课件46张PPT。第2章 函 数2.1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念非空的数集每一个元素x唯一y＝f(x)，x∈A所有的输入值x每一个对应所有输出值y函数的概念 求函数的定义域 求函数的值域或函数值 抽象函数求定义域 点击右图进入…Thank you for watching !课件46张PPT。第2章 函 数2.1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
第2课时 函数的图象横坐标函数值f(x0){(x，f(x))|x∈A}{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}列表描点连线直线抛物线向上向下作函数的图象 函数图象的应用 利用图象的平移变换作函数图象 图(1) 图(2) 点击右图进入…Thank you for watching !
2.1 函数的概念
2.1.1 函数的概念和图象
第1课时 函数的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)
2.会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)
通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养.
函数的概念
函数的定义
设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.
函数的记法
从A到B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A.
函数的定义域
在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.
函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？
[提示] 不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． ( )
(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数． ( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．(1)函数f(x)＝的定义域为________．
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
(3)函数f(x)＝(x∈N)的定义域为________．
(1){x|x≥10} (2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} [(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
(3)?∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]
3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝________.
0 [f(1)＝12－3×1＋2＝0.]
4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为________．
{－3，－2，－1,0} [f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0.]
函数的概念
【例1】 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；
(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；
(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
思路点拨：求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．
[解] (1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|B，故不能构成函数．
(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．
(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
1.下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)
①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝.
② [对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]
求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝＋x0＋；
(4)f(x)＝.
思路点拨：根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．
[解] (1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，
即f(x)的定义域为.
(2)要使f(x)有意义，则?x≥－1且x≠2，
即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f(x)有意义，则
解得x≥－4且x≠0，x≠－2，
即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．
(4)要使f(x)有意义，则x＋1≠0，∴x≠－1，
即f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
2．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝＋且 x∈Z.
[解] (1)要使函数有意义，只需所以x＜且x≠0，所以函数的定义域为.
(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3.
又x∈Z，所以x＝－1,0,1,2,3.
所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}.
求函数的值域或函数值
【例3】 已知f(x)＝x2－4x＋2.
(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；
(2)求f(x)的值域；
(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．
思路点拨：(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f[g(3)]．
[解] (1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，
f(a)＝a2－4a＋2，
f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.
(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，
∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．
(3)g(3)＝3＋1＝4，
∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.
1．函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．
3．在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．
[解] f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，
g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.
抽象函数求定义域
[探究问题]
1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？
[提示] f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．
2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？
[提示] y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．
3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？
[提示] 由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．
【例4】 (1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．
(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为________．
(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为________．
思路点拨：找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．
(1)[－1,2] (2)[3,6] (3) [(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，
故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．
(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，
即f(2x)的定义域为.]
抽象函数的定义域
?1?已知f?x?的定义域，求f?g?x??的定义域：若f?x?的定义域为[a，b]，则f?g?x??中a≤g?x?≤b，从中解得x的取值范围即为f?g?x??的定义域.
?2?已知f?g?x??的定义域，求f?x?的定义域：若f?g?x??的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g?x?的取值范围，g?x?的取值范围即为f?x?的定义域.
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：
①定义域指自变量的取值范围.?告诉我们已知什么，求什么?
②括号内范围相同.?告诉我们如何将条件与结论联系起来
4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为________．
[－5,0] [对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．
(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．
1．下列图象表示函数图象的是( )
C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
B．f(x)＝，g(x)＝()2
C．f(x)＝，g(x)＝x＋1
D．f(x)＝·，g(x)＝.
A [A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]
3．函数y＝＋的定义域是________．
{x|x≥－1且x≠2} [要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]]
4．求下列函数的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝.
[解] (1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y＝＝＝2＋，
显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
第2课时 函数的图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点)
2.能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)
通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养.
1．函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
思考：函数的图象是否可以关于x轴对称？
[提示] 不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．
2．作图、识图与用图
(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．
(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点． ( )
(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象． ( )
[答案] (1)× (2)×
[提示] (1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f(x)有一个交点，若a[m，n]，则x＝a与y＝f(x)无交点，故(1)错误．
(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f(x)的图象．
2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有________．(填序号)
②④ [能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．]
3．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是________．(填序号)
③ [由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．]
作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象，并求函数的值域．
(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；
(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．
思路点拨：(1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的孤立点．
(2)中函数图象为抛物线的一部分．
[解] (1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，
∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．
由图象可知，值域为{5,4,2,1}．
(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，
故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，
x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．
(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了．
[解] 图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．
∵x＝0时，y＝2，x＝3时，y＝5.
∴值域变为[1,5)．
1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．
2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．
3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．
函数图象的应用
【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：
(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；
(2)求f(x)在[－1,2]上的值域；
(3)求f(x)与y＝x的交点个数；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
思路点拨：从图象上找到对应问题的切入点进而求解．
[解] (1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，
∴f(－2)
(2)在x∈[－1,2]时，f(－1)＝0，f(1)＝4，f(2)＝3，
∴f(x)∈[0,4]．
(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f(x)与y＝x有两个交点．
(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．
∴0≤k<3或k＝4.
1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．
2．常借助函数图象求解以下几类问题
(1)比较函数值的大小；
(2)求函数的值域；
(3)分析两函数图象交点个数；
(4)求解不等式或参数范围．
1．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．
[解] 原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，
即(x－2)2＝1－m，
设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，
由图可知：
①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴m＝1或－3(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)
利用图象的平移变换作函数图象
[探究问题]
1．设f(x)＝x2，则f(x＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，作出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？
[提示] f(x＋1)＝(x＋1)2，两者图象的形状相同，f(x＋1)的图象比f(x)的图象向左了一个单位．如图(1)．
2．同一坐标系中作出f(x)＝x2，f(x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？
[提示] f(x－2)＝(x－2)2，f(x)与f(x－2)的图象形状相同，f(x－2)的图象比f(x)的图象向右了2个单位．如图(1)．
图(1)
3．若已知y＝f(x)的图象，如何得到y＝f(x＋a)的图象？
[提示] 当a>0时，y＝f(x＋a)可由y＝f(x)向左移动a个单位．当a<0时，y＝f(x＋a)可由y＝f(x)向右移动|a|个单位．
4．若f(x)＝x2，写出y＝f(x)＋1和y＝f(x)－2的表达式，并在同一坐标系中作出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，若已知f(x)的图象，如何得到y＝f(x)＋b的图象？
[提示] y＝f(x)＋1＝x2＋1，y＝f(x)－2＝x2－2，如图(2)．
图(2)
由y＝f(x)的图象得到y＝f(x)＋b的图象时，
若b>0，把f(x)的图象向上移动b个单位得y＝f(x)＋b的图象．若b<0，把f(x)的图象向下移动|b|个单位得y＝f(x)＋b的图象．
【例3】 用平移图象的方式作出y＝2＋的图象，并说明函数y＝2＋的值域．
思路点拨：y＝2＋可以看作y＝先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到．
[解]
从图象可以看出y＝2＋的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
函数图象的平移变换
?1?左右平移：a＞0时，y＝f?x?的图象向左平移a个单位得到y＝f?x＋a?的图象；a＞0时，y＝f?x?的图象向右平移a个单位得到y＝f?x－a?的图象.
?2?上下平移：b＞0时，y＝f?x?的图象向上平移b个单位得到y＝f?x?＋b的图象；b＞0时，y＝f?x?的图象向下平移b个单位得到y＝f?x?－b的图象.
2．已知函数y＝，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为________．
1 [y＝y＝y＝－b过(0,0)，故－b＝0，
∴1－ab＝0，∴ab＝1.]
1．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点．
2．在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确．
3．分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象．
1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )
D [A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中出现“一对多”的关系，不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不构成函数；D中对应关系符合函数定义．]
2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是( )
B [y＝－|x|，当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2.故选B.]
3．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－1)＝________；
(3)f(－3)＝________；
(4)f(－2)＝________；
(5)f(2)＝________；
(6)f(4)＝________；
(7)若2(1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6 (7)f(x1)≤f(x2) [由图象知f(0)＝4，f(－1)＝5，f(－3)＝0，f(－2)＝3，f(2)＝2，f(4)＝6，当24．作出下列函数的图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)．
[解] (1)用描点法可以作出y＝x2＋x(－1≤x≤1)的图象，如图所示．
易知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为.
(2)用描点法可以作出y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的图象，如图所示．
易知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
课时分层作业(六) 函数的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列关于函数概念的说法中，正确的序号是( )
A．函数定义域中的每一个数都有值域中唯一确定的一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个元素
D．函数的定义域和值域可以是空集
A [由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域中一定有唯一确定的元素与之对应，故A正确；函数的定义域和值域可以为有限集合，如f(x)＝x＋1，x∈{1,2,3}，则y∈{2,3,4}，故B不对；根据函数定义可知，当定义域中只有一个元素时，值域也只有一个元素，但当值域只有一个元素时，定义域却不一定只有一个元素，如f(x)＝1，x∈R，C不对．由函数定义可知定义域和值域均是非空数集，D不对．]
2．下列各式中函数的个数为( )
①y＝x－(x－3)；②y＝＋；③y＝x2；④y＝±x.
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①y＝x－(x－3)＝3为函数；②要使函数有意义，需有
解得x∈?，不是函数；易知③为函数；而④，对于任一个x值，y有两个对应值，所以④不是函数．]
3．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为( )
A．(0,5) B．
C． D．(0，＋∞)
B [由题意知0解得0又底边长y与腰长x应满足2x>y，即4x>10，x>.
综上，4．下列四组中f(x)，g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝|x|.
B [A中的两个函数它们的解析式相同，定义域不同；B中的两个函数它们的解析式一样，定义域均为实数集R，故是同一函数；C中函数的定义域不同；D中函数的解析式不一样．]
5．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
A．[－1,3] B．(0,3]
C．{0，－1,0,3} D．{－1,0,3}
D [当x取0,1,2,3时，y的值分别为0，－1,0,3，由集合中元素的互异性知值域为{－1,0,3}．]
二、填空题
6．若函数f(x)的定义域为[－1,1]，则f(2x＋1)的定义域为________．
[－1,0] [由题可知－1≤2x＋1≤1，∴－1≤x≤0，所以函数定义域为[－1,0]．]
7．函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
k≥ [定义域为R，所以kx2－6x＋8≥0恒成立，因此满足代入解不等式组得k≥.]
8．若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是________．
[－1,2) [由题意可得?－1≤x<2，所以g(x)的定义域为[－1,2)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)当x＝4时，求f(x)的值；
(2)当f(x)＝2时，求x的值．
[解] (1)∵f(x)＝，∴f(4)＝＝－3.
(2)由f(x)＝2，得＝2.
解方程得x＝14.
10．判断下列对应是否为函数．
(1)x→，x≠0，x∈R；
(2)x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R.
[解] (1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，
所以当x≠0时，x→是函数，
这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．
(2)考虑输入值为4，即当x＝4时输出值y由y2＝4给出，得y＝2和y＝－2.这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应)，所以，x→y(y2＝x)不是函数．
[等级过关练]
1．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f ＋f(x－1)的定义域是( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(0,2) D．(－1,2)
C [由题意得?02．已知f(|x|)的定义域为(－1,2]，则f(x)的定义域为( )
A．(－1,2] B．[1,2]
C．(0,2] D．[0,2]
D [由－13．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，f：A→B为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有________种．
7 [值域C是由集合A中1,2,3所对应的象构成的，故值域C的可能情况为{4}，{5}，{6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，{4,5,6}，共7种．]
4．判断下列函数是否是同一函数．
(1)y＝x2＋3x＋1与y＝t2＋3t＋1；
(2)y＝x2与y＝|x|.
[解] (1)∵两个函数的定义域与对应法则均相同，
∴两个函数是同一函数．
(2)∵y＝x2与y＝|x|的定义域都为R，但对应法则不同，
∴两个函数不是同一函数．
课时分层作业(七) 函数的图象
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．函数y＝|x＋1|的图象为( )
A [将y＝|x|左移1个单位即得到y＝|x＋1|的图象．]
2．函数y＝＋x的图象是( )
C [函数y＝＋x的定义域为{x|x≠0}，
故图象与y轴交点处应为空心小圆圈，故排除A、B.当x<0时，y＝－1＋x<0，故排除D.]
3.已知函数y＝ax2＋b的图象如图所示，则a和b的值分别为( )
A．0，－1 B．1，－1
C．1,0 D．－1,1
B [由图象可知，当x＝1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1，
即解得]
4．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由题意知，f(3)＝1，所以f ＝f(1)＝2.]
5．函数y＝1－的图象是( )
B [y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y＝1－的图象．]
二、填空题
6．函数y＝x2－4x＋6，x∈[0,3]的值域为________．
[2,6] [∵y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，∴函数的图象是以直线x＝2为对称轴，以(2,2)为顶点的开口向上的抛物线，如图所示，由图可知，函数的值域为[2,6]．
]
7.如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是________．
④ [根据图象可知，张大爷开始离家越来越远，是匀速离开，最后匀速回家，中间一段时间，离开家的距离不变，故图④适合．]
8．若函数y＝f(x)的图象经过点(0,1)，那么函数y＝f(x＋4)的图象经过点________．
(－4,1) [y＝f(x＋4)可以认为把y＝f(x)左移了4个单位，由y＝f(x)经过点(0,1)，易知f(x＋4)经过点(－4,1)．]
三、解答题
9．某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下关系：
x
45
50
y
27
12
(1)确定商品销售单价x与日销售量y之间的一个一次函数关系式；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中关系写出关于P的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
[解] (1)∵f(x)为一次函数，∴设y＝ax＋b，由题意，得解得
故所求的函数关系式为y＝162－3x.
又∵y≥0，∴0≤x≤54.
(2)依题意，得P＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432.当x＝42时，P最大，P最大＝432.即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．
10．已知函数y＝(a<0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的取值范围．
[解] 已知函数y＝(a<0且a为常数)，
∵x＋1≥0，a<0，∴x≤－a，
即函数的定义域为(－∞，－a]，
∵函数在区间(－∞，1]上有意义，
∴(－∞，1]?(－∞，－a]，∴－a≥1，即a≤－1，
∴a的取值范围是(－∞，－1]．
[等级过关练]
1．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(a≠0)的图象可能是( )
D [A由抛物线的对称轴是y轴可知b＝0，而此时直线应该过原点，故不可能；B由抛物线图象可知，a>0，由直线的图象知a＜0矛盾，故不可能；C由抛物线图象可知，a<0，由直线的图象a＞0矛盾，不可能；由此可知D可能是两个函数的图象．]
2．若f(x)＝x2＋ax－3a－9的值域为[0，＋∞)，则f(1)＝________.
4 [由题知f(x)min＝＝0，
∴a2＋12a＋36＝0，∴a＝－6，∴f(1)＝1－6＋18－9＝4.]
3．已知二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m＋1)与0的大小关系是________．
f(m＋1)>0 [因为二次函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)的对称轴是x＝－，且与y轴正半轴相交，所以由图象可知f(x)<0的解集的区间长度小于1，故若f(m)<0，则必有f(m＋1)>0.]
4．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)就a的取值范围讨论方程f(x)＝a的解的情况．
[解] (1)先作出y＝x2－4x＋3的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象．
(2)由图象易知，
当a<0时，原方程无解；
当a＝0与a>1时，原方程有两个解；
当0当a＝1时，原方程有三个解．
