函数值域的求法
函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
【例1】 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)f(x)＝x＋.
思路点拨：(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解．
[解] (1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝的定义域为[0，＋∞)，因此≥0，所以函数y＝的值域为[0，＋∞)．
(2)法一(分离系数法)：y＝＝＝2＋.而≠0，所以2＋≠2，因此函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝，得x＝.而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)令＝t，则t≥0，x＝＝t2＋，
∴y＝t2＋＋t＝－.
∵t≥0，∴y≥，
∴函数f(x)＝x＋的值域为.
常见的求值域的方法
?1?直接法?观察法?：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域.例如求函数f?x?＝5x＋1 ?x∈{1，2，3，4}?的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f?x?的值域为{6，11，16，21}.
?2?分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域.
?3?反解法：例如求函数y＝的值域.由y＝解出x得x＝.由x＞－4，得＞－4，即＞0，∴y＞或y＜1.故函数y＝的值域为?－∞，1?∪.
?4?图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.
?5?换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解.
1．(1)函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为________、________.
(2)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
(1)10 6 (2)1 [(1)f(x)在[1,2]和[－1,1)上分别递增，而且在[1,2]上，f(x)min＝f(1)＝8.
在[－1,1]上，f(x)(2)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，
∴在[0,1]上，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4＋a＝4－3＝1.]
函数性质的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看，抽象函数、具体函数都有，其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
【例2】 函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
思路点拨：(1)(2)分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；(3)利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解．
[解] (1)由题意，得即?
∴f(x)＝，经检验，符合题意．
(2)证明：任取x1，x2∈(－1,1)且x1f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵－10,1＋x>0,1＋x>0.
又∵－10，
∴f(x2)－f(x1)>0，故f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)原不等式可化为f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1解得0故原不等式的解集为.
函数单调性与奇偶性应用常见题型
?1?用定义判断或证明单调性和奇偶性.
?2?利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
?3?利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.
?4?利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
2．设函数f(x)对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)在区间[－3,3]上，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．
[解] (1)令x＝y＝0，则有f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
即f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
令y＝－x，则有0＝f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(2)任取－3≤x10.
由题意，得f(x2－x1)<0，
且f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f [x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]
＝－f(x2－x1)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在[－3,3]上为减函数．
所以函数f(x)在[－3,3]上有最值，最大值为f(－3)＝－f(3)＝－3f(1)＝6，最小值为f(3)＝－f(－3)＝3f(1)＝－6.
函数的图象与数形结合思想
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象，做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图(作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，判断根(交点)的个数等．
【例3】 (1)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象分别如图(1)及图(2)所示，则f(x)·g(x)的图象可能是________．(填序号)
(2)若方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根，则m的取值范围是________．
思路点拨：(1)利用函数的奇偶性进行选择；(2)作出函数的图象，观察图象即可．
(1)③ (2)10，g(x)>0，所以f(x)·g(x)>0，只有③符合．
(2)令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
作出f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．
2 [首先应理解题意，“函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中的较大者”是对同一个x值而言，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数f(x)的表达式：
f(x)＝
f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.
]
课件32张PPT。第2章 函 数章末复习课数值域的求法 函数性质的应用 函数的图象与数形结合思想 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(二) 函 数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，与函数y＝相同的是( )
A．y＝x B．y＝－
C．y＝x2 D．y＝－x
D [函数相同的两个条件：①定义域相同；②对应法则相同．∵原函数y＝的定义域为{x|x≤0}，∴y＝＝＝·|x|＝－x.]
2．下列曲线能表示函数图象的是( )
D [在选项A，B，C中，存在同一个x值与两个y值对应的情况，不符合函数的定义，因此A，B，C都不对；D中定义域上的任意一个x，都有唯一的y与它对应，因此选项D正确．]
3．已知f(x)＝则f 的值是( )
A．－ B．
C． D．－
C [f ＝－1＝－，f ＝－＋1＝.]
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－2
D [当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.
∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.]
5．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D [∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，
∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．
∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.]
6．已知f(x)＝g(x)＋2，且g(x)为奇函数，若f(2)＝3，则f(－2)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．5
C [∵f(2)＝3，∴g(2)＝1.
∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(－2)＝－g(2)＝－1，
∴f(－2)＝g(－2)＋2＝－1＋2＝1.]
7．已知f(x)＝若f(x)＝10，则x＝( )
A．－4 B．1
C．－ D．－4或1
A [因为f(x)＝10，所以当x≤0时，由x2＋3x＋6＝10，得x＝－4或x＝1＞0(舍去)；当x＞0时，由－＝10，得x＝－＜0(舍去)．故x＝－4.]
8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c(a≠0)在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
C [二次函数的对称轴为x＝1.由二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，可知a>0，故该函数图象的开口向上，且f(0)＝f(2)．当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.]
9．已知减函数y＝f(x－1)是定义在R上的奇函数，则不等式f(1－x)>0的解集为( )
A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
B [∵函数y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得到函数y＝f(x)的图象，由y＝f(x－1)是定义在R上的奇函数，∴f(0－1)＝0，即f(－1)＝0.
又∵y＝f(x－1)是定义在R上的减函数，平移不改变函数的单调性，∴y＝f(x)在R上也单调递减，故不等式f(1－x)>0可转化为f(1－x)>f(－1)，即1－x<－1.解得x>2.故f(1－x)>0的解集为(2，＋∞)．]
10．已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：( )
①f(0)＝f(1)＝0；
②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.
若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|A． B．
C． D．
B [取y＝0，则|f(x)－f(0)|＜|x－0|，即|f(x)|＜x，取y＝1，则|f(x)－f(1)|＜|x－1|，即|f(x)|＜(1－x)．
∴|f(x)|＋|f(x)|＜x＋－x＝，
∴|f(x)|＜.
不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)＜，0≤f(y)＜，
∴|f(x)－f(y)|＜－0＝，
要使|f(x)－f(y)|＜k恒成立，只需k≥.
∴k的最小值为.]
11．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)|g(x)|是奇函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)g(x)是偶函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
A [A中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故A正确；B中，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，故B错误；C中，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故C错误；D中，令h(x)＝|f(x)g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，故D错误．]
12．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，有(x2－x1)[(f(x2)－f(x1)]>0，则满足f(2x－1)A． B．
C． D．
A [∵(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∴当0f(x1)；∴当0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝＋的定义域是________．
[－1,1)∪(1，＋∞) [由得x≥－1且x≠1，即定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．]
14．函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为________．
[1,2] [函数f(x)＝x2－2x＋3在x＝1处取得最小值为2，在x＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a的取值范围为[1,2]．]
15．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
－2 [∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)
＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.]
16．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f 与f 的大小关系是____________．
f ≥f [因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以f ≤f ＝f .]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)求函数f(x)＝x－2，x∈{0,2,5，－1}的最大值与最小值；
(2)已知函数y＝f(x)(－1≤x≤4)的图象如图所示．根据函数图象回答：当y取得最大值时，对应的自变量是多少？函数的最小值是多少？
[解] (1)∵f(0)＝－2，f(2)＝0，f(5)＝3，f(－1)＝－3，
∴f(－1)∴f(x)＝x－2的最大值为f(5)＝3，最小值为f(－1)＝－3.
(2)由图象可知函数的最高点的横坐标为4，此时对应的自变量为4；最小值是图象的最低点，其纵坐标为－2，即最小值为－2.
18．(本小题满分12分)(1)求函数f(x)＝＋(x－1)0＋的定义域；(要求用区间表示)
(2)若函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式．
[解] (1)要使函数有意义，需有
解得x≤2且x≠1且x≠－1.
所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2]．
(2)因为f(x＋1)＝x2－2x，所以令x＝2，得f(3)＝22－2×2＝0.
用配凑法求函数解析式：∵f(x＋1)＝x2－2x，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
故f(x)＝x2－4x＋3，(x∈R)．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)确定f(x)的单调性；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)＝＝＝2－.
设3≤x1则f(x1)－f(x2)＝2－－2＋＝<0，即f(x1)∴f(x)在[3,5]上单调递增．
(2)∵f(x)在[3,5]上单调递增，
∴f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2.
(1)若函数的图象经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；
(2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．
[解] (1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，
∴
∴m＝1.
(2)∵y＝f(x)在[2，＋∞)上为增函数，
∴对称轴x＝－≤2，
∴实数m的取值范围是[0，＋∞)．
21．(本小题满分12分)已知二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在[t，t＋1](t＞0)上的最大值．
[解] (1)因为二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2，
故函数图象的对称轴为x＝1，
设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，a＜0.
根据f(－2)＝9a＋2＝－16，
求得a＝－2，
故f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.
(2)当t≥1时，函数f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
故最大值为f(t)＝－2t2＋4t；
当0＜t＜1时，函数f(x)在[t,1]上是增函数，在[1，t＋1]上是减函数，
故函数的最大值为f(1)＝2.
综上，f(x)max＝
22．(本小题满分12分)我市某中学要印制本校高中毕业证书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是按每份定价1.5元的8折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元6折优惠，且甲、乙两厂都规定：一次印制数量至少是500份．
(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x的取值范围；
(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2 000份毕业证书，应选择哪个厂？需要多少费用？
[解] (1)y甲＝1.2x＋900(x≥500，且x∈N)，
y乙＝1.5x＋540(x≥500，且x∈N)．
(2)如图，作一次函数
y甲＝1.2x＋900(x≥500)和y乙＝1.5x＋540(x≥500)的图象，两个函数图象的交点是P(1 200,2 340)．
由图象可知，当500≤x＜1 200(份)时，选择乙厂比较合算；
当x＝1 200(份)时，两厂收费相同；
当x＞1 200(份)时，选甲厂比较合算．
所以要印2 000份毕业证书，应选择甲厂，费用是y＝1.2×2 000＋900＝3 300元．
