3.3 幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象．(重点)
2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点)
3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点)
通过学习本节内容提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.
1．幂函数的概念
一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象和性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪
(0，＋∞)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非
偶函数
奇函数
单调性
在(－∞，＋∞)上单调递增
在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，＋∞)上单调递增
在[0，＋∞)上单调递
增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)，(0,0)
(1,1)
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限． ( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点． ( )
(3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x>0时，y>0，即图象不经过第四象限．
(2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误．
(3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误．
2．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.
3 [由题意得所以m＋n＝3.]
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.
－8 [8＝2α，所以α＝3，
所以f(x)＝x3，f(－2)＝(－2)3＝－8.]
幂函数的概念
【例1】 已知y＝(m2＋2m－2)x＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
思路点拨：由幂函数的定义列式求解．
[解] 由题意得解得
∴m＝－3，n＝为所求．
1．幂函数y＝xα要满足三个特征
(1)幂xα前系数为1；
(2)底数只能是自变量x，指数是常数；
(3)项数只有一项．
2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.
1．下列函数是幂函数的有________．(填序号)
①y＝x2x；②y＝2x2；③y＝x；④y＝x2＋1；⑤y＝－；⑥y＝x.
③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．]
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过，则f(100)＝________.
[由题知2α＝＝2，∴α＝－.
∴f(x)＝x，
∴f(100)＝100＝＝.]
比较大小
【例2】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)与；(2)与；
(3)0.25与6.25；(4)0.20.6与0.30.4.
思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．
[解] (1)∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且>，
∴>.
(2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数，
且－<－，
∴>.
(3)0.25＝＝2，
6.25＝2.5.
∵y＝x是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5，
∴2<2.5，即0.25<6.25.
(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.
比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数：
(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；
(2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；
(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．
3．比较下列各组中两个数的大小：
(1)3，3.1；
(2)a1.5，(a＋1)1.5(a＞0)；
(3)(－0.88)，(－0.89).
[解] (1)因为函数y＝x在(0，＋∞)内是减函数，所以3＞3.1.
(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a，
所以(a＋1)1.5＞a1.5.
(3)函数y＝x 在R上为增函数，
所以(－0.88)＞(－0.89).
幂函数的图象与性质
[探究问题]
1．做幂函数y＝x的图象应该怎么做？
[提示] ①因为0<<1，故函数y＝x在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方．
②函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝x的图象(略)．
2．从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？
[提示] ①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．
②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象．
3．作出y＝x的图象(草图)，并说明若x>y时，x，y与0的大小关系有多少种？
[提示] y＝x在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，
从图象可以看出，若x>y，则有以下情况
①0
0>y.
【例3】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)<(3－2a)的a的取值范围．
思路点拨：→→
→→→
[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴3m－9<0，解得m<3.
又m∈N*，∴m＝1,2.
又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1.
∴有(a＋1)<(3－2a).
∵y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得所以a的取值范围为(－∞，－1)∪
1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．
2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围．
4.已知x2>x，则x的取值范围是______．
(－∞，0)∪(1，＋∞) [作出函数y＝x2和y＝x的图象(如图所示)，易得x<0或x>1.]
1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．
2．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
3．简单幂函数的性质
(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.
(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝x－3 B．y＝－x3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1.
A [幂函数是形如y＝xα的函数，观察四个函数只有A中函数是幂函数．]
2．已知幂函数y＝xα的图象过点(2，)，则f(4)的值是_____．
2 [将点(2，)代入幂函数可得f(2)＝2α＝，解得α＝，即幂函数为f(x)＝x，可得f(4)＝4＝2.]
3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)
(1)y＝x；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3.
(2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]
4．设a＝，b＝，c＝，比较a，b，c的大小关系．
[解] ∵f(x)＝在R上为减函数，∴<，即a∴>，即a>c，所以b>a>c.
课件38张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.3 幂函数234常数5 [0，＋∞) (0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞) (0，＋∞)奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数RRRRR6增减增增增减减 (1,1)，
(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，
(0,0) (1,1)789101112幂函数的概念 13141516比较大小 171819202122幂函数的图象与性质 232425262728293031323334353637点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九) 幂函数
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有( )
A．①③ B．②④
C．⑤⑥ D．③⑥
C [幂函数y＝xn，只有当n>0时，则其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．]
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3.]
3．幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“部分”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的“部分”是( )
A．②⑥ B．④⑧
C．①⑤ D．③⑦
C [对于幂函数y＝，当0x；当x>1时，x>，所以经过①⑤.]
4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f ＝( )
A．16 B．4
C． D．
D [因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2?3α＝2，
所以f ＝＝＝.]
5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为( )
A．(1,3) B．(2,3)
C．(2,1) D．(0,3)
B [∵幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)，
∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)，
∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．]
二、填空题
6．设函数f(x)＝则使f(x)>1成立的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1，＋∞) [由f(x)>1，可得或解得x<－1或x>1.]
7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．
1 [由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]
8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为________．
2，，－，－2 [函数y＝x－2，y＝x2，y＝x，y＝x中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，，－，－2.]
三、解答题
9．比较下列各组数的大小：
(1)3和3.1；
(2)－8－1和－9－1；
(3)，和.
[解] (1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，
∴3<3.1.
(2)构造f(x)＝x－1，此函数在(0，＋∞)上是减函数，
∵8<9，∴8－1>9－1，
∴－8－1<－9－1.
(3)构造函数y＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则>.
构造函数y＝，此函数在R上是减函数，
则<，
故<<.
10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．
[解] ∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2.
又m∈N，∴m＝0,1,2.
∵幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2.
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．
[等级过关练]
1．函数f(x)＝的图象大致为( )
A [x<0时，f(x)＝x3＋1单调递增，且过(0,1)点，x≥0时，f(x)＝是减函数，过(0,1)点，故A是f(x)的图象．]
2．函数y＝x在[－1,1]上是( )
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
A [由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝x<0，当x>0时，y＝x>0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]
3．若(a＋1) <(3－2a)，则a的取值范围是________．
[(a＋1) <(3－2a) ?<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，
所以解得4．已知幂函数y＝f(x)经过点，
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0.
[解] (1)设f(x)＝xα，由题意，
得f(2)＝2α＝?α＝－3，
故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．
其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．
(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．
即
或
或
解得－2，
故原不等式的解集为.
