3.4.2 函数模型及其应用
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)
2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用(重点).
通过学习本节内容，提升学生的数学建模的数学运算核心素养.
1．常见的函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)；
(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
(7)分段函数模型．
2．用函数模型解决实际问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．
1．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.
1.0211 [设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，
∴k＝1.0211.]
2．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．
860 [依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，
由x＝800，y＝1 000及x＝700，y＝2 000，
可得k＝－10，b＝9 000，
即y＝－10x＋9 000，
将y＝400代入得x＝860(元)．]
利用已知函数模型解实际问题
【例1】 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
思路点拨：精读题目，理解题意及分段函数的意义进行求解．
[解] (1)当0
f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.
故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为
f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；
当16f(x)<－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.
(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，
f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．
因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．
(3)当0则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.
所以x＝20或x＝6，但0故x＝6.
当16则－3x＋107＝55.
所以x＝17.
因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17－6＝11≤13(min)，
所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．
1．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
[解] (1)由题图可知所求函数图象过点(600,400)，(700,300)，
得解得
所以y＝－x＋1 000(500≤x≤800)．
(2)由(1)可知S＝xy－500y＝(－x＋1 000)(x－500)
＝－x2＋1 500x－500 000
＝－(x－750)2＋62 500(500≤x≤800)，
故当x＝750时，Smax＝62 500.
即销售单价为750元/件时，该公司可获得最大毛利润为62 500元．
利用三种函数模型解决实际问题
【例2】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
思路点拨：第(1)问知v求Q，直接求得；第(2)问知Q求v，也是直接代入．
[解] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中给出的公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的公式得：
v＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
2．某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
(1)y＝ (2) [药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k≠0)，将点代入可得k＝10，则y＝10t；
将点代入y＝，得a＝.
则所求关系式为y＝
(2)令＝0.25＝，解得t＝＝.
即从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．]
1．应用已知函数模型解题，有两种题型：
(1)直接依据题中的函数解析式解决相关问题；
(2)若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法．
2．信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
3．有些实际问题，可能需要多个函数模型，这时应注意分段函数模型的使用，在写分段函数时必须注意区间端点值不能重复，也不能遗漏．
利用数据拟合建立函数模型解实际应用题
[探究问题]
1．什么是数据拟合？
[提示] 数据拟合是研究变量之间相互影响、相互联系，并给出近似的数学表达式的一种方法．
2．用数据拟合法如何建立函数模型？
[提示] 一般是先做出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．
【例3】 某人对西红柿市场做了一次调查，通过调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，
Q＝a·bt，Q＝a·logb t.
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
思路点拨：根据这四种函数增长速度的特点选择适合表中数据函数模型，然后再用该模型解决问题．
[解] (1)做出散点图，如图，根据散点图，应选取二次函数y＝at2＋bt＋c进行描述．
由题意知
解得a＝，b＝－，c＝.∴Q＝t2－t＋.
(2)由(1)知，Q＝(t－150)2＋100.
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本是最低100元/102 kg.
根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示：
3．有一组实验数据如下表所示：
t
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是________．(填序号)
①y＝logax(a＞1)；②y＝ax＋b(a＞1)；③y＝ax2＋b(a＞0)；④y＝logax＋b(a＞1)．
③ [通过所给数据结合散点图可知y随x增大，其增长速度越来越快，而①④中的函数增长速度越来越慢，而②中的函数增长速度保持不变．]
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化．
4．根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程.
1．已知：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)( )
A．y＝a＋ B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logb x D．y＝a·bx.
D [由表知x可以取“0”，排除A、C，
对于B：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，
当x＝1时，y＝a＋b＝2.02.b可以取1，
当x＝2时，y＝1＋2＝3；
当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有D正确．]
2．用长度为20的铁丝围成一个长方形场地，使其一边靠墙，若靠墙的一边长设为x，则长方形的面积为________．
y＝x(0则另一边长为＝10－，
则长方形的面积为y＝x(03．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．
300 [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
4．某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5，单位：万元)，其中x是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大？
[解] ∵市场对此产品的年需求量为5百台，
∴当x≤5时，产品能售出x台，x＞5时只能售出5百台，故利润函数为：
L(x)＝R(x)－C(x)＝
＝
当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－0.5x2－0.5，
当x＝4.75时，得L(x)max＝L (4.75)≈10.8万元；
当x＞5时，L(x)＝12－0.25x，利润在12－0.25×5＝10.75万元以下，
故生产475台时利润最大．
课件46张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.4 函数的应用
3.4.2 函数模型及其应用kx＋b利用已知函数模型解实际问题 利用三种函数模型解决实际问题 利用数据拟合建立函数模型解实际应用题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(二十二) 函数模型及其应用
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升．直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
C [从亮亮的体温变化可以看出图象应为：早晨37 ℃以上37 ℃(中午)晚上37 ℃.]
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元 D．45.51万元
B [依题意可设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，
Smax＝45.6(万元)．]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过x年，剩留的物质是原来的.则x为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝，…，那么经过x年，则y＝.依题意得＝，解得x＝3.]
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．8元 B．9元
C．10元 D．12元
C [设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t.
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
所以k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．]
5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．60 B．75
C．90 D．100
B [由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e，∴＝(e－k)＝，∴＝，t1＝75.]
二、填空题
6．一等腰三角形的周长为40，底边y是关于腰x的函数，它的解析式为________．
y＝40－2x(10所以y＝40－2x.
∵y>0，∴40－2x>0，∴x<20.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴解得x>10，∴107．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为____________万件．
18 [利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]
8．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．
甲 [对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]
三、解答题
9．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？
[解] 由题意知40－24＝(88－24)·，
即＝，解得h＝10.
故T－24＝(88－24)·，
当T＝32时，32－24＝64·，
即＝，解得t＝30，
因此，约需30 min，可降温到32 ℃.
10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
[解] (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，
即＝，＝，
解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，再砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，≥，≤，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．
[等级过关练]
1.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要再经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2，所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是( )
A．①②④ B．①④⑤
C．①②⑤ D．②③⑤
C [①显然正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3.5时，y＝11.31<12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12 m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1 m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2 m2，故④不正确；当浮萍面积为2 m2时，t1＝1，当浮萍面积为3 m2时，t2＝log2 3，当面积为6 m2时，t3＝log2 6，而1＋log2 3＝log2 6，故⑤正确．]
2．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．
60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟，
所以＝15，①
所以必有4联立①②解得c＝60，A＝16.]
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是____________cm2.
2 [设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm.
∴S＝＋＝(x－6)2＋2≥2.]
4．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(a，b，c为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．
[解] 设两个函数：
y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，
y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，解得
∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝1.3(万件)．
依题意，解得
∴y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．
经比较，g(4)＝1.35万件比f(4)＝1.3万件更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好.
