1．集合
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)子集：对任意的x∈A，有x∈B，则A?B(或B?A)．
(3)真子集：若A?B，且A≠B，则AB(或BA)．
(4)集合的运算及其性质
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
补集：?UA＝{x|x∈U，且x?A}．
(5)集合的运算性质
①并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?B?A.
②交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B.
③补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.
2．函数
(1)函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
(2)分段函数：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．
3．函数的性质
(1)单调性
设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，
①若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；
②若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数．
(2)奇偶性
①一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
②如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
③奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
4．指数函数
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
5.对数函数
(1)对数的运算法则
如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logaM＝(c>0，且c≠1)．
(2)对数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x＞1时，y＞0
当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
6.函数的应用
(1)函数零点：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
1．高一四班的全体同学组成一个集合． (√)
2．集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合． (×)
[提示] {－5，－8}表示由两个元素－5和－8组成的集合，而{(－5，－8)}表示由一个元素(－5，－8)组成的集合．
3．若A?B，则A中的元素都在B中． (√)
4．若A∩B＝A∩C，则必有B＝C． (×)
[提示] A和B的公共元素与A和C的公共元素相同时A∩B＝A∩C，但B和C不一定相等．
5．A∩?UA＝?． (√)
6．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素． (√)
7．函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． (×)
[提示] 函数图象不一定连续，也不一定是曲线．
8．分段函数由几个函数构成． (×)
[提示] 分段函数是一个函数．
9．所有的函数在其定义域上都具有单调性． (×)
[提示] 只有少数函数在其定义域上具有单调性．
10．任何函数都有最大值或最小值． (×)
[提示] 一次函数等就没有最值．
11．函数的最小值一定比最大值小． (√)
12．奇、偶函数的定义域都关于原点对称． (√)
13．若f(x)是奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0． (√)
14．指数函数的图象一定在x轴的上方． (√)
15．函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}． (×)
[提示] y＝2－x的定义域为R.
16．对数运算的实质是求幂指数． (√)
17．loga＝． (×)
[提示] loga＝logaM－logaN.
18．当0＜a＜1时，若x＞1，则y＝logax的函数值都大于零． (×)
[提示] 题中函数值都小于零．
19．函数y＝log2x与y＝x2互为反函数． (×)
[提示] 函数y＝log2x与y＝2x互为反函数．
20．二次函数都是幂函数． (×)
[提示] 二次函数中只有y＝x2是幂函数．
21．函数的零点是一个点． (×)
[提示] 函数的零点是函数值等于0时的自变量值，是一个数．
22．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0． (×)
[提示] 函数在(a，b)上有零点，f(a)·f(b)的值不能确定，可为正数也可能为负数或者是0.
23．函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点． (×)
[提示] f(x)＝|x|在零点x＝0的西侧函数组都是正的，不能用二分法求零点．
24．在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质． (√)
25．当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax
26．在幂函数模型的解析式中，α的正负会影响函数的单调性． (√)
27．0的任何指数幂都等于0． (×)
[提示] 0的任何非零指数幂等于0.
28．y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数． (√)
29．y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称． (√)
30．函数的定义域、值域确定后，对应法则就确定了． (×)
[提示] 函数的定义域、值域确定后，对应法则可以不同．如定义域、值域都是[0,1]，对应法则可以为y＝x或y＝x2.
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则?RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B [法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
A [将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)共有9个．]
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
C [由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．]
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
C [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]
5．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为( )
B [当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f(x)＝＜0，故排除A、D；又f(1)＝e－＞2，故排除C，选B.]
课件34张PPT。模块复习课确定性互异性定义域值域对应关系分段函数减函数增函数减函数零点√×√×√√××××√√√√×√××××××××√×√√√×Thank you for watching !模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2A．{x|－2C．{－1,2} D．{－1,2,3}
C [在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1，2}．
2．函数y＝的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．[－3,1) D．(－3,1]
A [要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.]
3．函数f(x)在区间(－2,3)上是增函数，则y＝f(x＋5)的单调增区间是( )
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2,8) D．(－2,3)
B [y＝f(x＋5)的图象是由f(x)的图象向左平移5个单位得到，故y＝f(x＋5)的单调增区间为(－7，－2)]
4．如果集合P＝{x|x>－1}，那么下列结论成立的是( )
A．0?P B．{0}∈P
C．?∈P D．{0}?P
D [元素与集合之间的关系用符号∈或表示．]
5．函数f(x)＝log3x－x＋2的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [令方程log3x－x＋2＝0，可化为log3x＝x－2.在同一坐标系中作出y1＝log3x与y2＝x－2的图象如图所示，可观察出两图象有两个不同交点．故函数f(x)的零点个数有2个．
]
6．已知a＝0.5，b＝，c＝log2.51.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．b>a>c
A [∵a＝0.5－>1，b＝>1，且幂函数y＝x在第一象限为减函数，而0.5<，∴a>b.
又log2.51.5<1，故a>b>c.]
7．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·x的图象不过原点，那么( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
B [由题意，得m2－3m＋3＝1，∴m＝1或2，又函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.综上m＝1或2.]
8．设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序为( )
A．f(－2)B．f(3)C．f(－π)D．f(－π)A [根据f(x)是定义域为R的偶函数，则有f(－x)＝f(x)，故f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且2<3<π，∴f(2)∴f(－2)9．设a>1，若对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝3，这时a的取值的集合为( )
A．{a|1C．{a|2≤a≤3} D．{2,3}
B [由logax＋logay＝3，得loga(xy)＝3，即xy＝a3，∴y＝.
当x∈[a,2a]时，都有y∈[a，a2]满足方程，也就是说，y＝在x∈[a,2a]内的值域应是[a，a2]的子集．
由a≤x≤2a，知≤y≤a2，∴a≤.
又∵a>1，∴a≥2.]
10．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log f(x)的图象大致是( )
C [设y＝log u，u＝f(x)，所以根据外层函数是单调减函数，所以看函数u＝f(x)的单调性，在(0,1)上u＝f(x)为减函数，所以整体是增函数，u>1，所以函数值小于0，在(1,2)上u＝f(x)为增函数，所以整体是减函数，u>1，所以函数值小于0，所以选C.]
11．已知函数f(x)＝log2(x2－5x＋6)，则该函数的递增区间为( )
A．(－∞，2) B．(0，＋∞)
C． D．(3，＋∞)
D [由题意，得f(x)＝log2(x2－5x＋6)的定义域为(－∞，2)∪(3，＋∞)．令t＝x2－5x＋6，则f(t)＝log2t.∵f(t)＝log2t在(0，＋∞)为增函数，而函数t＝x2－5x＋6的增区间为，根据复合函数的单调性“同增异减”，得函数f(x)单调递增区间为(3，＋∞)．]
12．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3x
C．f(x)＝x D．f(x)＝
B [对于选项A，f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故选项A错误；对于选项B，f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x是增函数，故选项B正确；对于选项C，f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，故选项C错误；对于选项D，f(x)＝，f(x＋y)＝＝·，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝不是增函数，故选项D错误．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．设集合B＝{a1，a2，…，an}，J＝{b1，b2，…，bm}，定义集合BJ＝{(a，b)|a＝a1＋a2＋…＋an，b＝b1＋b2＋…＋bm}，已知B＝{0,1,2}，J＝{2,5,8}，则BJ的子集为________．
?，{(3,15)} [因为根据新定义可知，0＋1＋2＝3,2＋5＋8＝15，故BJ的子集为?，{(3,15)}．]
14．已知f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
－3或5 [当x≤0时，令x2＋1＝10，解得x＝－3或x＝3(舍去)；
当x>0时，令2x＝10，
解得x＝5.
综上，x＝－3或x＝5.]
15．函数f(x)＝的反函数是f －1(x)，则f －1＝________.
2 [令＝，解得x＝2，则f －1＝2.]
16．若y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则f ＝________.
－4 [∵f(x)是奇函数，
∴f ＝f(－log2 3)
＝－f(log2 3)．
又log2 3>0，且x>0时，f(x)＝2x＋1，
故f(log2 3)＝2＋1＝3＋1＝4，
∴f ＝－4.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(1)求的值；
(2)求(log2 3＋log8 9)(log3 4＋log9 8＋log3 2)＋(lg 2)2＋lg 20×lg 5的值．
[解] (1)原式＝5×(－4)×x·y＝24y＝24.
(2)原式＝log2 3＋log2 32log3 2＋log3 2＋log3 2＋(lg 2)2＋(1＋lg 2)lg 5＝log2 3·log3 2＋(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝＋lg 2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＝＋lg 2＋lg 5＝＋1＝.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2 x>1}．
(1)分别求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1[解] (1)A＝{x|3≤3x≤27}＝{x|1≤x≤3}，
B＝{x|log2 x>1}＝{x|x>2}，A∩B＝{x|2(2)①当a≤1时，C＝?，此时C?A；
②当a>1时，C?A，则1综合①②，可得a的取值范围是(－∞，3]．
19．(本小题满分12分)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元时，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式；
(2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资？
[解] 由题图知P1：y1＝axn过点，，
∴∴∴y1＝x，x∈[0，＋∞)．
P2：y2＝bx＋c过点(0,0)，(4,1)，
∴∴∴y2＝x，x∈[0，＋∞)．
(2)设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10－x)万元，
则y＝＋(10－x)＝－x＋ ＋＝－＋(0≤x≤10)，
当且仅当＝即x＝＝6.25时，ymax＝，
此时投资乙商品为10－x＝10－6.25＝3.75万元，
故用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．
20．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1，其中a＞0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1＜f(x－1)＜4，结果用集合或区间表示．
[解] (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，
即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
即f(x)＝－a－x＋1(x＜0)．
∴所求的解析式为
f(x)＝
(3)不等式等价于
或
即或
当a＞1时，有或
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为R.
综上所述，当a＞1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0＜a＜1时，不等式的解集为R.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0，a≠1)，
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
[解] (1)函数f(x)有意义，则ax－1>0，
当a>1时，由ax－1>0，解得x>0；
当00，解得x<0.
∴当a>1时，函数的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则a>a，
f(x1)－f(x2)＝loga(a－1)－loga(a－1)＝loga＝loga.
∵a>a，∴f(x1)－f(x2)＝loga>loga 1＝0，即f(x1)>f(x2)．
由函数单调性定义知：当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的．
当0x2，则af(x1)－f(x2)＝loga(a－1)－loga(a－1)＝loga＝loga.
∵aloga 1＝0，即f(x1)>f(x2)．
由函数单调性定义知：当022．(本小题满分12分)设函数y＝f(x)是定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f ＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性；
(3)如果f(x)＋f(2＋x)<2，求x的取值范围．
[解] (1)令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)令y＝－x，
得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)任取x1，x2∈R，x1则x2－x1>0，
∴f(x2)－f(x1)
＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)>0.
∴f(x1)∵f ＝1，
∴f ＝f
＝f ＋f ＝2.
∴f(x)＋f(2＋x)＝f [x＋(2＋x)]
＝f(2x＋2)又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，
得2x＋2<，解得x<－.
故x的取值范围是.
