初升高衔接课
第一部分 绝对值与绝对值不等式
●知识点1 绝对值的意义
(1)绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
|a|＝
(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
(3)两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
●知识点2 绝对值不等式
根据绝对值的意义可得到：
|x|>a(a>0)?x<－a，或x>a；
|x|
0)?－a[对点练]
1．若|x|＝5，则x＝__________；若|x|＝|－4|，则x＝__________.
[答案] ±5 ±4
2．如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________.
±4 －1或3 [|b|＝5－|a|＝4，∴b＝±4；
由|1－c|＝2得1－c＝±2，∴c＝－1或3.]
3．化简：|x－5|＋|2x－3|(x>5)＝________.
3x－8 [∵x>5，∴x－5>0,2x－3>0，
∴原式＝x－5＋2x－3＝3x－8.]
4．若不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
(5,7) [由|3x－b|<4得－4<3x－b<4，
即∵不等式|3x－b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3，
则?，∴5第二部分 根式
●知识点1 二次根式
(1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式．
(2)最简二次根式：必须同时满足下列条件：
①被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
②被开方数中不含分母；
③分母中不含根式．
●知识点2 二次根式的性质
(1)()2＝a(a≥0)；
(2)＝|a|＝
[对点练]
1．要使式子有意义，字母x需满足________．
x≥－ [只有非负数才有算术平方根，所以2x＋3≥0，即x≥－.]
2.＝________.
2x－1 [∵x>，∴2x－1>0，
∴＝|1－2x|＝2x－1.]
3.＋－＝________.
－1－ [原式＝＋－
＝＋－－－1＝－1－.]
4．若x>3，则－|2－x|＝________.
－1 [∵x>3，
∴x－3>0，
∴x－2>0，
∴－|2－x|＝－|2－x|＝|x－3|－|2－x|＝x－3－(x－2)＝－1.]
第三部分 因式分解
●知识点1 提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
●知识点2 公式法
如果把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式．常用公式有：
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2；
立方和(差)公式：a3±b3＝(a±b)(a2?ab＋b2)．
●知识点3 十字相乘法
(1)十字相乘法的原理
借助整式乘法运算，可以得到
(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋bcx＋adx＋bd＝acx2＋(ad＋bc)x＋bd.
反之，acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)即为因式分解．因此，对于一个一般的二次三项式Ax2＋Bx＋C，只要将A分解成ac，即A＝ac，C分解成bd，即C＝bd，并且使得B＝ad＋bc，我们就可以将Ax2＋Bx＋C分解成(ax＋b)(cx＋d)了．如何找到a，b，c，d呢，我们借助下面的十字相乘法．
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．它的特征是：拆两头，凑中间．
(2)十字相乘法的步骤
对于二次三项式Ax2＋Bx＋C用十字相乘法分解成(ax＋b)(cx＋d)的步骤：
第一步，将A分解成ac，即A＝ac；
第二步，C分解成bd，即C＝bd；
第三步，根据十字交叉，调试a，b，c，d，使B＝ad＋bc；
第四步，写出分解结果
Ax2＋Bx＋C＝(ax＋b)(cx＋d)．
[对点练]
1．(x－y)2－(y－x)＝________.
(y－x)(y－x－1) [(x－y)2－(y－x)＝(y－x)2－(y－x)＝(y－x)(y－x－1)．]
2．分解因式(1)x4－y4＝________.
(2)a3b－ab＝________.
(1)(x2＋y2)(x＋y)(x－y) (2)ab(a＋1)(a－1)
[(1)x4－y4
＝(x2＋y2)(x2－y2)
＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)．
(2)a3b－ab
＝ab(a2－1)
＝ab(a＋1)(a－1)．]
3．分解因式：(1)x2＋5x－24＝________.
(2)x2－2x－15＝________.
(1)(x－3)(x＋8) (2)(x－5)(x＋3) [(1)∵－24＝(－3)×8，(－3)＋8＝5.
∴x2＋5x－24＝[x＋(－3)](x＋8)＝(x－3)(x＋8)．
(2)∵－15＝(－5)×3，(－5)＋3＝－2，
∴x2－2x－15＝[x＋(－5)](x＋3)＝(x－5)(x＋3)．]
4．分解因式：6x2－7x－3＝________.
(2x－3)(3x＋1) [(1)画十字相乘图，如图．
∵3×(－3)＋1×2＝－7，
∴6x2－7x－3＝(2x－3)(3x＋1)．]
第四部分 一元二次方程
●知识点1 一元二次方程的求根公式与判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根x1,2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－；
(3)当Δ<0时，方程没有实数根．
●知识点2 一元二次方程根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由根与系数的关系可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2.
[对点练]
1．关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m＝________.
0或8 [由一元一次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根知，它的根的判别式等于0，
即Δ＝(m－2)2－4×1×(m＋1)＝m2－8m＝0，
∴m1＝0，m2＝8.]
2．已知方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是________．
－2 [由根与系数的关系知，两根之积为－2，所以另一根为－2.]
3．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋1＝0的两个实数根是x1，x2，且x＋x＝24，则k的值是________．
5 [先将x＋x＝24变形成只含有x1＋x2、x1x2的形式，即(x1＋x2)2－2x1x2＝24，然后利用根与系数的关系，建立一个关于k的方程求解．]
4．已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是________．
3 [由题知(2m＋3)2－4m2＝12m＋9>0，
∴m>－.
又∵＋＝＝＝＝－1，即m2－2m－3＝0.
∴m1＝3，m2＝－1(舍去)．]
第五部分 二次函数
●知识点1 二次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫关于x的二次函数．
●知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
条件
a>0
a<0
图象
对称轴x＝－，顶点坐标
对称轴x＝－，顶点坐标
增减性
当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大
当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小
最大(小)值
当x＝－时，y达到最小值y＝，无最大值
当x＝－时，y达到最大值y＝，无最小值
●知识点3 二次函数解析式的三种常见的表达形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中h＝－，k＝；
(3)两根式(交点式)：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根x1，x2，则二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)可以改写成y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，也是二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．
[对点练]
1．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2，该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________．
x＝1 (1,3) [y＝－x2＋2x＋2＝－(x－1)2＋3，对称轴是x＝1，顶点坐标是(1,3)．]
2．如图所示，抛物线的函数表达式是________．
y＝－x2＋x＋2 [设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，将点(0,2)代入表达式中，得：2＝－2a，∴a＝－1，即y＝－(x＋1)(x－2)，
展开得y＝－x2＋x＋2.]
3.如图是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是________．
1 [二次函数的图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝±1.又抛物线开口向上，
∴a＝1.]
4．当0≤x≤3时，函数y＝x2－2x－3的最小值是________，最大值是________．
－4 0 [二次函数的开口向上，对称轴是x＝1，所以由二次函数的图象可知当x＝1时，函数的最小值为y＝－4，当x＝3时，函数的最大值为y＝0.]
第六部分 一元二次不等式
●知识点1 一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
●知识点2 一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y>0的x的值；一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值y<0的x的值．
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2且x1Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两相异实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2＝－
无实根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解
xx2
x≠－
任意解
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
x1无解
无解
[对点练]
1．不等式x2－2x－8>0的解为________．
x<－2或x>4 [x2－2x－8＝(x＋2)(x－4)，所以不等式的解为x<－2，或x>4.]
2．已知00的解为________．
x>或x1，即a<，
∴不等式的解为x>或x3．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解是－73 [＝(－7)×(－1)?a＝3.]
4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解为2x<－3或x>－2 [由已知得
∴ax2－bx＋c<0可化为ax2＋5ax＋6a<0，
即a(x＋2)(x＋3)<0，即(x＋2)(x＋3)>0，
∴x<－3或x>－2.]
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