)使log(－3x＋6)有意义的x的取值范围是________．
(1) (2){x|x<2且x≠0} [(1)令?a>且a≠1.
(2)令?x<2且x≠0.]
指数式与对数式的互化
【例2】 (1)将下列各指数式改写成对数式：
①24＝16；②3－3＝；③5a＝20；④＝0.45.
(2)将下列各对数式改写成指数式：
①log16＝－4；②log2128＝7；
③lg 0.01＝－2；④ln 10＝2.303.
思路点拨：利用ax＝N?x＝loga N(a>0且a≠1)进行互化．
[解] (1)①24＝16?log216＝4.
②3－3＝?log3＝－3.
③5a＝20?log520＝a.
④＝0.45?log0.45＝b.
(2)①＝16.
②27＝128.
③10－2＝0.01.
④e2.303＝10.
1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有ax＝N?x＝logaN.
2．对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
2．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________．
①N＝a2与logNa＝2；
②log4＝4与()4＝4；
③＝64与log64＝－；
④logx＝z与xz＝y.
②④ [①N＝a2?loga N＝2(a>0且a≠1)；
③＝64?log64＝－3.]
3．设a＝log3 7，b＝log3 28，则32a－b＝________.
[由题知3a＝7,3b＝28，
∴32a－b＝＝＝＝.]
解指数、对数方程
[探究问题]
1．方程x＝42，x＝33的解是什么？如何解x＝ab型的方程．
[提示] x＝42＝16，x＝33＝27，
解x＝ab时按幂的运算法则计算即可．
2．方程x2＝4(x>0)，x3＝64的解是什么？如何解xk＝b(k∈Z)．
[提示] x2＝4，∴x＝＝2，
x3＝64，∴x＝＝4，
xk＝b，∴x＝
即可通过开方运算求解．
3．方程2x＝8的解是什么？2x＝7呢？如何解ax＝b(a>0，a≠1)．
[提示] ∵23＝8，∴2x＝8的解为x＝3，
2x＝7，∴x＝log2 7，
ax＝b，x＝loga b即将指数式化为对数式，将问题转化为计算对数值．
【例3】 解方程：
(1)9x＝27；(2)ex＝e2；(3)5＝25；
(4)log2(log3(log4x))＝0；(5)logx16＝－4；
(6)x＝－ln e－3.
思路点拨：利用对数的性质及指数式与对数式的互化来求解．
[解] (1)9x＝27，∴(32)x＝33，即32x＝33，
∴2x＝3，∴x＝.
(2)∵ex＝e2，∴x＝2.
(3)5＝2x－1＝25，∴x＝13.
(4)∵log2(log3(log4 x))＝0，∴log3(log4 x)＝20＝1，
∴log4 x＝31＝3，∴x＝43＝64.
(5)∵x－4＝16，∴＝16＝24，∴＝±2，∴x＝±.
又x>0，∴x＝.
(6)x＝－ln e－3，∴－x＝ln e－3，∴e－x＝e－3，
∴－x＝－3，∴x＝3.
解指数、对数方程时应注意：
(1)将对数式转化为指数式，构建方程转化为指数问题．
(2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算求解．
(3)x的取值范围是否在指对数式的互化中发生了改变．
4．求下列各式中的x值．
(1)log (3x2＋2x－1)＝1；(2)lg 0.001＝x；(3)logx 8＝3；(4)2＝.
[解] (1)由题知2x2－1＝3x2＋2x－1，得x＝0或x＝－2，
当x＝0时，2x2－1＝－1<0，∴x≠0，
当x＝－2时，符合题意，∴x＝－2.
(2)10x＝0.001＝10－3，∴x＝－3.
(3)x3＝8，∴x＝＝2.
(4)2＝x2＝，∴x＝±.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)a＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．在N＝log(10－b)(b－2)中，实数b的取值范围是________．
(2,9)∪(9,10) [令∴23．已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
12 [∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12.]
4．求值：
(1)23－log2 3；(2)eln 2＋ln 5；
(3)3＋3；(4)()．
[解] (1)原式＝23÷2＝8÷3＝.
(2)原式＝eln 2·eln 5＝2×5＝10.
(3)∵3＝，3＝，
∴原式＝＋＝.
(4)原式＝(()2)＝2
＝＝＝3.
课件39张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数
3.2.1 对 数
第1课时 对数的概念以a为底N的对数底数真数10自然对数无理数ln NN零和负数对数的概念 指数式与对数式的互化 解指数、对数方程 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 对数的运算性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)
2.了解换底公式.
3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.
1．符号表示
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaM n＝nlogaM(n∈R)；
(3)loga＝logaM－logaN.
2．文字表述
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；
(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．
3．换底公式
一般地，我们有logaN＝，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．
4．与换底公式有关的几个结论
(1)loga b·logb a＝1(a，b>0且a，b≠1)；
(2)logbn＝loga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( )
(2)logax·logay＝loga(x＋y)． ( )
(3)loga(－2)4＝4loga(－2)． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] 根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．
2．(1)log2 25－log2 ＝________；(2)log2 8＝________.
(1)2 (2)3 [(1)log2 25－log2 ＝log2 25×＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.
(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.]
3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.
[log75＝＝.]
对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值：
(1)lg 2＋lg 5；(2)log5 35＋2log－log5 －log5 14；(3)[(1－log6 3)2＋log6 2·log6 18]÷log6 4.
思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．
[解] (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.
(2)原式＝log5 ＋2log2＝log5 53－1＝2.
(3)原式＝[(log6 6－log6 3)2＋log6 2·log6(2·32)]÷log6 4
＝÷log6 22
＝[(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log6 2·log6 3]÷2log6 2
＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.
1．对于同底的对数的化简要用的方法
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．
2．注意对数的性质的应用，如loga 1＝0，loga a＝1，aloga N＝N.
3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．
1．计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)2log3 2－log3 ＋log3 8－5.
[解] (1)法一：原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10＝.
法二：原式＝lg －lg 4＋lg 7
＝lg ＝lg (·)＝lg ＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝2log3 2－(log3 32－log3 9)＋3log3 2－3＝2log3 2－5log3 2＋2＋3log3 2－3＝－1.
【例2】 化简：
(1)log2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；
(3)用loga x，loga y，loga z表示loga(xy2z)．
思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．
[解] (1)log2(28×82)＝log2[28×(23)2]＝log2(28＋3×2)＝log2 214＝14.
(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.
(3)loga(xy2z)＝loga x＋loga y2＋loga z＝loga x＋2loga y－loga z.
这类问题一般有两种处理方法
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意loga(MN)≠loga M·loga N，loga(M±N)≠loga M±loga N.
2．化简：
(1)log(45×82)；(2)log27－log9；
(3)用lg x，lg y，lg z表示lg .
[解] (1)log(45×82)＝log (210×26)＝log 216＝16log 2＝16×2＝32.
(2)log27－log9＝log＝log3＝－1.
(3)lg ＝lg x2＋lg －lg ＝2lg x＋lg y－lg z.
换底公式及其应用
【例3】 (1)已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________．
(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.
①求p；
②证明：－＝.
思路点拨：用换底公式统一底数再求解．
(1) [由3a＝5b＝c，得a＝log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5.又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝.]
(2)[解] ①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py，得2log3k＝plog4k，
解得p＝2log34＝4log32.
②证明：－＝－
＝logk6－logk3＝logk2，
而＝＝logk4＝logk2.
故－＝.
1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．
2．换底公式推导出的两个恒等式：
(1)logNn＝loga N；
(2)loga b·logb a＝1，要注意熟练应用．
3．计算：(log2 125＋log4 25＋log8 5)(log5 2＋log25 4＋log125 8)．
对数运算在实际问题中的应用
【例4】 2015年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．
[解] 设经过x年，我国国民生产总值是2015年的2倍．
经过1年，总产值为a(1＋8%)，
经过2年，总产值为a(1＋8%)2，
……
经过x年，总产值为a(1＋8%)x.
由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1.08x＝2，
两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，
则x＝≈≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．
解对数应用题的步骤
4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．
[解] 假设经过x年实现GDP比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x＝log1.078 4＝≈18.5.
答：约经过19年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标．
含对数式的方程的解法
[探究问题]
1．对数的运算性质有哪些？
[提示] loga (MN)＝loga M＋loga N，loga ＝loga M－loga N，loga b＝，loga M n＝nloga M，log bn
＝loga b.
2．解对数方程loga M＝loga N，应注意什么？
[提示]
【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求log
的值．
思路点拨：根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．
[解] lg x＋lg y＝lg (xy)＝2lg (x－2y)＝lg (x－2y)2，
由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
∴－5＋4＝0，
∴＝0，故＝1或4.
又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴＝4.
∴log ＝log 4＝－2.
解含对数式的方程应注意两点
(1)对数的运算性质；
(2)对数中底数和真数的范围限制．
5．解方程：
1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．
2．运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n；②loga(MN)＝logaM·logaN；③logaM±logaN＝loga(M±N)．
1．如a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是( )
A．logax＋logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax÷logay
D．loga(xy)＝logax＋logay
D [由对数的运算性质知D正确．]
2．已知lg 2＝a，lg 7＝b，那么用a，b表示log8 98＝________.
[log8 98＝＝＝.]
3．已知2m＝5n＝10，则＋＝________.
1 [因为m＝log2 10，n＝log5 10，所以＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]
4．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，求的值．
[解] 由已知条件得
即整理得
∴x－2y＝0，∴＝2.
课件48张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数
3.2.1 对 数
第2课时 对数的运算性质nlogaM(n∈R) 和减去n倍1对数运算性质的应用 换底公式及其应用 对数运算在实际问题中的应用 含对数式的方程的解法 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 对数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2，其中正确个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [lg(lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；ln(ln e)＝ln 1＝0，故②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；若e＝ln x，则x＝ee，故④错误．]
2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．8＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
C [由log39＝2，得32＝9，所以C不正确．]
3．若10α＝2，β＝lg 3，则100＝( )
A． B．
C．1 D．
D [∵β＝lg 3，∴10β＝3.
∴100＝＝＝＝.]
4．若log2(logx9)＝1，则x＝( )
A．－3 B．3
C．±3 D．9
B [由题意得，logx9＝2，
∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.]
5．方程9x－6·3x－7＝0，则x＝( )
A．log37 B．log73
C．7 D．－1
A [设3x＝t(t>0)，
则原方程可化为t2－6t－7＝0，
解得t＝7或t＝－1(舍去)，
即3x＝7.
∴x＝log37.]
二、填空题
6．已知log7(log3(log2 x))＝0，那么x＝________.
[由题意得，log3(log2 x)＝1，即log2 x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
]
7．若已知集合M＝{2，lg a}，则实数a的取值范围是___．
(0,100)∪(100，＋∞) [因为M＝{2，lg a}，所以lg a≠2.
所以a≠102＝100.又因为a＞0，
所以0＜a＜100或a＞100.]
8．若f(10x)＝x，则f(3)的值为________．
lg 3 [令t＝10x，则x＝lg t，
∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，
∴f(3)＝lg 3.]
三、解答题
9．求下列各式中的x.
(1)logx 27＝；
(2)log2 x＝－；
(3)logx (3＋2)＝－2；
(4)log5(log2 x)＝0；
(5)x＝log27 .
[解] (1)由logx 27＝，得x＝27，
∴x＝27＝32＝9.
(2)由log2 x＝－，得2＝x，
∴x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，
得3＋2＝x－2，
即x＝(3＋2)＝－1.
(4)由log5(log2 x)＝0，得log2 x＝1.
∴x＝21＝2.
(5)由x＝log27 ，得27x＝，
即33x＝3－2，∴x＝－.
10．计算下列各式：
(1)10lg 3－log41＋2；
(2)2＋3.
[解] (1)10lg 3－log41＋2＝3－0＋6＝9.
(2)2＋3＝22×2＋＝4×3＋＝12＋1＝13.
[等级过关练]
1．若loga＝c，则下列关系式中，正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a.
A [由loga＝c，得ac＝，
所以b＝(ac)5＝a5c.]
2．如果点P(lg a，lg b)关于x轴的对称点为(0，－1)，则a＝________，b＝________.
1 10 [易知lg a＝0，lg b＝1，
∴a＝1，b＝10.]
3．求值：＝________.
4．已知logab＝logba(a＞0，a≠1；b＞0，b≠1)，求证：a＝b或a＝.
课时分层作业(十六) 对数的运算性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．loga x·loga y＝loga(x＋y)
B．(loga x)n＝nloga x
C．＝loga
D．＝loga x－loga y
C [根据对数的运算性质知，C正确．]
2．若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则有( )
A．y∈(0,1) B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3) D．y∈(3,4)
B [∵y＝····＝＝log510，∴log553．已知a2＝(a>0)，则loga＝( )
A． B．
C． D．2
D [由a2＝(a>0)，得a＝，
所以log＝log＝2.]
4．设7a＝8b＝k，且＋＝1，则k＝( )
A．15 B．56
C． D．
B [∵7a＝k，∴a＝log7k.∵8b＝k，∴b＝log8k.
∴＋＝logk7＋logk8＝logk56＝1，∴k＝56.]
5．若lg x－lg y＝a，则lg －lg ＝( )
A．3a B．a3
C． D．
A [lg x－lg y＝lg ＝a，
lg －lg ＝lg －lg ＝lg ＝3lg ＝3a.]
二、填空题
6．若lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示log5 12等于________．
[log5 12＝＝＝.]
7．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
6 10 000 [由M＝lg A－lg A0知，M＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lg ＝lg A1－lg A2＝(lg A1－lg A0)－(lg A2－lg A0)＝9－5＝4.所以＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．]
8．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝______.
－b [因为f(x)＝lg，
所以f(a)＝lg＝b，
所以f(－a)＝lg＝lg
＝－b.]
三、解答题
9．计算：
(1)log5 35－2log5 ＋log5 7－log5 1.8；
(2)；
(3)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log5 7－log5 3)＋log5 7－log5 ＝log5 5＋log5 7－2log5 7＋2log5 3＋log5 7－2log5 3＋log5 5＝2log5 5＝2.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)
＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
10．(1)已知10a＝2,10b＝3，求1002a－b；
(2)设a＝lg 2，b＝lg 7，用a，b表示lg ，lg .
[解] (1)∵10a＝2，
∴lg 2＝a.
又∵10b＝3，∴lg 3＝b，
∴1002a－b＝100(2lg 2－lg 3)＝100＝10＝10＝.
(2)lg ＝lg 23－lg 7＝3lg 2－lg 7＝3a－b.
lg ＝lg (2×52)－lg (72)＝lg 2＋2lg 5－2lg 7
＝lg 2＋2(1－lg 2)－2lg 7
＝2－a－2b.
[等级过关练]
1．化简：＋log2 ＝( )
A．log23 B．2＋2log23
C．2－2log23 D．2＋2log2
C [＝＝2－log2 3.
∴原式＝2－log2 3＋log2 3－1＝2－2log2 3.]
2．若log5 ·log4 6·log6 x＝2，则x＝( )
A．25 B．
C．－25 D．－
B [log5 ·log4 6·log6 x＝·＝－log5 x＝2，∴log5 x＝－2，∴x＝5－2＝.]
3．设a表示的小数部分，则log2a(2a＋1)的值是_____．
－1 [＝，
可得a＝－1＝.
则log2a(2a＋1)＝log ＝log ＝－1.]
4．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·(logab＋logba)的值为________．
12 [原方程可化为：2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设lg x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0.
所以t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
则lg a＝t1，lg b＝t2，即lg a＋lg b＝2，
lg a·lg b＝.
lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.]
5．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[解] 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的，
根据题意得：0.75x＝，
∴x＝log0.75 ＝－＝－≈4.
故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
