3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)
2．会求函数的零点．(重点、难点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理的数学核心素养.
1．函数零点的定义
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．
(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．
3．零点存在性定理
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有零点． ( )
(2)任意两个零点之间函数值保持同号． ( )
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.
2．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．
－1或－2 (－1,0)，(－2,0) [令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.]
3．若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________．
1 [由f(x)在区间(2,5)上是减函数，可得f(x)至多有一个零点．又因为f(x)是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，所以f(x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f(x)恰有一个零点．]
求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4 x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．
思路点拨：根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．
[解] (1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1.
(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，
故f(x)的零点为x＝3.
(3)令f(x)＝1－log4 x＝0，∴log4 x＝1，∴x＝4.
故f(x)的零点为x＝4.
(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，
令f(x)＝0，得x＝2.
∴f(x)的零点为2.
当a＝时，f(x)＝(x－2)＝(x－2)2，
令f(x)＝0得x1＝x2＝2.
∴f(x)有零点2.
当a≠0且a≠时，令f(x)＝0得x1＝，x2＝2.
∴f(x)的零点为，2.
综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝时，函数有零点2；当a≠0且a≠时，f(x)的零点为，2.
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b有两个零点1和4，则函数g(x)＝bx2－ax＋1的零点为________．
或1 [由根与系数的关系得
∴g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)，
令g(x)＝0，则x＝或1，即g(x)的零点为或1.]
零点存在性定理及其应用
【例2】 在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号)
①；②；③；④.
思路点拨：利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f(a)f(b)<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点．
③ [∵f ＝－2<0，f ＝－1>0，
∴零点在上．]
1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．
2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点．
2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.40
20.12
x＋3
2
3
4
5
6
①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．
③ [设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，
因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]
方程零点个数的判断
[探究问题]
1．如何去求一个方程的零点？
[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．
2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？
[提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．
缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f(x)＝2x－3x.
图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．
【例3】 (1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________．
(2)函数f(x)＝ln x－的零点个数是________．
(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．
思路点拨：(1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线y＝a与抛物线y＝(x－1)(3－x)＋x的位置关系讨论，也可以利用判别式．
(1)1 (2)2 [(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故f(x)只有1个零点．
(2)在同一坐标系中画出y＝ln x与y＝的图象，如图所示，函数y＝ln x与y＝的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－的零点个数为2.]
(3)[解] 法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.
令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.
作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为＝，画出如图所示的简图：
由图象可以看出：
①当a＞时，方程没有实数根；
②当a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当a＜时，方程有两个不相等的实数根．
法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.
Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13.
①当Δ＜0，即a＞时，方程没有实数根；
②当Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＞0，即a＜时，方程有两个不相等的实数根．
(变条件)若把本例(3)中x加以限制(1＜x＜3)，求解相应问题．
[解] 原方程可化为－x2＋5x－3＝a(1＜x＜3)，
作函数f(x)＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象，注意f(x)＝－x2＋5x－3的对称轴为x＝，
f ＝－＋－3＝＝，
f(1)＝－1＋5－3＝1，f(3)＝－9＋15－3＝3.
故f(x)在1＜x＜3上的草图如图所示：
由图可知，
①当a＝或1＜a≤3时，方程有一个实数根；
②当3＜a＜时，方程有两实数根；
③当a≤1或a＞时，方程无实数根．
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A [B、C、D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]
2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是________．
3 [∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)
＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
由f(x)＝0，得x＝－5或x＝1或x＝2.]
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个．
4 [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．]
4．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
[解] 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或
即或
解得－
课件39张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点0实数x实数根x横坐标(a，b)上有零点求函数的零点 零点存在性定理及其应用 方程零点个数的判断 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 用二分法求方程的近似解
学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例理解二分法的概念．(难点)
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养.
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点x1＝.
(3)计算f(x1)．
①若f(x1)＝0，x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．
(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤(2)～(4)．
3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二分法所求出的方程的解都是近似解． ( )
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． ( )
(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． ( )
(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
[提示] 四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0.(2)中， f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．
2．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．
(2,2.5) [由于
所以f(2)·f(2.5)＜0，
所以x0∈(2,2.5)．]
3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
C [由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]
“二分法”求方程的近似解
【例1】 证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)
思路点拨：→→
→
[解] 分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：
在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．
由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，
方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，
并且这个解在区间(1,2)上．
设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：
f(1)<0，f(2)>0?x1∈(1,2)，
f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，
f(1)<0，f(1.25)>0?x1∈(1,1.25)，
f(1.125)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.125,1.25)，
f(1.187 5)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.187 5,1.25)，
f(1.218 75)<0，f(1.25)>0?x1∈(1.218 75，1.25)，
f(1.218 75)<0，f(1.234 375)>0?x1∈(1.218 75，1.234 375)．
因为1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为x1≈1.2.
1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．
2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．
1．求的近似值(精确到0.1)．
[解] 是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．
用二分法求其零点．
由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，如下：
f(1)<0，f(1.5)>0?x1∈(1,1.5)，
f(1.25)<0，f(1.5)>0?x1∈(1.25,1.5)，
f(1.25)<0，f(1.375)>0?x1∈(1.25,1.375)，
f(1.25)<0，f(1.312 5)>0?x1∈(1.25,1.312 5)，
至此可见，区间[1.25,1.312 5]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是精确到0.1的近似值．
使用二分法的注意事项
[探究问题]
1．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？
[提示] 理论依据是零点存在性定理．
2．能用二分法求方程近似解的条件是什么？
[提示] 条件共三点：
(1)f(x)图象连续不断；(2)起始的两个端点处的函数值异号；(3)每次区间等分后，必须有端点函数值异号．
【例2】 (1)下列函数没有零点的是________，在有零点的函数中，必须用二分法求零点的是________，一定不能用二分法求零点的是________．(填序号)
①y＝x－7；②y＝－2；③y＝log4 x＋3；④y＝2x＋x；⑤y＝x2；⑥y＝－2x2；⑦y＝－2x－1.
(2)下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求零点的是________，能用二分法求零点的是________．(填序号)
思路点拨：根据二分法的概念进行判断．
(1)⑦ ④ ⑤⑥ (2)①⑤ ②③④ [(1)⑦中y<0，故没有零点，①②③可通过解方程求零点，④必须用二分法，⑤⑥虽有零点，但零点左右两侧没有变号，故不能用二分法．
(2)①⑤图中，与x轴交点两侧符号一致，不能用二分法，②③④均可用二分法，但④应该注意区间的选择．]
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不间断的，且该零点为变号零点(在零点两侧函数值的符号相反)．因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．(1)下面关于二分法的叙述，正确的是______．(填序号)
①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
③二分法无规律可循；
④只有在求函数零点时才用二分法．
(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是________．(填序号)
(1)② (2)① [(1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故①错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故③错；求方程的近似解也可以用二分法，故④错．
(2)由图象可知①中零点左侧与右侧的函数符号不同，故可用二分法求零点．]
1．二分法求函数的零点，只适用于变号零点．当f(a)·f(b)>0时，在[a，b]上也可能存在零点．
2．用二分法求函数的近似零点(或方程的近似解)需注意两点
(1)在探索初始区间时，区间长度不易过长，否则会导致计算量增大，出现错误．
(2)求解过程中，区间两端点的值按要求精确到某一值xi时，是否具有相同的值，若相同即为所求，否则继续，直到满足要求为止.
1．用“二分法”可求近似解，对于精确到ε的说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4] B．[－2,1]
C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]．
D [因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案为D.]
3．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．
(2,3) [由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]
4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 00)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，求f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)．
[解] 由表中f(1.562 5)＝0.003，
f(1.556 2)＝－0.029，
得f(1.562 5)·f(1.556 2)<0.
又因为1.562 5和1.556 2精确到0.01的近似值都为1.56，
故f(x)＝3x－x－4的一个零点近似值为1.56.
课件36张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第2课时 用二分法求方程的近似解连续不断一分为二二分法x1就是函数的零点零点“二分法”求方程的近似解 使用二分法的注意事项 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十) 函数的零点
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．若函数f(x)＝mx＋n有一个零点是2，则函数g(x)＝nx2－mx的零点是( )
A．0 B．
C．－ D．0和－
D [由条件知，f(2)＝2m＋n＝0，∴n＝－2m.
∴g(x)＝nx2－mx＝－2mx，由g(x)＝0，得x＝0或x＝－.
∴g(x)的零点是0和－.]
2．方程2x＋x＝0在下列哪个区间内有实数根( )
A．(－2，－1) B．(0,1)
C．(1,2) D．(－1,0)．
D [令f(x)＝2x＋x，则f(－2)＝－＜0，
f(－1)＝－＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＝3＞0，f(2)＝6＞0.
∵f(－1)·f(0)＝×1＜0，
∴f(x)＝2x＋x的零点在区间(－1,0)内，
故2x＋x＝0在区间(－1,0)内有实数根．]
3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x＋log2 x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>b>a B．b>c>a
C．b>a>c D．a>c>b
B [在同一坐标系中画出y＝2x和y＝－x的图象，可得a<0，同样的方法可得b>0，c＝0，∴b>c>a.]
4．已知函数f(x)＝log2x－，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值为( )
A．恒为负 B．等于零
C．恒为正 D．不小于零．
A [因为x0是方程f(x)＝0的解，所以f(x0)＝0，又因为函数f(x)＝log2x－
在(0，＋∞)上为增函数，且0＜x1＜x0，所以有f(x1)＜f(x0)＝0.]
5．设函数f(x)＝若f(－4)＝0，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由已知，得
解得
∴f(x)＝
作图象(略)得函数有2个零点．]
二、填空题
6．关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一根大于－2小于0，另一个根大于1小于3，则实数a的取值范围是________．
(－12,0) [由f(x)＝3x2－5x＋a满足条件的大致图象(略)可知解得－12＜a＜0，故实数a的取值范围是(－12,0)．]
7．已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(－x)＝f(x)．若f(x)有2 015个零点，则这2 015个零点之和为________．
0 [设x0为其中一根，即f(x0)＝0，
因为函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，
即－x0也为方程一根，
又因为方程f(x)＝0有2 015个实数解，所以其中必有一根x1，满足x1＝－x1，即x1＝0，
所以这2 015个实数解之和为0.]
8．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有________个．
2 [依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图象如图：
可知f(x)有两个零点．]
三、解答题
9．求函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数．
[解] 函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点即2x|log0.5 x|－1＝0的解，即|log0.5 x|＝的解，作出函数g(x)＝|log0.5 x|和函数h(x)＝的图象，
由图象可知，两函数共有两个交点，
故函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1有2个零点．
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
[解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．
[等级过关练]
1．函数f(x)＝零点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
B [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，
∴f(x)在(－∞，0]上有一个零点；x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0.
∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．]
2．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．
0 [∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0.]
3．若方程x2－2|x|－a＝0恰有3个实根，则a的取值范围是________．
a＝0 [本题可化为y＝x2－2|x|与y＝a这两个函数图象交点个数的问题，在同一坐标系内，画出这两个函数的图象如图所示，观察图象，可知只有当a＝0时两个图象才恰有3个交点．
]
4．已知f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx，若关于x的方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围．
[解] 当0＜x≤1时，方程化为1＋kx＝0，
可知两解在(0,1]范围内不可能．
当1＜x＜2时，方程化为2x2＋kx－1＝0，
若两解在(1,2)范围内，则x1·x2＞1，这与x1·x2＝－矛盾．故两解在(1,2)范围内不可能．
若方程的一解在(0,1]内，另一解在(1,2)内，则解得－＜k＜－1.
故k的取值范围是.
课时分层作业(二十一) 用二分法求方程的近似解
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
C [由题图知，x3附近两边的函数都是负值，故用二分法不能求出零点x3.]
2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是( )
A．y＝3x2－2x－5
B．y＝
C．y＝＋1
D．y＝x2＋4x＋8
D [分别作出函数A～D的图象(略)知，D符合题意．]
3．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分x次后，所得近似值可精确到0.1.则x＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C [由＜0.1，得2n－1＞10，所以n－1≥4，即n≥5.]
4．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
其中不正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，①错误；②中函数f(x)不一定连续，且无法判断是否有f(a)·f(b)<0，②错误；③中方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，③错误；④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，④也错误．]
5．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
D [由已知及二分法求函数零点的原理，可知，
f(0)·f <0，又的中点为，
∴下一步可能f(0)·f <0，
或f ·f <0或f ＝0，故D正确．]
二、填空题
6．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如下表所示：
x
1.25
1.312 5
1.375
1.437 5
1.5
1.562 5
f(x)
－0.871 6
－0.578 8
－0.281 3
0.210 1
0.328 43
0.641 15
则方程2x＋3x＝7的近似解(精确度为0.1)可取________．
1.4 [由题表知f(1.375)·f(1.437 5)<0，且1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，所以方程的一个近似解可取为1.4.]
7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln 的零点时，第一次经计算f(0)<0，f >0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
f [由于f(0)<0，f >0，
故f(x)在上存在零点，
所以x0∈，
第二次应计算0和在数轴上对应的中点x1＝＝.]
8．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是________．
(－3，－1)和(2,4) [由表格可得二次函数f(x)的对称轴为x＝，a>0.由f(－3)·f(－1)<0，f(2)·f(4)<0，可得f(x)的零点所在区间为(－3，－1)和(2,4)，即方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(－3，－1)和(2,4)．]
三、解答题
9．确定函数f(x)＝logx＋x－4的零点所在的区间．
[解] 设y1＝logx，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图：
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，所以f(4)＜0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，所以f(8)＝1＞0，
所以在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
10．利用计算器，求方程x2－6x＋7＝0的近似解．(精确到0.1)
[解] 设f(x)＝x2－6x＋7，通过观察函数的图象(略)得：
f(1)＝2＞0，f(2)＝－1＜0，∴方程x2－6x＋7＝0有一根在(1,2)内，设为x1，
∵f(1.5)＝0.25＞0，∴1.5＜x1＜2，
又∵f ＝f(1.75)＝－0.437 5＜0，∴1.5＜x1＜1.75，如此继续下去，得：
f(1)·f(2)＜0?x1∈(1,2)，f(1.5)·f(2)＜0?x1∈(1.5,2)，
f(1.5)·f(1.75)<0?x1∈(1.5,1.75)，
f(1.5)·f(1.625)＜0?x1∈(1.5,1.625)，
f(1.562 5)·f(1.625)<0?x1∈(1.562 5,1.625)．
因为1.562 5,1.625精确到0.1的近似值都为1.6，所以方程x2－6x＋7＝0的一个近似解为1.6，用同样的方法，可求得方程的另一个近似解为4.4.
[等级过关练]
1．已知函数f(x)＝loga x＋x－b(a>0，且a≠1)．当2A．1 B．2
C．3 D．4
B [∵2f(2)＝loga 2＋2－b，f(3)＝loga 3＋3－b.
∵2∴<<1.
又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，
∴loga 2＋2－b<0，即f(2)<0.
∵1<<，3∴－1<3－b<0，
∴loga 3＋3－b>0，∴f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0.
由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.]
2．已知曲线y＝与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是________．
[设f(x)＝－x，则f(0)＝1＞0，
f ＝－＝－＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝－2＜0，显然有f(0)·f ＜0.所以f(x)的零点所在区间为，即x0的取值范围是.]
3．已知y＝x(x－1)·(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＋0.01，则方程式f(x)＝0
①有三个实根；
②当x<－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；
③当－1④当0⑤当x>1时，恰有一实根．
正确的有________．(填序号)
①② [∵f(－2)＝－2×(－3)×(－1)＋0.01＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，
∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象(略)可知，方程在(－∞，－1)上，恰有一个实根．
∴②正确．
又∵f(0)＝0.01>0，结合图象可知f(x)＝0在(－1,0)上没有实数根，∴③不正确．
又∵f(0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f(1)＝0.01>0，即f(0.5)·f(1)<0，所以f(x)＝0在(0.5,1)上必有一实根，且f(0)·f(0.5)<0，
∴f(x)＝0在(0,0.5)上也有一个实根．
∴f(x)＝0在(0,1)上有两个实根，④不正确．
由f(1)>0结合图象知，f(x)＝0在(1，＋∞)上没有实根．∴⑤不正确，并且由此可知①正确．]
4．某电视台曾有一档娱乐节目：主持人会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价1 000元，主持人说高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看，猜价格具有很大的碰运气的成分；实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想．你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
[解] 取价格区间[500,1 000]的中点750.
如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875，
否则取另一个区间(500,750)的中点．
若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程中猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格.
