3.2.2 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的图象和性质．(重点)
3.能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)
4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点)
通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.
1．对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．
2．对数函数的图象与性质
a>1
0
图象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)
在(0，＋∞)上是单调增函数
在(0，＋∞)上是单调减函数
3.反函数
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数y＝ax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．
一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数． ( )
(3)对数函数的图象一定在y轴右侧． ( )
(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)＝________.
3 [设f(x)＝loga x，则loga 4＝2，∴a2＝4，∴a＝2，
∴f(8)＝log2 8＝3.]
3．(1)函数f(x)＝的定义域是________．
(2)若对数函数y＝log(1－2a)x，x∈(0，＋∞)是增函数，则a的取值范围为________．
(3)若g(x)与f(x)＝2x互为反函数，则g(2)＝________.
(1){x|x>－1且x≠1} (2)(－∞，0) (3)1 [(1)?x>－1且x≠1.
(2)由题意得1－2a＞1，所以a＜0.
(3)f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)＝log2 x，
∴g(2)＝log2 2＝1.]
对数函数的概念
【例1】 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．
①y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
②y＝log2x－1；
③y＝2log8x；
④y＝logxa(x＞0，且x≠1)．
思路点拨：依据对数函数的定义来判断．
[解] ①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
②中对数式后减1，
∴不是对数函数；
③中log8x前的系数是2，而不是1，
∴不是对数函数；
④中底数是自变量x，而不是常数a，
∴不是对数函数．
一个函数是对数函数，必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1；
(2)底数为大于0且不等于1的常数；
(3)对数的真数仅有自变量x.
1．对数函数f(x)满足f(2)＝2，则f ＝________.
－2 [设f(x)＝loga x(a>0且a≠1)，
由题知f(2)＝loga 2＝2，故a2＝2，∴a＝或－(舍)．
∴f ＝log ＝－2.]
对数函数的定义域问题
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝logx－1(x＋2)；(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝(a>0且a≠1)．
思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．
[解] (1)由题知解得x>1且x≠2，
∴f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(2)由
得??0≤x<1.
∴函数的定义域为[0,1)．
(3)由题知?
∴x>1且x≠2.
故f(x)的定义域为{x|x>1且x≠2}．
(4)?
当a>1时，－a<－1.
由①得x＋a∴x<0.
∴f(x)的定义域为{x|－a当0由①得x＋a>a.
∴x>0.
∴f(x)的定义域为{x|x>0}．
故所求f(x)的定义域是：
当0当a>1时，x∈(－a,0)．
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.
2．(1)函数y＝ln (1－2x)的定义域为________．
(2)函数y＝的定义域为________．
(1) (2) [(1)由题知解得0≤x<，∴定义域为.
(2)由题知解得x>，∴定义域为{x|x>}.]
比较对数式的大小
[探究问题]
1．在同一坐标系中作出y＝log2 x，y＝logx，y＝lg x，y＝log0.1 x的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．
[提示] 图象如图．
结论：对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数02．函数y＝loga x，y＝logb x，y＝logc x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？
[提示] 由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logb x的图象在(1，＋∞)上比y＝logc x的图象靠近x轴，所以b3．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．
[提示] 在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．
【例3】 (1)比较下列各组数的大小：
①log3 与log5 ；②log1.1 0.7与log1.2 0.7.
(2)已知log b思路点拨：(1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．
(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．
[解] (1)①∵log3 log5 1＝0，
∴log3 ②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.7 1.1>log0.7 1.2.
∴<，
由换底公式可得log1.1 0.7法二：作出y＝log1.1 x与y＝log1.2 x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.1 0.7(2)∵y＝log x为减函数，且log b∴b>a>c.
而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.
比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
3．比较下列各组数的大小．
(1)log3 3.4，log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．
[解] (1)∵底数3>1，
∴y＝log3 x在(0，＋∞)上是增函数，于是log3 3.4(2)在同一坐标系内作出y＝log0.1 x与y＝log0.6 x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1 x的图象在函数y＝log0.6 x图象的上方，故log0.1 3>log0.6 3.
(3)∵log4 5>log4 4＝1，
log6 5∴log4 5>log6 5.
(4)①当0(lg m)2.1；
②当lg m＝1，即m＝10时，(lg m)1.9＝(lg m)2.1；
③当lg m>1，即m>10时，y＝(lg m)x在R上是增函数，
∴(lg m)1.9<(lg m)2.1.
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a>0，且a≠1)这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(2x) B．y＝log2 2x
C．y＝log2 x＋1 D．y＝lg x.
D [根据对数函数的定义，只有D是对数函数．]
2．函数y＝ln x的单调增区间是________________，反函数是____________．
(0，＋∞) y＝ex [y＝ln x的底为e>1，故y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y＝ex.]
3．函数y＝loga(2x－3)＋1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
(2,1) [函数可化为y－1＝loga(2x－3)，
可令解得即P(2,1)．]
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝log(2x－1)(－4x＋8)；
(3)y＝.
[解] (1)由题知即?x>－且x≠－.
所以定义域为.
(2)由题意得解得
所以y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为{x|(3)由题知
即0故定义域为{x|2课件45张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数
3.2.2 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象与性质(0，＋∞) (0，＋∞) (1,0) (0，＋∞) (0，＋∞)R 反函数y＝x对数函数的概念 对数函数的定义域问题 比较对数式的大小 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 对数函数的图象与性质的应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能正确判断图象之间的变换关系．(重点)
2.理解并掌握对数函数的单调性．(重点)
3.会用对数函数的相关性质解综合题．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
1．平移变换
当b＞0时，将y＝loga x的图象向左平移b个单位，得到y＝loga(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝loga(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝loga x的图象向上平移b个单位，得到y＝logax＋b的图象，将y＝logax的图象向下平移b个单位，得到y＝logax－b的图象．
2．对称变换
要得到y＝loga 的图象，应将y＝loga x的图象关于x轴对称．
为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点_______________．
向左平移3个单位，再向下平移1个单位 [y＝lg ＝lg (x＋3)－1，故将y＝lg x向左平移3个单位，再向下平移1个单位．]
对数函数的图象
【例1】 作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．
思路点拨：可先作出y＝log2 x的图象，再左移2个单位得到y＝log2 (x＋2)，通过翻折变换得到y＝|log2 (x＋2)|，再向上平移4个单位即可．
[解] 步骤如下：
(1)作出y＝log2 x的图象，如图(1)．
(2)将y＝log2 x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．
(3)将y＝log2 (x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．
(4)将y＝|log2 (x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x＋2)|＋4的图象，如图(4)．
由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．
1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.
2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：
y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.
从上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.
1．(1)若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)＝loga (x＋1)的图象大致是( )
(2)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logb x的图象可能是( )
(1)D (2)B [(1)因为函数f(x)＝a－x是定义域为R的增函数，所以0(2)由lg a＋lg b＝0，得lg (ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，
所以当01；当b>1时，0值域问题
【例2】 (1)已知函数f(x)＝2logx的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是________．
(2)若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
(3)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．
思路点拨：(1)中利用f(x)＝2logx在定义域[2,4]上为减函数求解．
(2)中y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上是单调函数．
(3)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．
(1)[－4，－2] (2) [∵f(x)＝2logx在[2,4]上为减函数，
∴x＝2时，f(x)max＝2log2＝－2；
x＝4时，f(x)min＝2log4＝－4.
∴f(x)的值域为[－4，－2]．
(2)由题意得
∴loga2＝－1，
解得a＝.]
(3)[解] ∵－x2－4x＋12＞0，
又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，
∴0＜－x2－4x＋12≤16，
故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，
∴函数的值域为(－∞，4]．
求函数值域或最大?小?值的常用方法
?1?直接法
根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域.
?2?配方法
当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的?形如y＝a[f?x?]2＋bf?x?＋c?，求函数值域问题时，可以用配方法.
?3?单调性法
根据在定义域?或定义域的某个子集?上的单调性，求出函数的值域.
?4?换元法
求形如y＝logaf?x?型函数值域的步骤：①换元，令u＝f?x?，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用y＝logau的单调性、图象，求出y的取值范围.
2．(1)函数f(x)＝log (9－x2)的单调增区间为________，值域为______．
(2)当x∈[3,27]时，函数f(x)＝log3 ·log3 的值域为________．
(1)(0,3) [－2，＋∞) (2) [(1)f(x)的定义域为9－x2>0?x2<9?－3当x∈(－3,0)时，u(x)＝9－x2单调递增，∴f(x)单调递减．
当x∈(0,3)时，u(x)＝9－x2单调递减，∴f(x)单调递增．
∵9－x2∈(0,9]，∴log (9－x2)≥log 9＝－2.
即函数的值域为[－2，＋∞)．
(2)f(x)＝log3 ·log3 ＝(log3 x－1)(log3 x－2)＝(log3 x)2－3log3 x＋2＝－，
令t＝log3 x，
∵x∈[3,27]，∴t∈[1,3]，
∴f(x)max＝－＝2，f(x)min＝－.
∴函数值域为.]
对数函数的综合问题
【例3】 已知函数f(x)＝lg (2－x)－lg (2＋x)．
(1)求值：f ＋f ；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断函数的单调性并用定义证明．
思路点拨：(1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．
[解] (1)f ＋f ＝lg －lg ＋lg －lg ＝0.
(2)?－2又f(－x)＝lg (2＋x)－lg (2－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)设－2f(x1)－f(x2)＝lg －lg ＝lg ，
∵(2－x1)(2＋x2)－(2＋x1)(2－x2)＝4(x2－x1)>0.
又(2－x1)(2＋x2)>0，(2＋x1)(2－x2)>0，
∴>1，
∴lg >0.
从而f(x1)>f(x2)，故f(x)在(－2,2)上为减函数．
对数函数性质的综合应用
1．常见的命题方式
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．
2．解此类问题的基本思路
首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．
3．已知函数f(x)＝loga (x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
[解] (1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m的取值范围为(－∞，0]．
解对数不等式(或方程)
[探究问题]
1．对数函数的单调性，内容是什么？
[提示] 对数函数y＝loga x，当a>1时，在(0，＋∞)上单调递增，当02．常数m能表示成对数形式吗？
[提示] 能．m＝loga am.
3．在y＝loga x中，a，x的要求是什么？
[提示] a>0且a≠1，x>0.
【例4】 已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．
思路点拨：根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论．
[解] ∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x>－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x<1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩{x|x<1}＝{x|－1∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．
1．(变条件)若f(x)变为loga(a>1)，求f(x)的定义域．
[解] 因为f(x)＝loga，
所以>0，即或
所以－1所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
2．(变设问)在本例条件下，若f(3)＝2，求使h(x)<0成立的x的集合．
[解] ∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)<0等价于log2(1＋x)∴
解得－1故使h(x)<0成立的x的集合为{x|－11．解对数方程不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．
2．当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁．
1．图象的左右平移是对自变量x作变化，和x前面的系数无关．如y＝lg 2x图象向左平移3个单位得y＝lg 2(x＋3)的图象，而不是y＝lg (2x＋3)的图象，上下平移是对函数值y作变化．
2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
1．若a>0且a≠1，则函数y＝loga (x＋1)＋1的图象恒过定点的坐标为( )
A．(－1,1) B．(2,1)
C．(0,1) D．(0，－1)
C [将y＝loga x左移1个单位，再上移1个单位，则得到y＝loga (x＋1)＋1的图象，由于y＝loga x过定点(1,0)，故y＝loga (x＋1)＋1过定点(0,1)．]
2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f(log2 x)的定义域为________．
[，16] [由题知x∈[－1,2]时，2x∈，
∴log2 x∈，∴x∈[，16]，
∴y＝f(log2 x)的定义域为[，16]．]
3．函数f(x)＝1＋log2 x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是________．(填序号)
③ [y＝log2 x的图象向上平移1个单位得到f(x)的图象，故f(x)必过点(1,1)，g(x)可由y＝2－x的图象右移1个单位得到，故g(x)必过点(1,1)．]
4．求函数y＝(log x)2－log x＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] ∵2≤x≤4，则由y＝log x在区间[2,4]上为减函数知，log 2≥log x≥log 4，即－2≤log x≤－1.
若设t＝log x，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.
而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，而[－2，－1]，所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；
当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.
课件48张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数
3.2.2 对数函数
第2课时 对数函数的图象与性质的应用左b右b上b下bx轴对数函数的图象 值域问题 对数函数的综合问题 解对数不等式(或方程 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十七) 对数函数的概念、图象与性质
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D [要使f(x)＝log2(x2＋2x－3)有意义，只需x2＋2x－3>0，即(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1.
∴函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]
2．函数f(x)＝log (2x＋1)的单调减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．
C． D．
C [∵y＝logu单调递减，u＝2x＋1单调递增，
∴在定义域上， f(x)单调递减，
故减区间为2x＋1>0，∴x>－.]
3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b的值是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
C [由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图象过(2,1)和(8,2)，
∴
∴解得
∴a＋b＝4.]
4．函数y＝x＋a与y＝loga x的示意图在同一坐标系中正确的是下列图象中的( )
B [由y＝x＋a的斜率为1，排除C，A、B中直线在y轴上截距大于1，但A中y＝loga x的图象反映01，但截距a<1矛盾．]
5．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝( )
A．3 B．－3
C．－ D．
C [设f(x)＝loga x，则loga 8＝－3，∴a－3＝8，
∴a3＝，∴a＝＝，∴f(x)＝log x，∴f(2)＝log (2)＝－log2 2＝－.]
二、填空题
6．函数f(x)＝loga(2x＋1)＋2(a>0且a≠1)必过定点________．
(0,2) [令得
即f(x)必过定点(0,2)．]
7．设a＝log3 6，b＝log5 10，c＝log7 14，则a，b，c的大小关系是________．
a>b>c [a＝log3 6＝log3 2＋1，b＝log5 10＝log5 2＋1，c＝log7 14＝log7 2＋1，
∵log3 2>log5 2>log7 2，
∴a>b>c.]
8．设函数f(x)＝log2 x的反函数为y＝g(x)，且g(a)＝，则a＝________.
－2 [g(x)是f(x)＝log2 x的反函数，∴g(x)＝2x，∴g(a)＝2a＝，∴a＝－2.]
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg (x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解] (1)由题知?x>2且x≠3，
故f(x)的定义域为{x|x>2且x≠3}．
(2)由题知?－1故f(x)的定义域为{x|－110．比较下列各组数的大小：
(1)log0.1 3与log0.1 π；
(2)3log4 5与2log2 3.
[解] (1)∵函数y＝log0.1 x是减函数，π>3，
∴log0.1 3>log0.1 π.
(2)∵3log4 5＝log4 53＝log4 125＝＝
log2 125＝log2 ，2log2 3＝log2 32＝log2 9，
又∵函数y＝log2 x是增函数，>9，
∴log2 >log2 9，即3log4 5>2log2 3.
[等级过关练]
1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝( )
A．2 B．
C． D．
B [易知f(x)＝loga x，则loga ＝，∴a＝，
∴a2＝2，∴a＝.]
2．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝loga x的增减性相同，则a的取值范围是________．
(1,2) [①若a>1，则g(x)单调递增，此时f(x)也递增，∴3－a>1，∴1②若01，此时f(x)与g(x)单调性相反．]
3．函数f(x)＝log3 (2x2－8x＋m)的定义域为R，则m的取值范围是________．
(8，＋∞) [由题知2x2－8x＋m>0恒成立，即m>－2x2＋8x恒成立，
∴m>－2(x2－4x)＝－2(x－2)2＋8，
∴m>8.]
4．若不等式x2－logm x<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－logm x<0，得x2要使x2只要y＝logm x在内的图象在y＝x2的上方，于是0∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm ≥＝logm m，
∴≤m，即m≥.
又0∴≤m<1，即实数m的取值范围是.
课时分层作业(十八) 对数函数的图象与性质的应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若y＝(log a)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [由题知02．函数f(x)＝loga |x|＋1(0A [将g(x)＝loga x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位，即得f(x)的图象．]
3．若函数f(x)＝loga x(0A． B．
C． D．
B [∵a∈(0,1)，∴f(x)max＝loga a＝1，f(x)min＝loga 3a，
由题知loga 3a＝，∴a＝＝.]
4．函数f(x)＝的值域为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(－∞，2] D．(2，＋∞)
B [x≥1时，f(x)≤0，
x<1时，05．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(2,3] D．(2，＋∞)
C [由题意得
解得2二、填空题
6．函数f(x)＝lg (4x－2x＋1＋11)的最小值是________．
1 [4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，
∴f(x)≥lg 10＝1.]
7．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3 x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．
x2法二：由题知f(x1)＝a＝ln x1，∴x1＝ea，同理x2＝10a，x3＝3a，结合指数函数y＝ex，y＝10x，y＝3x的图象可知，x28．已知f(x)是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f(x)的最大值为1，则满足f(log2 x)<1的解集为________．
[由题知－2≤log2 x<2，∴log2 2－2≤log2 x三、解答题
9．(1)若loga <1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围；
(2)已知f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(log (3－x))的定义域．
[解] (1)loga <1，即loga 当a>1时，函数y＝loga x在(0，＋∞)上是单调增函数，
由loga ，故a>1.
当0综上，实数a的取值范围为.
(2)由0≤log(3－x)≤1得，
log1≤log(3－x)≤log ，
所以≤3－x≤1，
解得2≤x≤.
所以函数y＝f(log (3－x))的定义域为.
10．设函数y＝f(x)满足lg y＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求f(x)的值域；
(3)讨论f(x)的单调性．(不用证明)
[解] (1)∵lg y＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴即
又∵lg y＝lg[3x(3－x)]，
∴y＝3x(3－x)＝－3x2＋9x，
即f(x)＝－3x2＋9x(0＜x＜3)．
(2)∵－3x2＋9x＝－3＋且0＜x＜3，
∴0＜－3x2＋9x≤，即函数f(x)的值域为.
(3)∵f(x)＝－3＋，且0＜x＜3，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
[等级过关练]
1．若函数f(x)＝loga (x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是下列中的( )
D [由f(x)的图象可知02．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是单调递增，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．bC [偶函数f(x)在(－∞，0]上是单调递增，则在(0，＋∞)上是单调递减．又∵log47＝log2，0<0.20.6<13．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2 a)＋f(log a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．
[∵f(log2 a)＋f(log a)＝f(log2 a)＋f(－log2 a)＝2f(log2 a)≤2f(1)，
∴f(log2 a)≤f(1)，由f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴－1≤log2 a≤1，即log2 ≤log2 a≤log2 2，
∴≤a≤2.]
4．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log (x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即log＝－log＝log，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
所以a＝－1.
(2)f(x)＋log (x－1)＝log＋log (x－1)
＝log (1＋x)，当x＞1时，log (1＋x)＜－1.
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log (x－1)＜m恒成立，
∴m≥－1.
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
