课件38张PPT。第1章 集合1.2 子集、全集、补集
第1课时 子集、真子集任意一个??包含于包含A?BA≠BA真包含于BB真包含A集合关系的判断 有关子集个数的计数问题 集合之间的包含关系 点击右图进入…Thank you for watching !课件26张PPT。第1章 集合1.2 子集、全集、补集
第2课时 全集、补集(3)图形表示： S中不属于A我们所要研究的各个集合集合的补集 补集与子集的综合应用 点击右图进入…Thank you for watching !1.2 子集、全集、补集
第1课时 子集、真子集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)
2.能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)
3.能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)
通过学习本课时内容进一步提升学生的逻辑推理、数学抽象的核心素养.
1．子集的概念及其性质
(1)子集
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示
A?B(或B?A)
读法
集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
(2)子集的性质
①A?A，即任何一个集合是它本身的子集．
②??A，即空集是任何集合的子集．
③若A?B，B?C，则A?C，即子集具备传递性．
(3)集合相等
若A?B且B?A，则A＝B.
2．真子集的概念及性质
(1)真子集的概念
如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
(2)性质
①?是任一非空集合的真子集．
②若AB，BC，则AC.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){2,3}?{x|x2－5x＋6＝0}． ( )
(2)??{0}． ( )
(3)??{?}． ( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
[提示] (1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因?是任何集合的子集，故(2)(3)正确．
2．{1，a}?{1,2,3}，则a＝________.
2或3 [因为{1，a}?{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素，故a＝2或3.]
3．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．
AB [∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．
显然AB.]
集合关系的判断
【例1】 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－1
思路点拨：分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．
[解] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.
(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．
(3)∵Q中n∈Z，
∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，
∴P＝Q.
(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.
(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB.
判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论.由AB可推出A?B，但由A?B推不出AB.
1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S真子集的是________．(填序号)
(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；
(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；
(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．
(1)(2)(3) (1)(2) [(1)中A?S，且AS；(2)中A?S且AS；(3)中S?A且SA.]
有关子集个数的计数问题
【例2】 (1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．
(2)若集合{1,2}?M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.
思路点拨：对于确定子集(或个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．
[解] (1)按子集中包含元素的个数来写：
含元素个数
子集
子集个数
0
?
1
1
{1}{2}{3}
3
2
{1,2}{1,3}{2,3}
3
3
{1,2,3}
1
其中真子集有7个．
(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．
M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
1．求解有限集合的子集问题，关键有三点
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
2．集合M满足{4,5}?M?{1,2,3,4,5}，则这样的M共有________个．
8个 [易知M中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．]
集合之间的包含关系
[探究问题]
1．A?B的意义是什么？若M＝{x|x≤2}，N＝{x|x≤1}，则N?M成立吗？
[提示] A?B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N?M.
2．若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x<1}，则M?N成立吗？
[提示] 不成立，因为1∈M但1N，故M?N错误．
3．集合M＝{x|2a[提示] M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.
【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1思路点拨：→
→
[解] ∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
(2)当B≠?时，有
解得－1≤m<2，综上得m≥－1.
(变条件)若将本例中的“B?A”改为“A?B”，求实数m的范围．
[解] ∵A?B，
∴
∴不存在这样的m，使得A?B.
1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
2．两个易错点
(1)当B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论；
(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但xA.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.
1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B?A，则实数m的值为( )
A．0 B．2
C．0或2 D．1
C [因为B?A，那么m∈{0,2}，所以m的值是0或2.]
2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B [根据子集定义，集合A的子集为?，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，显然含有元素0的子集共有4个. ]
3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
BA [∵B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.]
4．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．
[解] 因为B是A的子集，
所以B中元素必是A中的元素，
若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．
若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，
所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.
因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，
此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．
综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．
第2课时 全集、补集
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解全集的意义，理解补集的含义．(重点)
2.能在给定全集的基础上求已知集合的补集．(难点)
通过求集合的补集来提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.
1．补集
(1)定义：设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为?SA(读作“A在S中的补集”)．
(2)符号表示
?SA＝{x|x∈S，且x?A}．
(3)图形表示：
2．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合的补集中一定含有元素． ( )
(2)研究A在U中的补集时，A必须是U的子集． ( )
(3)一个集合的补集的补集是其自身． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．U＝{x|－1＜x＜2}，集合A＝{x|0＜x＜2}，则?UA＝______.
{x|－1＜x≤0} [根据补集的定义，所求为在U中但不在A中的元素组成的集合，所以?UA＝{x|－1＜x≤0}．]
集合的补集
【例1】 (1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则?UA等于________；
(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则?UA＝__________，?UB＝________.
思路点拨：(1)利用数轴将集合表示出来再求补集；
(2)利用列举法表示出全集U，集合A，B，再求A，B的补集．
(1){x|－2≤x≤－1或0≤x≤2} (2){0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10} [(1)在数轴上表示出全集U，集合A，如图所示，根据补集的概念可知?UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}．
(2)U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
因为A＝{小于10的正奇数}＝{1,3,5,7,9}，所以?UA＝{0,2,4,6,8,10}．
因为B＝{小于11的素数}＝{2,3,5,7}，所以?UB＝{0,1,4,6,8,9,10}．]
1．求补集?UA的关键是确定全集U及集合A的元素．常见补集的求解方法有：
(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．
(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．
(3)利用Venn图求解．
2．补集是以全集为前提建立的，即A一定是U的子集，?UA也一定是U的子集，求解有关问题时，一定要充分利用这种包含关系．
已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－2{x|－3≤x≤－2或x>4} [将全集U，集合A表示在数轴上，如图所示．
∴?UA＝{x|－3≤x≤－2或x>4}．]
补集与子集的综合应用
[探究问题]
1．若M?N，则?UM与?UN有什么关系？
[提示]
由Venn图可知，若M?N，?UM??UN.
反之，若?UM??UN，则M?N，即M?N??UM??UN.
2．若M?N，针对M应考虑的两种情况是什么？
[提示] 两种情况是M＝?和M≠?.
【例2】 已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求实数a的取值范围．
思路点拨：首先应对B是否为空集进行讨论，得出?UB，然后再利用A??UB得关于a的不等式求解即可．
[解] 若B＝?，则a＋1>2a－1，∴a<2.
此时?UB＝R，∴A??UB；
若B≠?，则a＋1≤2a－1，即a≥2，
此时?UB＝{x|x2a－1}，
由于A??UB，如图，
则a＋1>5，∴a>4，
∴实数a的取值范围为a<2或a>4.
(变条件)若将本例中的“A??UB”改为“B??UA”，求实数a的取值范围．
[解] ?UA＝{x|x<－2或x>5}．
∵B??UA，
当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝?，B??UA.
当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠?.
∴2a－1<－2或a＋1>5，
即a>4，
综上，a的取值范围为a<2或a>4.
解决此类问题应注意以下几点
(1)空集作为特殊情况，不能忽略；
(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；
(3)端点值能否取到，应注意分析．
1．?UA的数学意义包括两个方面：①A?U，也即暗含了A必须是U的子集这一条件；②?UA＝{x|x∈U，且xA}．
2．补集是集合间的关系，也是集合间的一种运算，还是一种数学思想.
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则?UB＝________.
{1,2} [根据补集的定义?UB＝{x|x∈U且xB}＝{1,2}．]
2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.
{x|x<1} [A＝{x|x≥1}，∴?UA＝{x|x<1}．]
3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－3{x|－4≤x≤－3，或24．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2(1)求?UA，?UB；
(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范围．
[解] (1)∵A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2∴借助于数轴知?UA＝{x|x<3，或x≥10}，
?UB＝{x|x≤2，或x>7}．
(2)要使A?C，只需a<3即可．∴a的取值范围为{a|a<3}．
课时分层作业(三) 子集、真子集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
A．空集是任何集合的真子集
B．若AB，BC，则AC
C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
D．?＝{0}
B [空集是任意非空集合的真子集，空集只有一个子集即它本身．空集不含任何元素，{0}中有一个元素0.]
2．已知集合A＝{x|－1A．a≥4 B．a>4
C．a<4 D．a≤4
A [∵AB，故a≥4.]
3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}(c≠d)，集合A满足A?B，A?C.则集合A可能的个数是( )
A．8 B．3
C．4 D．1
C [若A＝?，满足A?B，A?C.若A≠?，由A?B，A?C，知A是由属于B且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．故选C.]
4．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定义P－Q＝{x|x＝p—q，p∈P，q∈Q}，则集合P－Q的所有真子集的个数为( )
A．32 B．31
C．30 D．29
B [由所定义的运算，知P－Q＝{1,2,3,4,5}．则P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.]
5．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2－6x＋9＝0}，则下列关系中正确的是( )
A．M＝P B．M?P
C．MP D．PM
D [由x2－6x＋9＝0，得(x－3)2＝0，∴x＝3，∴集合P＝{3}．∵3∈{x|x>1}，∴P?M.又∵2∈M，但2P，∴PM.]
二、填空题
6．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系错误的有________．(填序号)
①SU；②FT；③ST；④SF；⑤SF；⑥FU.
②④⑤ [①③⑥是正确的，②④⑤错误．]
7．已知?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
a≤ [∵?{x|x2－x＋a＝0}，
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?，
∴x2－x＋a＝0至少有一个根，则Δ＝1－4a≥0，
∴a≤.]
8．集合M＝{x|2a－1 [∵N?M，∴?≤a≤1.]
三、解答题
9．设集合A＝{x|a－2(1)若AB，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使B?A?
[解] (1)AB，则?0≤a≤1.
(2)要使B?A，则?a∈?.
∴不存在a∈R，使B?A.
10．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合．
[解] 由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
∴集合A＝{1,3}．
(1)当B＝?时，此时m＝0，满足B?A.
(2)当B≠?时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.
∵B?A，∴＝1或＝3，
解之得m＝3或m＝1.
综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．
[等级过关练]
1．已知A＝{0,1}，且B＝{x|x?A}，则B为( )
A．{0,1} B．{{0}，{1}}
C．{{0}，{1}，{0,1}} D．{{0}，{1}，{0,1}，?}
D [A的子集为?，{0}，{1}，{0,1}，故B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}．]
2．已知集合M＝{x|x＝，n∈Z}，N{x|x＝＋n，n∈Z}，则集合M，N之间的关系为( )
A．NM B．N?M
C．MN D．M?N
A [对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；而对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．
由真子集的概念知，NM.]
3．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}恰有两个子集，则a＝________.
4 [A只有两个子集，表示A中只含有一个元素．若a＝0，A＝?，不合题意，若a≠0，则Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4或a＝0(舍)．]
4．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
M＝P?S [M中的x＝3k－2＝3(k－1)＋1∈P，∴M?P，
同理P中的y＝3n＋1＝3(n＋1)－2∈M，∴P?M，
∴M＝P.
S中的z＝3(2m)＋1，∵2m∈偶数，∴S?P＝M.]
5．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．
[解] A＝{2,3}，B＝{x|x2＋ax＋6＝0}，B为方程x2＋ax＋6＝0的解集，所以分类讨论得：
①若B≠?，由B?A，∴B＝{2}或B＝{3}或B＝{2,3},
当B＝{2}时，方程x2＋ax＋6＝0有两个相等实根，
即x1＝x2＝2，x1x2＝4≠6，∴不合题意.
同理B≠{3}.
当B＝{2,3}时，a＝－5，符合题意.
②若B＝?，则Δ＝a2－4×6<0，∴－2综上所述，实数a的取值范围为{a|a＝－5或－2＜a＜2}.
课时分层作业(四) 全集、补集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4A．{3} B．{3,4}
C．{3,7} D．{3,4,7}
B [A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴?AB＝{3,4}．]
2．设全集为R，函数f(x)＝的定义域为M，则?RM＝( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x<1} D．{x|x≤1}
A [因为1－x≥0即x≤1.
即M＝{x|x≤1}．故?RM＝{x|x>1}．]
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z||x－3|<2}，则集合?UA＝( )
A．? B．{1,2,5}
C．{1,5} D．{1,4,5}
C [∵|x－3|<2，∴－24．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，?UM＝{5,7}，则实数a＝( )
A．3 B．5
C．7 D．8
D [由题知a－5＝3，a＝8.]
5．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，则a＋b＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
C [∵?U(?UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7.]
二、填空题
6．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若?UM＝{－1,1}，则实数p的值为________．
6 [∵?UM＝{－1,1}，∴M＝{2,3}，即2,3是x2－5x＋p＝0的根，∴p＝2×3＝6.]
7．已知全集U＝{x|－1≤x≤1}，A＝{x|00从而a≤1.
又?UA≠U，∴A≠?，故a>0.
综上可知08．已知集合U＝{－1,2,3,6}，且A?U，A＝{x|x2－5x＋m＝0}．若?UA＝{2,3}，则实数m的值为________．
－6 [∵U＝{－1,2,3,6}，?UA＝{2,3}，∴A＝{－1,6}，
则－1,6是方程x2－5x＋m＝0的两根，
故－1×6＝m，即m＝－6.
故实数m的值为－6.]
三、解答题
9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}．
(1)若?U(?UB)＝{0,1}，求实数a的值；
(2)若?UA＝{3,4}，求实数a的值．
[解] (1)∵?U(?UB)＝{0,1}，
∴B＝{0,1}，且B?U，
∴得a无解；
或得a＝2.
∴a＝2.
(2)∵?UA＝{3,4}，又?UA?U，
∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，
∴a＝4或a＝－2或a＝.
经验证，当a＝4时，不合题意，舍去．
∴所求实数a的值为－2或.
10．设全集U＝R，A＝{x|3m－1[解] 由题意知，?UB＝{x|x≥3或x≤－1}，
(1)若A?UB，且A≠?，则3m－1≥3或2m≤－1，
∴m≥或m≤－.
又A≠?，∴3m－1<2m，
∴m<1，即m≤－.
(2)若A＝?，则3m－1≥2m，得m≥1，
综上所述，m≤－或m≥1.
[等级过关练]
1．设全集U和集合A，B，P，满足A＝?UB，B＝?UP，则A与P的关系是( )
A．A＝P B．A?P
C．P?A D．A≠P
A [由A＝?UB，得?UA＝B.
又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA，
即A＝P.]
2．已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若?RA?C，则a的范围是( )
A．a≤－1 B．a<－1
C．a≥5 D．a>5
B [?RA＝{x|－1≤x≤5}，要使?RA?C，则a<－1.]
3．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝[2，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．
{1} [阴影部分可以看作A与B的公共部分在集合A中的补集．
由题知A与B的公共部分为{2,3,4,5}，设C＝{2,3,4,5}．∴?AC＝{1}．]
4．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝，则?AB＝________.
{(0,0)} [A表示直线y＝2x上的点，B表示去掉了原点，∴?AB＝{(0,0)}．]
5．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a(1)若P＝R，求?UA中最大元素m与?UB中最小元素n的差m－n；
(2)若P＝Z，求?AB和?UA中所有元素之和及?U(?AB)．
[解] (1)由已知得?UA＝{x|－1≤x<0，或x＝2}，
?UB＝{x|－1≤x≤－a，或1∴m＝2，n＝－1，
∴m－n＝2－(－1)＝3.
(2)∵P＝Z，∴U＝{x|－1≤x≤2，x∈Z}＝{－1,0,1,2}，A＝{x|0≤x<2，x∈Z}＝{0,1}，B＝{1}或{0,1}．
∴?AB＝{0}或?AB＝?，即?AB中元素之和为0.
又?UA＝{－1,2}，其元素之和为－1＋2＝1.
故所求元素之和为0＋1＝1.
∵?AB＝{0}，或?AB＝?，
∴?U(?AB)＝{－1,1,2}或?U(?AB)＝?U?＝U＝{－1，0,1,2}.
