课件40张PPT。第1章 集合1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义234确定的不同的每一个5确定性互异性无序性67a，b，c，…A，B，C，…8∈a∈A9NN*或N＋ZQR10111213141516集合的含义 1718192021元素与集合的关系 222324集合元素的特征 252627282930313233343536373839点击右图进入…Thank you for watching !课件42张PPT。第1章 集合1.1 集合的含义及其表示
第2课时 集合的表示234一一列举花括号“{}”5所有性质(满足的条件){x|p(x)}6有限个元素无限个元素不含任何元素?7一一列举无关完全相同8{x|p(x)}9内部不唯一10111213141516集合的表示方法 17181920212223集合相等 242526272829集合表示方法的应用 303132333435363738394041点击右图进入…Thank you for watching !
1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例理解并掌握集合的有关概念.
2.初步理解集合中元素的三个特征．(重点)
3.体会元素与集合的属于关系．(重点)
4.掌握常用数集及其专用符号，初步认识用集合语言表示有关数学对象．(重点、易错易混点)
通过本节内容的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养.
1．元素与集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
2．集合中元素的特性
集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
思考：假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你去集合吗？
[提示] 不知道，不清楚自己到底是不是高个子．
3．元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．
4．元素与集合的关系
(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．
(2)不属于(符号：?或)，a不是集合A中的元素，记作a?A或aA，读作“a不属于A”．
5．常用数集及表示符号
名称
非负整数集(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合． ( )
(2)在一个集合中可以找到两个(或两个以上)相同的元素． ( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)×.因为“漂亮”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．
(2)×.因为集合中的元素具有互异性，故在一个集合中一定找不到两个(或两个以上)相同的元素．
2．由单词different中的字母构成的集合是________．
{d，i，f，e，r，n，t} [由集合中元素的互异性知，重复的字母只能算一个，故字母有d，i，f，e，r，n，t.]
3．用“∈”、“”填空．
3．5________N；－4________Z；0.5________R；
________N*；________Q.
∈ ∈ ∈ [因为3.5不是自然数，故3.5N；
因为－4是整数，故－4∈Z；
因为0.5是实数，故0.5∈R；
因为不是正整数，故N*；
因为是有理数，故∈Q.]
集合的含义
【例1】 观察下列各组对象能否组成一个集合？
(1)2016年里约奥运会上中国队获得的金牌；
(2)无限接近零的数；
(3)方程x2－2x－3＝0的所有解；
(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．
思路点拨：判断一组对象能否构成集合的关键是该组对象是否唯一确定．
[解] (1)能．因为2016年里约奥运会上中国队获得的金牌是确定的．
(2)不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合．
(3)能．因为方程x2－2x－3＝0的解为x1＝3，x2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素3和－1.
(4)能．因为第一象限内的点是确定的点．
一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合的过程为：
1．判断下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2018年在校的所有高个子同学；
(4) 的近似值的全体．
[解] (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．
(2)能构成集合．
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数(如“2”)是不是它的近似值，所以不能构成集合．
元素与集合的关系
【例2】 所给下列关系正确的序号是________．
①－∈R；②Q；③0N*；④|－3|N*.
思路点拨：注意各个数集的范围，尤其是其中的特殊数值．
①②③ [－为实数，是无理数，
0为自然数，但非正整数，3为正整数．
故①②③正确，④错误．]
1．由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“aA”这两种情况中必有一种且只有一种成立．
2．符号“∈”和“”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系．
3．“∈”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合．
2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系中正确的有________．(填序号)
①0∈M,2∈M；②0M,2∈M；③0∈M,2M；④0M,2M.
② [本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可，当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2∈M.]
集合元素的特征
[探究问题]
1．某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合定义中“某些确定的”含义是什么？
[提示] 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准，高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．“某些确定的”含义是集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个对象在不在这个集合中就确定了．
2．有同学说，在某一个集合中有a，－a，|a|三个元素，他说的对吗？
[提示] 这种说法是错误的，因|a|＝且若a＝0，则a，－a，|a|均为0，这些均与元素的互异性矛盾．
3．“中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？怎么说明两个集合相等？
[提示] 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性，只要构成两个集合的元素一样，我们就称这两个集合是相等的．
【例3】 若集合A中有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，求实数a的值．
思路点拨：按－3＝a－3或－3＝2a－1或－3＝a2－4分三类分别求解a的值，注意验证集合A中元素是否满足互异性．
[解] (1)若a－3＝－3，则a＝0，此时满足题意；
(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，满足题意；
当a＝－1时，由(2)知，不满足题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
(变条件)若将本例条件“－3∈A”改为“a∈A”且A为有理数集，其他条件不变，求a的值．
[解] 因为a∈A，
所以a＝a－3或a＝2a－1，a2－4＝a，
又因为A为有理数集，
解得a＝1.
此时集合A含有三个元素－2,1，－3，符合题意，故实数a的值为1.
1．集合元素特性中的互异性，指的是一个集合中不能有两个相同的元素，利用其可以解决一些实际问题，如三角形中的边长问题及元素能否组成集合问题．
2．求解字母的取值范围：当一个集合中的元素含有字母，求解字母的取值范围时，一般可先利用集合中元素的确定性解出集合中字母的所有可能的值或范围，再根据集合元素的互异性进行检验，防止产生增解．(如本题中的a＝－1)
集合中元素的三个特征
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．
(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b.
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.
1．下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R；②2Q；③0∈N*；④|－4|N*.
A．1 B．2
C．3 D．4
B [∵π是实数，2是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数是2.]
2．下列能构成集合的有________．
①中央电视台著名节目主持人；②我市跑得快的汽车；③上海市所有的中学生；④香港超过100层的高楼．
③④ [①②中研究的对象不确定，因此不能构成集合．]
3．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的________．
①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
④ [由元素的互异性知a，b，c均不相等．]
4．若x∈N，求满足2x－5<0的元素组成的集合中所有元素的和．
[解] 由2x－5<0，得x<，又x∈N，∴x＝0,1,2，故所有元素之和为3.
第2课时 集合的表示
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．(重点、难点)
2.通过实例选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3.了解集合相等的概念，并能用于解决问题．(重点)
4.了解集合的不同的分类方法.
通过学习本节内容培养学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.
1．集合的表示方法
表示方法
定义
一般形式
列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内
{a1，a2，…，an，…}
描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来
{x|p(x)}
Venn图法
用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合
2.集合的分类
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含任何元素的集合，记作?
3.列举法
将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内．用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
4．集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
5．描述法
将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
6．集合的三种表示方法
(1)Venn图法表示集合
用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．
(2)三种表示方法的关系
一个集合可以采用不同的表示方法表示，即集合的表示方法不唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}． ( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}相等． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)×.由集合元素的互异性知错．
(2)×.集合{(1,2)}中的元素为有序实数对(1,2)．
(3)√.∵A＝{x|x－1＝0}＝{1}＝B，故正确．
2．(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a＋b＝________.
(1)是 (2)3 [(1)集合{1,2,3}与{3,2,1}元素完全相同，故两集合是相等集合．
(2)由于{1，a}＝{2，b}，故a＝2，b＝1，∴a＋b＝3.]
3．(1)不等式x－7<3的解集用描述法可表示为________．
(2)集合{(x，y)|y＝x＋1}表示的意义是________．
(1){x|x<10} (2)直线y＝x＋1上的所有点组成的集合 [(1)∵x－7<3，∴x<10，故解集可表示为{x|x<10}．
(2)集合的代表元素是点(x，y)，共同特征是y＝x＋1，故它表示直线y＝x＋1上的所有点组成的集合．]
4．若方程x2－4＝0的解组成的集合记作A；不等式x>3的解组成的集合记作B；方程x2＝－1的实数解组成的集合记作C.
则集合A，B，C中，________是有限集，________是空集，________是无限集．
A C B [∵x2－4＝0，∴x＝±2，即A中只有2个元素，A为有限集；大于3的实数有无数个，则B为无限集；x2＝－1无实根，则C为空集．]
集合的表示方法
【例1】 用适当的方法表示下列集合：
(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(2)不等式3x－8≥7－2x的解集；
(3)坐标平面内抛物线y＝x2－2上的点的集合；
(4).
思路点拨：(1)(4)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)(3)中的元素无法一一列举，用描述法表示．
[解] (1)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴或或
∴B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(2)由3x－8≥7－2x，可得x≥3，
所以不等式3x－8≥7－2x的解集为{x|x≥3}．
(3){(x，y)|y＝x2－2}．
(4)∵∈N，x∈N，∴当x＝0,6,8这三个自然数时，＝1,3,9也是自然数，∴A＝{0,6,8}．
1．集合表示法的选择
对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法；对于无明显规律的无限集，可采用描述法．
2．用列举法时要注意元素的不重不漏，不计次序，且元素与元素之间用“，”隔开．
3．用描述法表示集合时，常用的模式是{x|p(x)}，其中x代表集合中的元素，p(x)为集合中元素所具备的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
1．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程x2－x－2＝0的解集；
(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．
[解] (1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．
(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1
大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}.
集合相等
【例2】 (1)集合A＝{x|x3－x＝0，x∈N}与B＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)
(2)若集合A＝{1，a＋b，a}，集合B＝且A＝B，则a＝________，b＝________.
思路点拨：(1)解出集合A，并判断与B是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．
(1)是 (2)－1 1 [(1)x3－x＝x(x2－1)＝0，
∴x＝±1或x＝0.
又x∈N，∴A＝{0,1}＝B.
(2)由题干，a≠0，故a＋b＝0，∴b＝－a.
∴＝－1，∴a＝－1，b＝1.]
已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程?组?，求解时还要注意集合中元素的互异性.
2．已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ax，ax2}．若A＝B，求实数x的值．
[解] 若消去b，
则a＋ax2－2ax＝0，
∴a(x－1)2＝0，即a＝0或x＝1.
当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去；
当x＝1时，集合B中的元素均为a，故舍去．
若消去b，则2ax2－ax－a＝0.
又∵a≠0，
∴2x2－x－1＝0，
即(x－1)(2x＋1)＝0.
又∵x≠1，
∴x＝－.
经检验，当x＝－时，A＝B成立．
综上所述，x＝－.
集合表示方法的应用
[探究问题]
1．集合{x|x2－1＝0}的意义是什么？
[提示] 表示方程x2－1＝0的根组成的集合，即{1，－1}．
2．集合A＝{x|ax2＋bx＋c＝0(a≠0)}可能含有几个元素，每一种情况对a，b，c的要求是什么？
[提示] 因a≠0，故ax2＋bx＋c＝0一定是二次方程，其根的情况与Δ的正负有关．若A中无元素，则Δ＝b2－4ac<0；若A中只有一个元素，则Δ＝b2－4ac＝0；若A中有两个元素，则Δ＝b2－4ac>0.
【例3】 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
思路点拨：A中只有一个元素说明方程kx2－8x＋16＝0可能是一次方程，也可能是二次方程，但Δ＝0.
[解] (1)当k＝0时，原方程为16－8x＝0.∴x＝2，此时A＝{2}．
(2)当k≠0时，由集合A中只有一个元素，∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，则Δ＝64－64k＝0，即k＝1，
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
1．用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合中的元素；
(2)把这些元素写在花括号内．
2．用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性．
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋b(a，b∈R)．集合A＝{x|f(x)－x＝0}，B＝{x|f(x)＋ax＝0}，若A＝{1，－3}，试用列举法表示集合B.
[解] ∵A＝{1，－3}，∴?
?
∴f(x)＋ax＝x2＋3x－3＋(－3x)＝0＝x2－3，
∴x＝±，∴B＝{，－}．
集合表示的要求：
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.
1．方程组的解集不可表示为( )
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
C [方程组的解应是有序数对，③是数集，不能作为方程组的解．]
2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为________．
{1,2,3,4} [∵x－3<2，∴x<5.
又x∈N*，∴x＝1,2,3,4.]
3．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________.
1或 [∵M＝N，则有或解得
或∴a＋b＝1或.]
4．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
[解] 三个集合不相等，这三个集合都是描述法给出的，但各自的意义不一样．
集合A表示y＝x2＋3中x的范围，x∈R，∴A＝R，集合B表示y＝x2＋3中y的范围，B＝{y|y≥3}，集合C表示y＝x2＋3上的点组成的集合．
课时分层作业(一) 集合的含义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列条件能形成集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天所有课程．
D [A、B、C的对象不确定，D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.]
2．下面有三个命题，正确命题的个数为( )
(1)集合N中最小的数是1；
(2)若－a不属于N，则a属于N；
(3)若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2.
A．0 B．1
C．2 D．3
A [(1)最小的数应该是0，(2)当a＝0.5时，－0.5N，且0.5N，(3)当a＝0，b＝1时，a＋b＝1.]
3．已知①∈R；②∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3Z.
正确的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [①②③正确，④⑤错误．]
4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m等于( )
A．0 B．3
C．0,3 D．0,3,2
B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与集合中元素的互异性相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与集合中元素的互异性相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．]
5．设不等式x－a>0的解集为集合P，若2P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
C [因为2P，所以2不满足不等式x－a>0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2.
所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．]
二、填空题
6．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则苏州________A；广州________A．(填∈或)
∈ [苏州不是省会城市，而广州是省会城市．]
7．设直线y＝2x＋3上的点的集合为P，则点(1,5)与集合P的关系是________，点(2,6)与集合P的关系是________．
(1,5)∈P (2,6) P [点(1,5)在直线y＝2x＋3上，
点(2,6)不在直线y＝2x＋3上．]
8．如果有一个集合含有三个元素1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
x [由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.]
三、解答题
9．已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x.
[解] 当3x2＋3x－4＝2，即x2＋x－2＝0时，得x＝－2，或x＝1，经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时，得x＝－3或x＝2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
10．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A.
(1)若a＝2，求出A中其他所有元素；
(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由．
[解] (1)由2∈A，得＝－3∈A；
又由－3∈A，得＝－∈A；
再由－∈A，得＝∈A；
由∈A，得＝2∈A.
故A中其他所有元素为－3，－，.
(2)0不是集合A中的元素．
若0∈A，则＝1∈A，而当1∈A时，中分母为0，故0不是集合A中的元素．
[等级过关练]
1．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2A．5 B．6
C．7 D．8
B [由题知集合P中元素为3,4,5.又因为a为整数，故a＝6.]
2．已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x≠±1 D．x≠0且x≠±1
D [根据集合元素的互异性，得
解得x≠0且x≠±1.]
3．设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．
8 [由题意知，a＋b可以是0＋1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋1,5＋2,5＋6共8个不同的数值．]
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为________．
2或4 [若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0A.]
5．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
[证明] (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中还有另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
课时分层作业(二) 集合的表示
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．不等式|8－3x|>0的解集是( )
A．? B．R
C． D．
C [由|8－3x|>0可知，8－3x≠0，即x≠.故不等式解集为.]
2．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B为( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{－1，－2,0,1} D．?
B [当y＝－1，－2,0,1时对应的x＝1,2,0,1，故B＝{0,1,2}．]
3．下列各组集合中，满足P＝Q的是( )
A．P＝{(1,2)}，Q＝{1,2}
B．P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}
C．P＝{1,2,3}，Q＝{3,2,1}
D．P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，
Q＝{y|y＝x－1，x∈R}
C [A中P为坐标，Q为数．
B中P，Q都是坐标，但两坐标不同．
C中P＝Q.
D中P为直线y＝x－1上点的坐标，而Q表示直线y＝x－1上点的纵坐标．]
4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [列表如下：
0
1
2
0
0
－1
－2
1
1
0
－1
2
2
1
0
可见B中元素有0,1,2，－1，－2.]
5．已知x，y为非零实数，则集合M＝可简化为( )
A．{0} B．{－1}
C．{3} D．{－1,3}
D [当x＞0，y＞0时，m＝3，
当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1.
若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，
则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]
二、填空题
6．设集合A＝{4x，x－y}，B＝{4,7}，若A＝B，则x＋y＝________.
－5或－ [∵A＝B，∴或解得或
∴x＋y＝－5或－.]
7．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________．
－3 [∵A＝B，∴－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的根，
由根与系数的关系得∴a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3.]
8．已知集合A＝，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x2 019＋y2 020＝________，A＝B＝________.
－1 {－1,0,1} [由题知x≠0，∴y＝0，则A＝{x,0,1}，B＝{x2，x,0}，∴x2＝1，∴x＝±1，y＝0.
当x＝1时，A中有两个1，与元素的互异性矛盾，
当x＝－1时，符合题意，此时A＝B＝{－1,0,1}，
x2 019＋y2 020＝－1.]
三、解答题
9．试分别用列举法和描述法表示下列集合．
(1)方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
[解] (1)x2－9＝0，∴x＝±3，列举法表示为{－3,3}，
描述法表示为{x|x2－9＝0}．
(2)大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19.
列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}，
描述法表示为{x|1010．设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5B，求a的值．
[解] ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意．综上所述，a＝－4.
[等级过关练]
1．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a2 020＋b2 020的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1
B [由题知 (1)或 (2)
解(1)得此时，A中的三个元素均为1，这与互异性矛盾．
解(2)得a＝－1或1(舍)，此时b＝0，
∴a2 020＋b2 020＝1.]
2．设是R上的一个运算，A是某些实数组成的集合．若对任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
C [自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如3－4＝－1N；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如2÷4＝0.5Z；无理数集中乘法运算的结果可以是有理数，如×＝2∈Q.故选C.]
3．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________(M，P，Q中的一个)．
Q [依据题意设a＝3k，b＝3t＋1，c＝3m－1(k，t，m∈Z)，则a＋b－c＝3(k＋t－m)＋2＝3(k＋t－m＋1)－1，所以该元素具有集合Q中元素的特征性质，应属于集合Q.]
4．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝________，y＝________.
－1 －1 [∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，
∴x≠0.
又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0.
∴x＝y.
从而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|.∴x＝0或x＝1或x＝－1.
经验证x＝0，x＝1均不合题意，
∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．]
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值；
(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(4)若A＝?，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
(2)若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由(1)知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a<0，即a>1时，A为?；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素；故当a＝0或a≥1时A中最多有一个元素．
(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当A中有两元素时，a≠0由Δ>0，得a<1且a≠0，结合(1)可知，a≤1.
(4)A＝?时，由(2)知，a>1.
