指数、对数的运算
1.指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
【例1】 (1)化简：
×；
(2)计算：2log3 2－log3 ＋log3 8－25.
思路点拨：按照指数、对数的运算性质进行计算，但应注意乘法公式的应用．
1．计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
三种初等函数的图象与性质
函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．
【例2】 (1)若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝________.
(2)若函数f(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是________．
思路点拨：分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．
(1)－ (2) [(1)因为x<1，所以2x<2.
要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0,2)，
由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，
所以4a＋2＋1＝0，所以a＝－.
(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．
因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．
由y＝－与y＝－在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－＝－.
因为a>－在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－.
故所求a的取值范围为.]
2．已知f(x)＝log2 (x＋1)＋log2 (1－x)，
(1)求f(x)的定义域，并求f 的值；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)判断f(x)的单调性．
[解] (1)由题知，令解得－1
∴f(x)的定义域为{x|－1f ＝log2＋log2
＝log2＝log2＝－1.
(2)f(－x)＝log2(－x＋1)＋log2(1＋x)＝f(x)，
又f(x)的定义域为{x|－1故f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝log2 (x＋1)(1－x)＝log2 (1－x2)，
设u(x)＝1－x2，则u(x)是开口向下的二次函数，
在(－1,0)上，u(x)单调递增，在(0,1)上，u(x)单调递减，又y＝log2 u是增函数，
∴f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减．
比较大小
利用指数、对数函数和幂函数的性质比较大小是本章一个主要题型，数的大小比较常用的方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．
【例3】 比较下列各组数的大小：
(1)0.65.1，5.10.6，log0.65.1；
(2)log712，log812；
(3)a＝0.2，b＝0.3，c＝3，d＝5.
思路点拨：(1)采用“媒介法”引入0,1，把三个数与0,1相比较得结论；
(2)真数相同，底数不同，可用图象法或换底法比较大小；
(3)利用幂函数的性质求解．
[解] (1)因为0<0.65.1<1,5.10.6>1，log0.65.1<0，所以5.10.6>0.65.1>log0.65.1.
(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象：
由底数变化对图象位置的影响知：log712>log812.
法二：＝＝＝log78>1.
∵log812>0，∴log712>log812.
(3)因为0<<1，所以y＝x在[0，＋∞)上为增函数，所以0.2<0.3，即a又因为0.3<1,3>1，所以b3．比较大小：
(1)log 3，，2；
(2)log3 2，log2 3，log2 5.
[解] (1)log 3<0，∈(0,1)，2>1，故log 3<<2.
(2)∵log3 2函数的零点与方程的根的关系及应用
根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．
从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．
【例4】 (1)函数f(x)＝log3 [log2(4－2x)]的零点为________．
(2)函数g(x)＝lg x与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为____，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.
思路点拨： (1)可通过解方程来求零点．
(2)通过图象和零点存在性定理来解．
(1)1 (2)2 3 [(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.
(2)同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg 2－1<0，h(3)＝lg 3>0，h(4)＝lg 4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.]
4．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
[解] (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，即＝－4，
∴－＝－4，解得m＝－3.
且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，
∴m的值为－3.
分类讨论思想
本章中，指数函数、对数函数的性质均与a的范围有较大的关系，因此在应用二者的性质时我们应该注意分类讨论思想的应用．
【例5】 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f ＝0，求不等式f(loga x)>0(a>0，且a≠1)的解集．
思路点拨：根据偶函数的性质，将f(loga x)>0转化为loga x与和－的大小关系，然后分类讨论求解不等式．
[解] ∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f ＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f ＝0.
故若f(loga x)>0，则有loga x>或loga x<－.
①当a>1时，由loga x>或loga x<－，得x>或0②当0或loga x<－，得0.
综上可知，当a>1时，f(loga x)>0的解集为∪(，＋∞)；当00的解集为(0，)∪.
5．将例题中“偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答．
[解] ∵f(x)是奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f ＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f ＝0.
∴f >0可转化为loga x>或－①当a>1时，上述两不等式的解为x>和∴原不等式的解集为.
②当0综上，当a>1时，不等式的解集为；
当0课件37张PPT。第3章 指数函数、对数函数和幂函数章末复习课指数、对数的运算 三种初等函数的图象与性质 比较大小 函数的零点与方程的根的关系及应用 分类讨论思想 点击右图进入…Thank you for watching !章末综合测评(三) 指数函数、对数函数和幂函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.＝成立的条件是( )
A．x≥2或x<1 B．x≠1
C．x<1 D．x≥2
D [要使该式有意义，则解得x≥2.]
2．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内只存在一个零点，则a的取值范围是( )
A．a> B．a>或a<－1
C．－1B [∵函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内只存在一个零点，∴函数f(x)＝3ax＋1－2a只能是一次函数，且f(－1)·f(1)<0，即(－3a＋1－2a)(3a＋1－2a)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a>或a<－1.]
3．若a>1，－1A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
A [y＝ax的图象在第一、二象限．∵－14．若log34·log48·log8m＝log416，则m等于( )
A． B．9
C．18 D．27
B [log416＝2，由换底公式得log34·log48·log8m＝log3m＝2，∴m＝9.]
5．若幂函数y＝xα的图象在0A．α<1 B．α<0
C．0<α<1 D．α>1
D [当01时．xα6．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
C [画出y＝|logx|＝的图象如下：
由图象可知，单调单增区间为[1，＋∞)．]
7．函数y＝f(x)的图象与g(x)＝log2x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(－2)＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
D [由y＝f(x)的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，可知f(x)与g(x)互为反函数．令log2x＝－2，得x＝，即f(－2)＝.]
8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，下一个有根区间是( )
A． B．(2,3)
C．(3,4) D．
B [设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．]
9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|
C [A项，y＝是奇函数，故不正确；B项，y＝e－x为非奇非偶函数，故不正确；C、D两项中的两个函数都是偶函数，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y＝lg |x|在(0，＋∞)上是增函数，故选C.]
10．函数y＝ax－3－2(a>0且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0,1) B．(2,1)
C．(3,0) D．(3，－1)
D [y＝ax的图象过点(0,1)，图象向右平移3个单位得y＝ax－3，图象定点为(3,1)，再向下平移2个单位得y＝ax－3－2图象，定点为(3，－1)．]
11．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
A [由已知可得，f(x)的定义域为(－1,1)，f(x)＝ln ＝ln，又y＝－1在(0,1)上为增函数，∴f(x)在(0,1)上是增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．]
12．函数y＝的图象大致是( )
C [分别根据函数的定义域、单调性、取值符号进行排除判断．要使函数有意义，则3x－1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A.当x<0时，y>0，排除B.当x→＋∞时，y→0，排除D.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设函数f(x)＝则f 的值是________．
[f ＝f ＝f(－1)＝2－1＝.]
14．已知集合A＝{y|y＝log2 x，x>1}，B＝，则A∩B＝________.
[∵x>1，∴y＝log2 x>log2 1＝0，
∴A＝(0，＋∞)，
又∵x>1，∴y＝ <，
∴B＝.
∴A∩B＝.]
15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L，与时间t h间的关系为P＝P0e－kt.如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________%的污染物．
81 [由题意知，前5小时消除了10%，即(1－10%)P0＝P0·e－5k.解得k＝－ln 0.9.则10小时后还剩P＝P0·e－10k＝P0·e2ln 0.9＝P0·eln 0.81＝0.81 P0＝81%P0.]
16．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
[因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－
＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，
所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．
经证明f(x)在R上单调递增，
所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，
所以－1≤a≤.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算下列各式的值：
(1)＋；
(2)2log5 10＋log5 0.25；
(3)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(4)log2.5 6.25＋lg ＋ln ＋2.
[解] (1)原式＝(3－π)＋(π－2)＝1.
(2)原式＝2log5 (2×5)＋log5 0.52＝2(log5 2＋log5 5)＋2log5 ＝2(log5 2＋1－log5 2)＝2.
(3)原式＝(－1) ＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1
＝－.
(4)原式＝log2.5 2.52＋lg 10－2＋ln e＋2·2
＝2－2＋＋2×3＝.
18．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)且lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)．
(1)求f(x)的解析式及定义域；
(2)求f(x)的值域．
[解] (1)∵lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)，
∴lg(lgy)＝lg[3x(3－x)]，
∴lg y＝3x(3－x)，
∴y＝103x(3－x)，即f(x)＝103x(3－x)．
∵
∴0(2)令t＝3x(3－x)＝－3＋，则f(x)＝10t.
∵x∈(0,3)，∴t∈，
∴10t∈(1,10]，
∴函数的值域为(1,10]．
19．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解] 因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0条件(1)、(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数．
所以幂函数f(x)的解析式为f(x)＝x3
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
20．(本小题满分12分)(1)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域；
(2)已知－3≤logx≤－，求函数f(x)＝log2 ·log2 的值域．
[解] (1)f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3，令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12，∵－1≤x≤2，∴≤t≤9，∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24，所以函数f(x)的值域为[－24，12]．
(2)∵－3≤logx≤－，
∴－3≤≤－，
即－3≤≤－，
∴≤log2x≤3.
∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－log2 2)·(log2x－log24)
＝(log2x－1)·(log2x－2)．
令t＝log2x，则≤t≤3，
f(x)＝g(t)＝(t－1)(t－2)
＝－.
∵≤t≤3，
∴f(x)max＝g(3)＝2，f(x)min＝g＝－.
∴函数f(x)＝log2·log2的值域为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log (a≠1)是奇函数，
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f(x)＋，x∈(－1,1)，求g＋g的值；
(3)若g(m)>g(n)(m，n∈(－1,1))，比较m，n的大小．
[解] (1)∵f(x)为奇函数，∴对定义域内任意x，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即log ＋log ＝log ＝0，
∴a＝±1，由条件知a≠1，∴a＝－1.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f ＋f ＝0，令
h(x)＝，
则h＋h＝＋＝2，
∴g＋g＝2.
(3)f(x)＝log ＝log随x增大，1－x减小，∴增大，∴增大，
∴f(x)单调递减，
又h(x)＝也随x增大而减小，
∴g(x)单调递减．
∵g(m)>g(n)，∴m22．(本小题满分12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解] 设该店月利润余额为L，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得
Q＝
代入①式得L＝
(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，此时P＝19.5元；
当20故当P＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．
(2)设可在n年后脱贫，
依题意有12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．
